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2022 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(26)
（平面向量的综合应用）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.在
中，
为
的中点，
为
边上的点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，可知
．故选:B
2.已知单位向量
，
的夹角为60°，则在下列向量中，与
垂直的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由已知可得：
.
A：因为
，所以本选项不符合题意；
B：因为
，所以本选项不符合题意；
C：因为
，所以本选项不符合题意；
D：因为
，所以本选项符合题意, 故选：D.
3.向量
，
满足
，
，
，则
在
方向上的投影为（ ）
A．-1
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为向量
，
满足
，
，
，
所以
，则
，
所以
在
方向上的投影为
.故选：B.
4.已知平面向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
所以
，故选:A．
5.向量
，
，
，若
，则实数
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由已知可得
，
，所以，
，解得
.故选：B.
6.在平行四边形
中，
，
，点
为边
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，如图建立平面直角坐标系，
，
所以
，
所以
，故选:C
7.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平
面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为
，
，
，
均是边长为4 的等边三角形.设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，
的最大值为（ ）
A. 18
B. 24
C. 36
D. 48
【答案】C
【解析】骑行过程中，
相对不动，只有
点绕
点作圆周运动．
如图，以
为
轴，
为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意
，
，
，
圆
方程为
，设
，
则
，
，
，
易知当
时，
取得最大值36．故选：C．
8.在边长为3 的正方形
中，以点
为圆心作单位圆，分别交
，
于
，
两点，点
是
上一点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知
，
，
，
．
设点
，
则
．又
，则
，
所以
，所以
，
即
的取值范围为
，故选:A．
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求,全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
非零向量且
，则
D．若
，则有且只有一个实数
，使得
【答案】AC
【解析】由
，
互为相反向量，则
，故A 正确；
由
，可得
或
，故B 错；
由
，则两边平方化简可得
，所以
，故C 正确；
根据向量共线基本定理可知D 错，因为要排除
为零向量．故选:AC．
10. 在平行四边形
中，
，
，
，
交
于F 且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于选项A：
，故
选项A 不正确；
对于选项B：易证
，所以
，所以
，故选项B 正
确；
对于选项C：
，即
，所以
，所以
，解得
，
，因为
，所以
，故选项
C 正确；
对于选项D：
，故选项D 正确．故选:BCD
11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1 是八卦模型图，其平面图形记为图2 中的正八边形
，其中
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对A，因八卦图为正八边形，故中心角为45°，
，
所以
，故A 对；
由上得
，
，B 对；
对C ，
与
的夹角为90° ，又因
，根据平行四边形法则
，C 对；
对D ，
，
，
中，由余弦定理可得
，
，D 错；故选:ABC
12.如图，B 是
的中点，
，P 是平行四边形
内（含边界）的一点，且
，则下列结论正确的为（ ）
A．当
时，
B．当P 是线段
的中点时，
，
C．若
为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段
D．
的最大值为
【答案】BCD
【解析】当
时，
，则
在线段
上，故
，故A 错
当
是线段
的中点时，
，故B 对
为定值1 时，
，
，
三点共线，又
是平行四边形
内（含边界）的一点，故
的轨迹是线段，故C 对
如图，过
作
，交
于
，作
，交
的延长线于
，则：
；
又
；
由图形看出，当
与
重合时：
；
此时
取最大值0，
取最小值1；所以
取最大值
，故D 正确
故选：BCD
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.已知非零向量a，b 满足
，且
b，则a 与b 的夹角为________
【答案】
【解析】因为
b，所以
=0，所以
，
所以
=
，所以a 与b 的夹角为
，故答案为:
．
14.已知正方形
的边长为2，点P 满足
，则
_________；
_________．
【答案】 (1).
(2).
【解析】以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立如下图所示的平面直角坐标
系，
则点
、
、
、
，
，
则点
，
，
，
因此，
，
.故答案为：
；
.
15.平行四边形
中，
，
，
，
为
中点，点
在对角线
上，且
，若
，则
_______
【答案】
【解析】以点
为坐标原点，
所在直线为
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则
、
、
、
、
，
，
，
，
所以，
，
，
，则
，
因此，
, 故答案为：
16.在平面四边形
中，
，
，
，
，
，
，若点M 为边
上的动点，则
的最小值为________.
【答案】
【解析】如图所示，建立直角坐标系.
由
得
,由
得
,
又∵
，
，∴∠
=90°，且
2,∠
30°.
∴
,
作CF⊥AD 于F,∵
，∴∠DCF=30°，
由
,∴
，∴
,
∵
在线段
上，故可设
,（
）
∴
,
∴
,
当
时取得最小值
, 故答案为：
.
