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1
【全等模型之角含半角】题集【B】
1. 半角在倍角内
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
为等边
外一点，且
，
，点
，
分别在
，
上，若
．
度．
作出
的高
，并证明
．
在第（）的基础上，求证：
平分
．
（1 ）
（2 ）
2. 问题：如图（），点
、
分别在正方形
的边
、
上，
，试判断
、
、
之间的数量关系．
【发现证明】小聪把
绕点
逆时针旋转
至
，从而发现
，
请你利用图（）证明上述结论．
【类比引申】如图（），四边形
中，
，
，
，点
、
分别在边
、
上，则当
与
满足 关系
时，仍有
．
2
（3 ）【探究应用】如图（），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形
．已知
米，
，
，
，道路
、
上分别
有景点
、
，且
，
米，现要在
、
之间修一条笔直道路．求
这条道路
的长（结果取整数，参考数据，
，
）．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 已知，正方形
中，
，
绕点
顺时针旋转，它的两边分别交
、
（或它们的延长线）于点
、
，
于点
．
如图①，当
绕点
旋转到
时，请你直接写出
与
的数量关
系： ．
A
B
C
D
M
N
H
图
如图②，当
绕点
旋转到
时，（）中发现的
与
的数量关系还成
立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明．
B
C
D
M
H
图
3
如图③，已知
，
于点
，且
，
，求
的长．
（可利用（）得到的结论）．
图
图
（1 ）
（2 ）
4. 如图：在四边形
中，
，
，
．
，
分别是
，
上的点．且
．探究图中线段
，
，
之间的数量关系．
图
小王同学探究此问题的方法是延长
到点
．使
．连接
，先证明
≌
，再证明
≌
，可得出结论，他的结论应是 ．探索延伸：如图
，若在四边形
中，
，
．
，
分别是
，
上的点，
且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（
处）北偏西
的
处，舰艇乙
在指挥中心南偏东
的
处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲
向正东方向以
海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东
的方向以
海里/时的速度前进．
小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达
，
处，且两舰艇之间的夹角为
，试
求此时两舰艇之间的距离．
4
x
y
O
图
2. 半角在倍角外
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 已知四边形
中，
，
，
，
，
，
的两边分别交
、
（或它们的延长线）于
、
．
当
绕
点旋转到
时，如图，证明：
．
图
当
绕
点旋转到
时，如图，上述结论是否成立？（不需证明）
图
当
绕
点旋转到
时，如图，第⑴问结论是否成立？若成立，请给予证
明；若不成立，线段
，
，
又有怎样的数量关系，请写出，不需证明．
图
5
（1 ）
（2 ）
2. 已知，在四边形
中，
，
，
，
，
分别交射线
、射线
于点
、
．
如图，求证：
.
如图，求证：
.
、
B
C
D
A
E
F
图
（1 ）
3. 如图，在正方形
中，
、
分别是
、
上的点，且
，易证
．
如图，在四边形
中，
，
，且
，
，请直接写出
、
与
三条线段之间的数量关系 ．
6
B
C
A
D
E
F
图
E
C
A
F
D
B
图
（2 ）
B
C
A
D
E
F
图
（3 ）
B
E
A
F
C
D
图
（4 ）
如图，若点
在
延长线上，点
在
延长线上，（）中其它条件不变，请你直接写出
、
与
三条线段之间的数量关系 ．
如图，在四边形
中，
，
，
，请直
接写出
、
与
三条线段之间的数量关系 ．
如图，在（）的条件下，若点
在
延长线上，点
在
延长线上，其它条件不变，请
你判断
、
与
三条线段之间的数量关系并证明．
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 如图，在
中，
，
，
，把
绕点
旋转，在整个
旋转过程中，过点
作
，垂足为
，直线
交
于
．
如图①，当
在
内部时，求证：
．
图
如图②，当
在
外部时，则线段
、
与
的关系为 ．
图
在（）的条件下，若
，
，求
的长．
