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1
有理数【章节复习】压轴题--绝对值几何意义 题集
C7
1.
【解析】
【标注】
、、、为互不相等的有理数，且
，
，则
．
【答案】
∵、、、互为不相等的四个有理数，且
，
，
∴
，
或
，
，
当
，
，
时，
或，又
，
∴
，则
，
当
，
，
时，
或，
又∵
，
∴
，则
，
∴
．
【知识点】利用题设条件推理化简绝对值
2.
【解析】
【标注】
求
的最小值是 ．
【答案】
当位于中间点时，有最小值．
∵
．
∴
．
【知识点】利用绝对值求最值
3.
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
已知点
在数轴上对应的数是，点
在数轴上对应的数是，且
，现将
、
两点之间的距离记作
，定义
．
，
，
．
若点
在数轴上对应的数是，当点
在
、
两点之间时，
的值
为 ．
设点
在数轴上对应的数是，当
时，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
或
．
∵
，
∴
，
，
解得：
，
，
∴
．
故答案为，
，．
若点
在数轴上对应的数是，当点
在
、
两点之间时，
，
∴
．
故答案为．
①如果
在
点右边，则
．
∵
，
∴
，
∴
；
②如果
在
点左边，则
．
∵
，
∴
，
∴
．
故所求的值为或
．
【知识点】结合数轴化简绝对值
（1 ）
（2 ）
4. 同学们都知道，
表示与
之差的绝对值，实际上也可理解为与
两数在数轴上所对的
两点之间的距离．试探索：
．
找出所有符合条件的整数，使得
．
3
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
由以上探索猜想对于任何有理数，
是否有最小值？如果有，写出最小值；
如果没有，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
整数为
，
，
，
，
，，，．
见解析
原式
．
由绝对值的几何意义得：
当
时，
总成立．
∴整数为
，
，
，
，
，，，．
由（）的探索猜想，对于任何有理数，
有最小值，最小值为．
【知识点】含绝对值的一元一次方程
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
1
2
（1 ）
【解析】
数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点
、
在数轴上分别对
应的数为、，则
、
两点间的距离表示为
，根据以上知识解题：
若数轴上两点
、
表示的数为、
．
、
之间的距离可用含的式子表示为 ．
若该两点之间的距离为，那么值为 ．
的最小值为 ，此时的取值范围是 ．
已知
，求
的最大值和最小值．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
;
最大值为，最小值为
．
、
之间的距离可用含的式子表示为
．
依题意有：
，
或
，
解得
或
．
4
（2 ）
（3 ）
【标注】
故值为
或．
的最小值为，
此时的范围为
．
∵
的最小值为，
的最小值为，
∴的最大值为，最小值为
，的最大值为，最小值为
，
∴当
，
时，
的最大值为，
当
，
时，
的最小值为
．
【知识点】绝对值综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如
表示、在数轴上对应的两点之
间的距离：
，所以
表示、
在数轴而对应的两点之间的距离，
，所以
表示在数轴上对应的点到原点的距离．
满足
的的所有值是 ．
的最小值是 ．
已知数轴上点
、
在数轴上分别表示有理数
、，若点
、点
和点
（点
在原点）同
时向右运动，它们的速度分别为、、个长度单位/分，问：多少分钟后
点分别到点
、点
的距离相等？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
或
．
的最小值是．
①当
点在
点左边时，
∵点
和点
的速度分别为、个长度单位/分，∴无论运动多少秒，
始终距离为，设
运动分钟后
点到点
、点
的距离相等，
，
，
解得：
．
②当
点在
点右边时即
、
点重合，
，
即
．
【知识点】含绝对值的一元一次方程
5
