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专题01 任意角和弧度制四大题型
题型一：象限角
题型二：区域角
题型三：扇形的弧长及面积
题型四：扇形中的最值问题
题型一：象限角
1．
弧度的角的终边在第几象限？（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．若
，则
的终边位于平面直角坐标系第几象限（ ）
A．一
B．二
C．三
D．四
3．已知集合
{
是第二象限角}，
{
是钝角}，
{
是大于
的角}，那么
的关系
是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．角
的终边属于第一象限，那么
的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．若
，
，则
终边所在象限为（ ）
A．第一象限
B．第一、三象限
C．第二象限
D．第二、四象限
6．若
角与
角的终边相同，则
角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．（多选）已知角
的终边在第四象限，则
的终边可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．已知
，则角
的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第一或第二象限
D．第三或第四象限
9．
的终边在第 象限.
10．已知
，
，
，
．
(1)将
，
用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将
，
用角度制表示出来，并在
内找出与它们终边相同的所有角．
题型二：区域角
11．终边在
轴的非负半轴上的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．集合
中角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合；
（2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合.
15．写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．
16．用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于x 轴的非负半轴、终边落在阴影部分内（包括边
界）的角的集合.
题型三：扇形的弧长及面积
17．如图，平面图形
是扇形
截去扇形
所得到的，设圆弧
的长度是，圆弧
的长度
是
，平面图形
的面积是
，扇形
的面积是
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由
弧
和其所对的弦
围成，若弦
长度为2，弧
所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
19．甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3 弧度，扇形面积分别为
和
，周长分别为
和
.
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．如图，一个扇形纸片的圆心角为
，
，将这张扇形纸片进行折叠，使圆心
与弧
的中点
恰好重合，折痕为
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．如图，等边
的边长为4，把
的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为
的一段，然后
分别以三个顶点
为圆心画圆弧，使得
三个内角所对的圆弧的半径均为
，它们的对顶角所
对的圆弧的半径均为
，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为
，则
该圆弧六边形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．在一块顶角为
、腰长为2 的等腰三角形厚钢板废料
中，用电焊切割成扇形，现有如图所示的
两种方案，则（ ）
A．方案一中的扇形弧长为
B．方案一中的扇形面积为
C．方案二中的扇形弧长为
D．方案二中的扇形面积为
23．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是
文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．将一把折扇打开后，其所在扇形的周长为12 分米，面积是
9 平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为 弧度．
24．鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有独特的性质，在机械加工业上有广泛的
应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以等边三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这
三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图，这是一个鲁洛克斯三角形，其中
的长度为
，
则中间等边三角形的面积为 .
25．如图，已知矩形
截圆
所得的弧
的长为
，
，则矩形在圆外部分的面积为
．
26．已知一扇形的圆心角为
，所在圆的半径为
，该扇形的周长为
，则该扇形中所含弓形的面积为
.
题型四：扇形中的最值问题
27．已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．如图，四边形ABCD 是边长为
的正方形，P 是圆弧
上的动点，且
，Q 是线段BC 上
的动点.当点P 固定时，点Q 将运动到使
取到最小值时的位置；当点Q 固定时，点P 将运动到使
取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q 都不再运动，且满足上述条件时，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．不存在
30．如图，
是半径为2 的圆周上的定点，
为圆周上的动点，
.图中阴影区域的面积的最大
值为 .
31．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点
为圆心的两个同心圆弧和延长后可通
过点
的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30 米，其中大圆环所在圆的半径为10 米，设计小圆环
所在圆的半径为
米，圆心角为
（弧度），当
时，
米；现要给花坛的边缘（实线
部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4 元/米，弧线部分的装饰费用为9 元/米，则花坛每平方米的
装饰费用
的最小值为 元（
）.
32．已知某扇形材料的面积为
，圆心角为
，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 .
33．已知一扇形的圆心角为
，半径为R，弧长为l．
(1)若
，
，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角
．
34．如图1 所示的是杭州2022 年第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象
核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整
个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2 是会徽的几何图形，设
的长度是，
的长度是
，几何图形
的面积为，扇形
的面积为
，已知
，
.
(1)求
；
(2)若几何图形
的周长为4，则当
为多少时，最大？
35．已知一扇形的圆心角为
，所在圆的半径
．
(1)当
，求其弧所在弓形的面积．
(2)若该扇形的面积为
，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长
最小？最小值是多少？
