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专题03 抽象函数问题
题型一：赋值求值
题型二：“一次函数”模型
题型三：“指数函数”模型
题型四：“对数函数”模型
题型五：“幂函数”模型
题型六：“二次函数”模型
题型七：抽象函数的综合
题型一：赋值求值
1．
满足对任意的实数a，b 都有
，且
，则
（ ）
A．2016
B．2020
C．2013
D．1008
2．若函数
满足对任意
，都有
，且
，则
（ ）
A．4032
B．4036
C．4039
D．4042
3．已知函数
满足
，若
，则
（ ）
A．25
B．125
C．625
D．15625
4．已知函数
的定义域为
，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2024
D．2025
5．已知定义在R 上的函数
满足对任意实数x，都有
，且
，则
．
6．已知函数
的定义域为
，且
，则
，
.
7．定义在R 上的函数
满足对于任意实数
均有
，且
，则
.
题型二：“一次函数”模型
8．（多选）已知函数
对任意
恒有
，且当
时，
，
则下列结论中正确的是（ ）
A．
的图象关于
轴对称
B．
在
上单调递增
C．
的解集为
D．若
对
恒成立，则实数
的取值范围为
9．（多选）已知图象连续不断的函数
，对任意实数
恒有
，当
时，
，且
，则以下说法正确的是（ ）
A．
是
上的偶函数
B．
C．
在
上的最大值是6
D．不等式
的解集为
10．（多选）已知连续函数
满足：①
，都
有；②当
时，
恒有
；③
.则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
在区间
上的最大值为10
D．不等式
的解集为
11．已知函数
对任意
，都有
成立．有以下结论：
①
；②
是
上的偶函数；③若
，则
；
④当
时，恒有
，则函数
在
上单调递增．
则上述所有正确结论的编号是
12．已知函数
对任意实数
恒有
，且当
时，
，又
．
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在
上的单调性，并证明你的结论；
(3)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
13．（多选）已知函数
的定义域为
，
，且对任意实数m，n，有
，
当
时，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
是
上的单调递减函数
C．
为偶函数
D．
为奇函数
题型三：“指数函数”模型
14．已知定义在区间(0，+∞)上的函数
满足
，而且当
时，
.
（1）求
的值.
（2）判断
的单调性.
（3）若
，求
在区间
上的最小值.
15．如果
且
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．8
16．（多选）已知函数
满足当
时，
，且对任意实数
满足
，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．
或1
C．函数
为非奇非偶函数
D．对任意实数
满足
17．（多选）已知函数
的定义域为
，对于任意的实数
，都有
.且当
时，
.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．对于任意的
，有
C．函数
在
上单调递增
D．若
，则不等式
的解集为
18．已知函数
在定义域
上恒为正，
，对任意的
，都有
，当
时，
.
(1)求
，
的值；
(2)用定义证明：
为
上的减函数；
(3)求不等式
的解集.
19．已知函数
的定义域为
，对于任意的
都有
，设
时，
.
(1)求
；
(2)证明：对于任意的
，
；
(3)当
时，若不等式
在
上恒定成立，求实数
的取值范围.
题型四：“对数函数”模型
20．已知函数
的定义域为
，且对任意非零实数
，
都满足
，则
（ ）
A．
（1）
且
为偶函数
B．
且
为奇函数
C．
为增函数且为奇函数
D．
为增函数且为偶函数
21．（多选）定义域为
的函数
对任意的非零实数
，
都满足
.当
时，
.下列结论正确的是（ ）
A．
B．
满足
C．
D．
在
上单调递增
22．定义在
上的函数
，满足
，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)求证：
在
上是增函数；
(3)解不等式：
.
23．定义在
上的函数
，满足
，且当
时，
.
(1)求证：
；
(2)若
，解不等式
.
24．已知函数
是定义在
上的增函数，对于任意实数
都满足
，若
且
，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
25．已知定义在
上的函数
满足对任意的
，
恒成立.当
时，
，且
.
(1)判断
的单调性并证明，
(2)求不等式
的解集.
题型五：“幂函数”模型
26．已知函数
的定义域为
，对任意的
都有
，且
时,
,
时,
.
(1)求
的值并判断函数
的奇偶性；
(2)讨论
的单调性并证明；
(3)若
对任意的
成立，求实数
的取值范围.
27．若函数
对任意实数x､y 都有
，则称其为“保积函数”.
（1）请写出两个“保积函数”的函数解析式；
（2）若“保积函数”
满足
，判断其奇偶性并证明；
（3）对于（2）中的“保积函数”，若
时，
，且
，试求不等式
的
解集.
28．已知
时，函数
，对任意实数
都有
，且
，当
时，
（1）判断
的奇偶性；
（2）判断
在
上的单调性，并给出证明；
（3）若
且
，求
的取值范围.
29．已知定义在
上的函数
，满足
，对于任意正实数
、
都有
，
当
时，
，且
.
(1)求证：
；
(2)证明：
在
上为减函数；
(3)若
，求实数
的值.
题型六：“二次函数”模型
30．设
是定义在
上的函数，满足
，且对任意的正整数
，
都有
，
求
的解析式．
31．已知定义在
上的函数
满足
（其中
，
），请写出满足条件
的一个函数
表达式 ．
32．（多选）已知函数
的定义域为R，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
33．（多选）已知函数
对任意
，恒有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
34．（多选）已知函数
对任意
恒有
，且
，则（ ）
A．
B．
可能是偶函数
C．
D．
可能是奇函数
题型七：抽象函数的综合
35．已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
有零点
D．
36．已知函数
的定义域为
，则说法错误的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．若
，则
D．若当
时，
单调递减，则当
时，不等式
的解集为
37．（多选）设
为定义在整数集上的函数，
，对任意的整数
均有
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
关于直线
对称
D．
关于点
对称
38．（多选）若定义在
上不恒为0 的
，对于
都满足
，且
当
时，
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
在
上单调递减
39．（多选）已知函数
满足：对任意实数
都有
，且
，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
40．（多选）已知函数
的定义域为
，则（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．若对于任意的
，有
，则
在
上单调递增
41．已知函数
的定义域关于原点对称，
，且
．求证：
是奇函
数．
