文档文本内容
专题03 直线的方程9 大考点
考点01 直线的倾斜角
考点02 直线的斜率
考点03 已知直线平行求参数
考点04 已知直线垂直求参数
考点05 求直线的方程
考点06 由两条直线平行、垂直求方程
考点07 点到直线的距离问题
考点08 两平行线间的距离问题
考点09 直线的对称问题
考点01 直线的倾斜角
1．若直线的一个方向向量为
，则它的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为直线的一个方向向量为
，则该直线的斜率为
，
设直线的倾斜角为
，则
，
，
所以
，
故该直线的倾斜角为
.
故选：C.
2．直线
的倾斜角是（ ）
A．
B．
C．arctan
D．
【答案】D
【详解】由题意得直线
的斜率不存在，即倾斜角
的正切值
不存在，
又因为倾斜角的取值范围是
，所以
.
故选：D
3．已知
是两两不等的实数，点
，点
，则直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】直线PQ 的斜率
，
设直线
的倾斜角为
，则
，且
，
所以
.
故选：B
4．已知过两点
的直线的倾斜角为
，则实数
的值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【详解】因为过两点
的直线的倾斜角为
，所以直线
的斜率为1，所以
，解
得
．
故选：B．
5．（多选）如图，直线
的斜率分别为
，倾斜角分别为
，则下列选项正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项.
由图像可知
，
则
，
故选：AD
考点02 直线的斜率
6．过不重合的
两点的直线倾斜角为45°，则
的取值为（ ）
A．
B．
C．
或2
D．
或-2
【答案】B
【详解】因为过
两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率
.
又因为
，
所以
，
整理可得
，即
，解得
或
.
当
时，
，
，此时
两点重合，不符合题意，舍去；
当
时，
，
，此时
两点不重合，符合题意.
综上，所以
的取值为
.
故选：B
7．已知过
和
的直线斜率为2，则
的值是
【答案】
【详解】由题意可知
，解之得
.
故答案为：
8．设
，
为实数，已知直线的斜率
，且
，
，
是这条直线上的三个点，则
.
【答案】1
【详解】由直线的斜率
，且
，
，得
，解得
.
同理
，解得
，所以
.
故答案为：1.
9．已知
、
，点
在线段
上，则
的取值范围为 .
【答案】
【详解】由直线的斜率公式可得：
；
.
将
看成线段
上一点与定点
连线的斜率，
结合图形，要使直线经过点
，且与线段
有交点，
的斜率需满足
或
.
故答案为：
10．过点
作直线，若与连接
，
两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值
范围为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【详解】直线
的斜率
，
直线
的斜率
，
结合图象得：直线斜率的取值范围为
或
.
故选：B
11．已知两点
，
，直线过点
且与线段
相交，则直线的斜率
的取值范围是
．
【答案】
【详解】当直线过A 时，直线PA 的斜率
，
当直线过B 时，直线PB 的斜率
，
由图知，直线过点
且与线段
相交，需使
或
，
故答案为：
.
考点03 已知直线平行求参数
12．已知直线
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或2
【答案】B
【详解】由题意可知直线
，
，
故
且
，
解得
，
故选：B
13．（多选）已知直线
，则（ ）
A．无论
如何变化，直线恒过定点
B．无论
如何变化，直线一定不经过第三象限
C．无论
如何变化，直线必经过第一、二、三象限
D．当
取不同数值时，可得到一组平行直线
【答案】BD
【详解】直线
，即
，
即
，
因为直线的斜率
，与
轴的交点为
，交于正半轴，
故直线恒过一、二、四象限，不过第三象限，即B 正确，C 错误，
当
取不同数值时，
也随着改变，直线与
轴的交点也随着改变，又直线的斜率不变，
所以当
取不同数值时，可得到一组平行直线，故D 正确，
由D 可知直线不过定点，故A 错误；
故选：BD
14．设
，则“
”是“直线：
与直线
：
平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意知，若
，则
，
即
，解得
或
或
，
当
时，
轴，
，符合题意；
当
时，
，
，符合题意；
当
时，
，与
重合，不符合题意,
综上，
或
.
所以“
”是“
”的充分不必要条件,
故选：A
15．（多选）直线
与
不相交，则
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】
表示直线
（去掉点
），
∴直线
与
不相交，即直线
与
平行或直线
过点
，
∴
的取值为或
.
故选：BD
16．已知两条不重合的直线，
的斜率分别是
，
，且
，
是方程
的两个根，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】由
，得
，而直线
不重合，则
；
反之，由
，且直线
的斜率分别为
，
则
，方程
有两个相等的根，
可得
，解得
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
考点04 已知直线垂直求参数
17．已知点
，
，
，若直线
与
互相垂直，则实数n 的值为（ ）
A．8
B．10
C．6
D．4
【答案】C
【详解】因为点
，
，所以直线
的斜率
．
因为
，所以直线
的斜率
，
即
，解得
．
故选：C．
18．已知直线
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，可知
，
解得
，
故选：C
19．（多选）已知
，且直线
与直线
互相垂直，则
的值可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】因为直线
与直线
互相垂直，
所以
，即
．
又
，所以
．
所以
，当且仅当
，
即
时，取等号．
故选：ABC.
20．若直线
与
垂直，则
．
【答案】0
【详解】直线
与
垂直，
可得
，解得
．
故答案为：0
考点05 求直线的方程
21．已知平面直角坐标系中两点
，则线段
的垂直平分线方程为 ．
【答案】
【详解】依题意，
，
线段
中点坐标为
，
直线
的斜率为
，
所以线段
的垂直平分线的斜率为，
所以线段
的垂直平分线的方程为
，即
.
故答案为：
22．经过点
，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
【答案】
或
【详解】当直线在两坐标轴上的截距为
时，可设为
，
由点
，则
，解得
，所以直线方程为
；
当直线在两坐标轴上的截距不为
时，可设为
，
由点
，则
，解得
，所以直线方程为
.
故答案为：
或
.
23．已知
的三个顶点分别是
，
，
，则
角平分线所在的直线方程为
.
【答案】
【详解】由题意知：
，
，
故与
同方向的单位向量为：
，
与
同方向的单位向量为：
，
故
角平分线所在的直线的方向向量为：
，
设
角平分线所在的直线的斜率为
，
又
直线的方向向量可以表示为
，
，直线又过
，
故
角平分线所在的直线方程为：
，即
.
故答案为：
.
24．过点
的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为 ．
【答案】
或
【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为
或
，
因为直线过点
可得
或
，可得
.
所以直线方程为
或
.
故答案为：
或
25．已知直线的方程为
，若与
轴的正半轴，
轴的正半轴分别交于
两
点，
为坐标原点，且
的面积为2，则
（ ）
A．
B．-1
C．
D．0
【答案】B
【详解】如图，
在
中，
令
，得
；令
，得
，
由题意，得
，
，
所以
的面积
，
即
，解得
.
故选：B.
26．已知两条直线方程分别是
和
，过点
，作直线与这两条直
线交于点
，且
恰为中点，求这条直线的方程．
【答案】
【详解】在上取点
，则点
关于点
的对称点
必在
上，
由
，得
，
得
，
于是
，
求得
，
所以
，
故所求直线的方程为：
，
即
．
27．已知直线：
.
(1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】
【详解】（1）由直线方程
变形可得
，
所以直线过直线
与直线
的交点，
联立
，解得
，
所以直线过定点
.
（2）已知直线：
，
令
，得
，得
.
令
，得
，得
，
则三角形面积为
，
当
时，分母取得最大值
，则此时取到最小值
.
此时，直线的方程为
，即
.
考点06 由两条直线平行、垂直求方程
28．过点
与直线
平行的直线方程为 ．
【答案】
【详解】设过点
与直线
平行的直线方程为
，
代入点
坐标，得
，解得
，
所求直线方程为
．
故答案为：
．
29．已知点
，则线段
的垂直平分线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题可得，直线
的斜率不存在，所以线段
的垂直平分线的斜率为
，
且线段
的中点坐标为
，所以线段
的垂直平分线的方程是
．
故选：B
30．已知直线
过点
，且与直线
平行，则直线
的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为直线
与直线
平行，
所以设直线
的方程为
．
因为直线
过点
，所以
，
解得
，所以直线
的方程为
．
故选:C．
31．与直线
垂直，且在y 轴上的截距为2 的直线的方程为 .
【答案】
【详解】设该直线方程为
，
直线与
垂直，则
，
直线在y 轴上的截距为2，则
，
所以该直线方程为
.
故答案为：
.
32．设直线过点
，且和直线
平行．
(1)求直线的方程；
(2)设直线与
轴相交于点
，求直线绕点
逆时针旋转
所得的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为直线
的斜率为
，
故直线的斜率为
，又直线过点
，
所以直线的方程为：
，化简得：
．
（2）在直线的方程中，令
可得
，解得
，即点
，
直线绕点
逆时针旋转
所得直线与直线垂直，则所求直线的斜率为
，
故所求直线方程为
，化简得：
．
33．（1）已知两点
，
求线段
的垂直平分线的方程.
（2）求经过两条直线
和
的交点，且平行于直线
的方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】
【详解】（1）已知两点
，
，
，
故线段
的垂直平分线的斜率
，
由中点坐标公式求出线段
的中点
，
故线段
的垂直平分线的方程为
，整理得
.
（2）根据题意
，解得
，
设经过点
且平行于直线
的直线方程为
，
故
，解得
.
故所求的直线的方程为
.
考点07 点到直线的距离问题
34．已知
，
两点到直线
的距离相等，则
（ ）
A．0
B．2
C．0 或2
D．
或2
【答案】C
【详解】点
到直线的距离为
，
点
到直线的距离为
，
由题意得
，解得
或
.
故选：C.
35．点
到直线
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
，
令
，则
，解得
，
故直线
恒过定点
，
记点
为点
，当
与直线
垂直时，
点
到直线
的距离有最大值，
最大值为
.
故选：D
36．已知实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．
C．5
D．
【答案】D
【详解】
表示平面直角坐标系中，点
到点
的距离，
而点
满足直线方程
，
而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点
到直线的距离
，
因此，
的最小值为
.
故选：D
37．已知
的三个顶点分别是
，
，
.
(1)求边
上的高线
所在直线的方程；
(2)若直线过点
，且点
､
到直线的距离相等，求直线的方程.
【答案】(1)
.
(2)
或
.
【分析】
【详解】（1）由
，
，得直线
的斜率为
，
因为
是边
上的高线，所以直线
的斜率为
，
而
，所以直线
的方程为
，即
.
（2）由点
､
到直线的距离相等，得直线与边
所在的直线平行或过边
的中点，
①当直线与直线
平行时，由
，
，知直线
的斜率为
，
所以直线的斜率为
，而直线过点
，
所以直线的方程为
，即
；
②当直线过边
的中点时，由
，
，得边
的中点为
，
又
，所以直线的斜率为
，
所以直线的方程为
，即
.
综上所述，直线的方程为
或
.
38．数学试卷（回忆版））在平面直角坐标系中，点
到直线
的距离为 .
【答案】
/0.6
【详解】根据点到直线的距离公式可得
.
故答案为：
.
39．以
和
轴上一点
为顶点的三角形的面积为5，则
的纵坐标为 .
【答案】
或
【详解】∵点
，∴
，
设点P 到
的距离为d，
∵
的面积为5，∴
，得
，
∵直线
的方程为
，即
，
设P 的坐标为
，
∴
，解得
或
，
∴
的纵坐标为
或
．
故答案为：
或
．
40．已知直线的斜率为
，且这条直线经过点
.
(1)求直线的一般式方程；
(2)若直线
恒过定点
，求点
到直线的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为直线的斜率为
，且过点
，
所以直线的方程为
，化为一般式方程为
.
（2）直线
的方程可化为
，
令
，则
，解得
，即点
，
所以点
到直线的距离为
.
考点08 两平行线间的距离问题
41．若两平行直线
与
之间的距离是
，则
（ ）
A．
B．
C．12
D．14
【答案】C
【详解】因为直线
与
平行，
所以
，即
，
因为直线
与直线
的距离为
，
所以
，即
，解得
或
（舍去），
故
．
故选：C.
42．直线
与直线
之间的距离为 .
【答案】
/
【详解】因为
，
所以平行线间的距离为
，
故答案为：
.
43．已知直线
与
平行，则与
的距离为 ．
【答案】
【详解】因为直线
与
平行，
所以
，解得
.
所以直线
变为
，即
.
则与
的距离为
.
故答案为：
.
44．已知直线
与
平行，且过点
，则与
间的距离为 .
【答案】
/
【详解】因为直线：
与
：
平行，
所以
，所以
，
，
因为过点
，所以
，所以
，
所以直线的方程为
，即
，
所以与
间的距离
.
故答案为：
.
45．若直线
与直线
间的距离为1，则
.
【答案】6 或
【详解】直线
化为
，
根据平行线间的距离公式：
，
解得：
或
.
故答案为：6 或-14
46．已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所在直线的方程为
，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标.
【答案】
或
【详解】
斜边所在直线过原点，且斜率为，
斜边所在直线方程为
；
设直角顶点为
，
到直线
的距离为
，
则
，解得：
；
设
是与直线
平行且距离为
的直线，则
与的交点即为直角顶点
，
设
，则
，解得：
；
当
时，由
得：
，
；
当
时，由
得：
，
；
综上所述：此直角三角形直角顶点的坐标为
或
.
考点09 直线的对称问题
47．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点
与点
重合，若此时
轴与直线
也正好重合，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由点
与点
重合，则
的中点为
，
，
所以
的对称轴所在的直线的斜率为
，则对称轴为
，即
，
由
，即对称轴与
轴的交点为
，
而折叠后，
轴与直线
也正好重合，即
轴与直线
关于直线
对称，
由
在
轴上，所以点
、
都在
上，则
.
故选：A
48．已知直线
与直线
关于点
对称，则实数
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
不在直线
上，
且直线
与直线
关于点
对称，
所以直线
与直线
平行，
即
，解得
.
在直线
上取一点
，
关于点
的对称点为
,
将
代入直线
，解得
.
故选：C
49．若点
与点
关于直线对称，则直线的一般式方程为 ．
【答案】
【详解】易知
的中点坐标为
，两点连线斜率为
，
所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：
，
整理得
.
故答案为：
50．在等腰直角
中，
，点
是边
上异于
，
的一点，光线从点
出发，经
，
反射后又回到点
，如图所示，若光线
经过
的重心
，则
．
【答案】
【详解】在等腰直角
中，以
为原点，
分别为
轴建立平面直角坐标系，
则
，
的重心
，直线
方程为
，
设
关于
和直线
的对称点分别为
，则
，
记
，则
，解得
，
由光的反射定律知，
三点共线，则
，即
，而
，
所以
，即
.
故答案为：
51．已知光线通过点
，经
轴反射，反射光线通过点
，则反射光线所在直线的方程是
.
【答案】
【详解】如下图所示：
点
关于
轴的对称点为
，
由题意可知，反射光线所在直线为直线
，且该直线的斜率为
，
故反射光线所在直线的方程为
，即
.
故答案为：
.
52．已知直线：
与直线
：
交于点M，点M 关于直线
对称的点为
，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由
，解得
，可得
，
所以
，即
，
，
当
时，
，
，则
无意义；
当
时，
，
当且仅当
即
时等号成立；
当
时，
，
当且仅当
即
时等号成立；
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
53．已知点
在
轴上，
在直线
上，
，则
的周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】
作点
关于直线
的对称点为
，
再作点
关于
轴的对称点为
，
由
的周长
，
因为
，
所以
的周长
,
故答案为：
54．已知实数
满足
，则
的最小值为
【答案】
【详解】
，
，
则
表示：直线
上的点
到点
和
的
距离之和的最小值，
如图所示：
设点
关于直线
的对称点为
，
得
，解得
，
得
，
则
，
等号成立时，
三点共线，
故答案为：
