文档文本内容
专题 1.3 集合的基本运算
题型一：交集的概念及运算
题型二：根据交集的运算结果求集合或参数
题型三：并集的概念及运算
题型四：根据并集的运算结果求集合或参数
题型五：补集的概念及运算
题型六：根据补集的运算结果求集合或参数
题型七：交集、并集、补集的混合运算
题型八：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数
题型九：容斥原理
题型一：交集的概念及运算
1．已知集合
，
，则
的非空真子集的个数为（ ）
A．4
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】用穷举法求出集合
，再求集合
的非空真子集的个数即可.
【详解】因为
，
，所以
，所以
的非空真子集的
个数为
．
故选：C.
2．已知集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】由两集合元素特点，逐个判断即可；
【详解】由
，
当
，
，当
，
，当
，
，当
，
，当
，
，
所以
，所以
中有3 个元素，
故选：B.
3．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求绝对值不等式，再根据交集概念计算即可.
【详解】
，
，
．
故选：D．
4．集合
，
，且M、N 都是集合
的子集，若把
叫做集合
的长度，那么集合
的长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出集合M 和集合N 的长度，由此能求出集合
的“长度”的最小值．
【详解】根据新定义可知集合M 的长度为
，集合N 的长度为
，
当集合
的长度最小时，M 与N 应分别在区间
上的左右两端，
故
的长度的最小值是
故选：B.
5．若集合
的两个非空子集
满足
，则称
为集合
的一组“互斥子集”，
与
视为同一组互斥子集，则
共有互斥子集 组.
【答案】25
【分析】由新定义，通过讨论
元素个数，再结合非空子集个数即可求解.
【详解】若
有1 个元素，这样的集合
有
4 种情况，此时每种情况对应的
为其他3 个元
素的非空子集，这样的
有
个；
若
有2 个元素，这样的集合
有
6 种情况，此时每种情况对应的
为
其他2 个元素的非空子集，这样的
有
个；
若
有3 个元素，这样的集合
有
3 种情况，此时每种情况对应的
为其他1 个元素
的非空子集，这样的
有
个.
又
与
视为同一组互斥子集，
U 共有互斥子集
种.
故答案为：25
题型二：根据交集的运算结果求集合或参数
6．已知集合
，若
，则实数
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合
计算
，利用
求参数的取值范围.
【详解】由
得，
.
由
得，
，
∴
或
，
∴
，解得
.
故选：A.
7．（多选）已知
，
，若
，则实数
可能取的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据
，对集合A 进行分类讨论，结合二次方程根的判别式和韦达定理计算.
【详解】当
时，
，解得
；
当
时，即
或
时，此时方程
的两个根需满足小于等于
，
则
，
，得
，
，
综上，
.
故选：ACD.
8．设集合
，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）先求并集，再求补集即可；
（2）由集合间的包含关系分集合
是否为空集，当不为空集时，解不等式组即可；
【详解】（1）当
时，
，
，
因此
，
所以
或
.
（2）由
，得
，
当
时，则
，
解得
，满足
，因此
；
当
时，由
，得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
9．已知集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）当
时，求出
，再根据交并补概念计算；（2）由
，可得
，分类讨
论计算即可.
【详解】（1）当
时，可得集合
，
所以
.
，
．
（2）由
，可得
，
①当
时，可得
，解得
；
②当
时，则满足
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
．
10．已知集合
或
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求集合
，再求交集；
（2）分集合
和
两种情况，列式求参数的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
又因为
或
，所以
；
（2）若
，
当
，即
时，
，满足
；
当
，即
时，
，
要满足
，只需
，
解得
，又因为
，所以
.
综上可知，实数
的取值范围为
.
11．设集合
；
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
集合中有两个元素
，求
；（用含有
的式子表示）
(3)若
，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
或
(2)
(3)
【分析】（1）根据集合的交集可知
，解一元二次方程可得a 的值，验证是否符合题意；
（2）利用根与系数的关系即可求得答案.
（3）由题意判断出
，分类讨论B 的情况，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得
，因为
，所以
，
所以
，即
，
化简得
，即
，解得
或
，
检验：当
时，
，满足
，
当
时，
，满足
，所以
或
.
（2）因为
集合中有两个元素
，所以方程
有两个根，
所以
且
，
所以
.
（3）因为
，且
，故
,
当
时，
，解得
，符合题意；
当
时，则
，无解；
当
时，则
，解得
；
当
时，则
，无解；
综上，
.
12．已知集合
，
.
(1)求集合
(2)若
，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）由补集的运算，可得答案；
（2）由交集的结果可得集合之间的包含关系，利用分类讨论，分别建立不等式组，可得答案.
【详解】（1）
，
或
.
（2）由
，则
，
①当
，即
时，
，符合题意；
②当
，即
时，可得
，解得
；
故m 的取值范围是
.
题型三：并集的概念及运算
13．已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用集合的补集和并集的运算法则进行求解即可.
【详解】
，
，
，
，
.
故选：C.
14．设集合
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，阴影部分表示并集去掉交集，结合交集并集概念计算即可.
【详解】根据题意，阴影部分表示并集去掉交集.
，则
.
故阴影部分表示
.
故选：C.
15．已知集合
，求
，
.
【答案】
，
，
或
.
【分析】由集合的交集、并集、补集运算即可求解.
【详解】集合
或
，
集合
，
，
，
或
或
.
16．已知全集
(1)求集合
；
(2)若集合
，求
.
【答案】(1)
(2)
或
，
【分析】（1）根据
，可得
，再借助韦恩图即可得解；
（2）根据交集和并集的定义求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，
由
，
如图，作出韦恩图，
由图可知
；
（2）因为
，
所以
或
，
.
【点睛】思路点睛：根据集合的运算求集合通常借助于韦恩图来解决问题.
17．已知全集
，集合.
(1)求
和
；
(2)求
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）由交集和并集的运算求解即可；
（2）由补集和交集的运算求解即可；
【详解】（1）
，
，
所以
，
，
（2）
，
或
，
.
题型四：根据并集的运算结果求集合或参数
18．设集合
，
，若
，则实数a 的取值范围为
．
【答案】
【详解】
，且B 为A 的子集．当
时，
，解得
．当
时，若
，即
，此时
的解为
，即
，符合题意．若
，即
，
当
，即
时，此时
，即
，解得
，即
，不符
合题意；当
，即
时，由此时集合
，得
，解得
，与
矛盾，不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围为
．
19．已知集合
，且
.
(1)求实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解.
（2）由（1）求出集合D，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解.
【详解】（1）由
，得
，解得
或
，
当
时，
，不符合题意；当
时，符合题意，
所以
.
（2）由（1）得，
，由
，得
，
①若
，此时
，即
，符合题意；
②若
，由
，则
，解得：
，
所以实数
的取值范围是
.
20．设集合
，若
，求实数
的取值范围.
【答案】
【分析】根据题意就判别式的正负分情况依次求解.
【详解】
，由题设可得
为
的子集.
当
时，
解得
.
当
时，
若
，即
时，
此时
的解为
，
即
，符合题意.
若
，即
时，
①
，即
时，此时
，
即
，解得
，即
，不符合题意.
②
，即
时，由此时集合
.
则
，解得
，
与
矛盾，不符合题意.
综上所述，实数
的取值范围为
.
21．已知集合
，
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，
，可得出关于实数
的不等式组，由此可解得实数
的取值范围；
（2）先考虑当
时，求出实数
的取值范围，分
、
两种情况讨论，根据集合的包含
关系可得出关于实数
的不等式（组），综合可得出实数
的取值范围，再利用补集思想可得出当
时实数
的取值范围.
【详解】（1）由
可知
，所以，
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
．
（2）考虑当
时，实数
的取值范围，则
，
若
，满足
，则
，解得
；
若
，因为
，所以
，解得
，
所以
时，
的取值范围是
，
所以
时，
的取值范围是
.
22．已知集合
，
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合交集、和补集的定义进行求解即可；
（2）根据集合并集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可.
【详解】（1）当
时，
，所以
.
所以
.
（2）因为
，所以
.
所以
，解得
，
所以m 的取值范围是
.
23．已知集合
，集合
或
，全集
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知
，再根据集合的运算求解即可；
（2）由
可得
，再利用包含关系求参数即可.
【详解】（1）当
时，
，所以
，
又
或
，所以
.
（2）因为集合
，集合
或
，
，则
，
所以
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
.
题型五：补集的概念及运算
24．若集合
，
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】根据题意求集合B，再结合补集和交集运算求解.
【详解】因为集合
，
，
则
或
，所以
或
．
故选：B．
25．已知全集
，集合
满足：
，且当
时必有
，则
.
【答案】
【分析】利用反证法，假设
不是正整数集，结合题意条件推出矛盾即可.
【详解】若
为
的真子集，则
为由部分正整数组成的非空集合，
故
中存在最小元素
，故
，从而
，于是
，
因为
，若
，由
的性质可知
，这与
矛盾，
所以
，但这又与
是
中的最小元素矛盾，所以
不是
的真子集，
即
.
故答案为：
26．已知全集
，集合
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
写出集合
的所有真子集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合
，然后结合集合包含关系即可求解；
（2）结合集合的基本运算及子集的求法即可求解．
【详解】（1）由题意得，
，
，解得
，
实数
的值为
；
（2）因为
所以
集合
的所有真子集为：
．
27．已知集合
，
或
.
(1)若全集
，求
、
；
(2)若全集
，求
.
【答案】(1)
或
，
或
(2)
【分析】（1）根据集合的交集、并集、 补集运算求解即可;
（2）根据集合的交集、补集运算求解即可.
【详解】（1）因为集合
，
或
，
所以
或
，
又全集
，所以
或
，
则
或
.
（2）因为全集
，所以
，
所以
.
28．已知集合，
，
或
(1)若全集
，求
、
；
(2)若全集
，求
.
【答案】(1)
，
或
(2)
【分析】（1）根据集合的交集、补集运算求解；
（2）根据集合的交集、并集、补集运算求解.
【详解】（1）因为集合
，
或
，
所以
，
或
，
所以
或
.
（2）由
，
或
，
可得
或
，
则
，所以
.
题型六：根据补集的运算结果求集合或参数
29．设
，
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】由
，可得
，
，故
，从而求出
的值即可.
【详解】由
可得
，
，故
，
，解得
，
故选：C.
30．已知集合
，
，
，则实数
．
【答案】
【分析】首先根据集合补集的定义得到
，然后分别讨论
或
即可得到参数
的
值.
【详解】
，
.
，
，即
.
当
时，得
，
分别代入集合
与集合
中得：
，
，此时
不符合题意，舍去；
当
，得
或
，
将
分别代入集合
与集合
中得：
，
，不符合题意，舍去；
将
分别代入集合
与集合
中得：
，
，符合题意.
综上所述：
.
故答案为：
.
31．设全集
，则集合
．
【答案】
【分析】依题意可得
，即可求出
，从而求出，即可得解.
【详解】因为
，所以
，则
，解得
，
所以
，
又
，所以
.
故答案为：
32．已知集合
，
或
，
.
(1)求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
.
(2)
【分析】（1）求得集合
，得到
或
，结合并集的运算，即可求额
吉；
或
.
（2）由（1）知
，分
和
，两种情况讨论，结合集合的运算法
则，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由集合
，
或
，
可得
或
，则
或
.
（2）解：由（1）知，
，
或
，
所以
或
，可得
，
当
时，即
时，
，此时满足
；
当
时，即
时，要使得
，
则满足
或
，解得
或
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
33．设全集
，集合
．
(1)求集合
；
(2)若
，求集合
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解一元二次方程可得答案；．
（2）根据
可得
代入可得答案.
【详解】（1）
．
（2）
，
，
，∴解得
，
．
题型七：交集、并集、补集的混合运算
34．设全集
，集合
，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.
【详解】由
，
可得，
，故
，
故选：B
25．已知全集
，集合
，
，给出下列4 种方式表示图
中阴影部分：①
②
③
④
，正确的有几个？（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可.
【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为
，
，故②③正确；
因为
，
，
所以
，故①正确；
，故④错误.
所以正确的有3 个.
故选：C.
36．（多选）已知U 为全集，集合M，N 是U 的子集，若
，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】根据题意画出
图，如图所示，由图可知
．
37．（多选）已知全集
，集合
，
，则（ ）
A．
.
B．
C．
.
D．
【答案】AB
【分析】根据条件，先解不等式求出集合
及其补集，再利用集合的运算，对各个选项分析判断，即可
求解.
【详解】因为全集
，集合
，
，
所以
或
，
，
，
，
所以
，
，
，
，故选项AB 正确，CD 错误.
故选：AB
38．全集
，集合
.求：
.
【答案】
【分析】根据德摩根公式结合集合的混合运算可得.
【详解】根据德摩根公式：
，得：
，
又
，所以
.
题型八：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数
39．已知集合
．
(1)若
，求实数a 的值；
(2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．
条件：①
；②
；③
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】解：（1）由于
，所以
解得
．
（2）若选①，由
得
．
当
时，则
，解得
，满足条件；
当
时，则
解得
．
综上，实数a 的取值范围是
．
若选②，
．
当
时，
，解得
，满足条件：
当
时，
或
，则
解得
．
综上，实数a 的取值范围是
．
若选③，
．
当
时，
，解得
，满足条件；
当
时，
或
，则
解得
．
综上，实数a 的取值范围是
．
40．已知集合
，
或
.
(1)当
时，求
；
(2)在①
；②
；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若
___________，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）求
，利用并集的概念求解即可得到结果.
（2）若选①，分析
和
，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析
和
，利用
即可得到结果. 若选③：由
可得
，同①的分析可得结果.
【详解】（1）当
时，
，
因为
或
，所以
，
故
.
（2）若选①：当
时，
，
，
成立.
当
时，
，由
可得
，解得
，所以
.
综上，
的取值范围是
.
若选②：当
时，
，
，
成立.
当
时，
，
由
可得
，解得
，所以
.
综上，
的取值范围是
.
若选③：由
可得
.
当
时，
，
，
成立.
当
时，
，由
可得
解得
，所以
.
综上，
的取值范围是
.
41．设全集为
，集合
，
．
(1)当
时，求
和
(2)在①
；②
；③
这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数
的取值范
围．
【答案】(1)
或
；
或
.
(2)
【分析】（1）首先解二次不等式求得集合
，然后将
代入确定集合
，最后根据集合的交、并、补运算
法则进行求解即可；
（2）首先根据集合间运算的结果可得
，然后分
和
两种情况分类讨论求解参数取值范围
即可
【详解】（1）由不等式
，解得：
或
，因此可得：
或
，
将
代入集合
中可得：
，
因此
或
；
又
或
，得：
或
.
（2）选①由
，可知
，
当
时，
，解得：
；
当
时，可得：
，无解，或
，解得：
；
综上所述
；
选②由
，可知
，
当
时，
，解得：
；
当
时，可得：
，无解，或
，解得：
；
综上所述
；
选③由
，可知
，
当
时，
，解得：
；
当
时，可得：
，无解，或
，解得：
；
综上所述
；
42．已知集合
．
(1)在①
，②
，③
这三个条件中任选一个作为已知条件，求
；
(2)若
求实数a 的取值范围．
【答案】(1)见解析；
(2)
.
【分析】（1）代入
的值求出集合A，再求交集和并集可得答案；
（2）求出
，根据
可得
，分
、
讨论可得答案.
【详解】（1）选择条件①：
因为
，所以
，
又
，所以
，
；
选择条件②：
因为
，所以
，
又
，所以
，
；
选择条件③：
因为
，所以
，
又
，所以
，
；
（2）因为
，所以
，
因为
，所以
，
当
时，满足
，此时
，即
，
当
时，则
或
，
解得
或
，
综上，a 的取值范围为
．
43．已知集合
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
中只有一个整数，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意推出
，分
和
时分类讨论即可；
（2）首先推理出整数为
，再利用数轴得到不等式
，解出不等式即可.
【详解】（1）
，
当
即
时，
满足题意；
当
即
时，
；欲使
，则有
，即
.
综上所述：实数
的取值范围是
.
（2）易得
当
即
时，
，
不符合题意；
当
即
时，
，若
中只有一个整数，则此整数为
依题意得
，即
综上所述：实数
的取值范围是
.
44．已知集合
，
．
(1)求集合
；
(2)当
时，求
；
(3)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
(3)
【分析】（1）根据题干条件以及补集的定义可得解；
（2）根据题干条件以及交集的定义可得解；
（3）根据（1）可得
或
，结合
，分析即得解
【详解】（1）由题意，
故
或
（2）当
时，
故
（3）由（1）
或
若
，则
解得
题型九：容斥原理
45．某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12 名
同学参加拔河、4 人足球、羽毛球三个项目，其中有8 人参加“拔河”，有7 人参加“4 人足球”，有5 人
参加“羽毛球”，“拔河和4 人足球”都参加的有4 人，“拔河和羽毛球”都参加的有3 人，“4 人足球和
羽毛球”都参加的有3 人，则（ ）
A．三项都参加的有1 人
B．只参加拔河的有3 人
C．只参加4 人足球的有2 人
D．只参加羽毛球的有4 人
【答案】BC
【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案.
【详解】根据题意，设
是参加拔河的同学，
是参加4 人足球的同学，
是参加
羽毛球的同学，
则
，
，
，
又
，
，
所以
，
所以三项比赛都参加的有2 人，只参加拔河的有3 人，只参加4 人足球的有2 人，只参加羽毛球的有1
人．
故选：BC
46．某校“田径运动会”上，共有12 名同学参加100 米、400 米、1500 米三个项目，其中有8 人参加
“100 米比赛”，有7 人参加“400 米比赛”，有5 人参加“1500 米比赛”，“100 米和400 米”都参加的
有4 人，“100 米和1500 米”都参加的有3 人，“400 米和1500 米”都参加的有3 人，则三项比赛都参加
的有 人.
【答案】2
【分析】根据容斥原理可分析出3 项都参加的人数.
【详解】根据题意，设
是参加100 米的同学
，
是参加400 米的同学
，
是参
加1500 米的同学
，
，
则
，
且
，
则
，
所以三项比赛都参加的有2 人，
故答案为：2.
47．学校举办运动会时，高一（1）班共有
名同学参加比赛，有
人参加游泳比赛，有
人参加田径比
赛，有
人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有
人，同时参加田径比赛和球类比赛的有
人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人.
【答案】
【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合
、
、
，设同时参加游泳和球
类比赛的学生人数为
人，作出韦恩图，根据题意可得出关于
的方程，解出
的值即可.
【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合
、
、
，
设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为
人，由题意作出如下韦恩图，
由题意可得
，解得
.
因此，同时参加游泳和球类比赛的有人.
故答案为：.
48．国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45 名同学在语文类、数
学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21 人想报名语文类选修课，有29 人想报名数学类选修
课，有28 人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10 人，同时想报名数学和物理选修
课的有15 人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有 人．
【答案】
【分析】设只想报名物理选修课的同学有
人，求得同时想报名语文和物理选修课的有
人，只想报名
语文选修课的同学有
人，只想报名数学选修课的同学有
人，由题意画出Venn 图，再由该班共有人
数，列出方程，即可求解.
【详解】设只想报名物理选修课的同学有
人，
因为有
人想报名物理类选修课，
所以同时想报名语文和物理选修课的有
人，
因为有21 人想报名语文类选修课，
则只想报名语文选修课的同学有
人，
因为有29 人想报名数学类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10 人，
同时想报名数学和物理选修课的有15 人，则只想报名数学选修课的同学有
人，
又没有三类选修课都想报名的同学，
由题意画出Venn 图，如图所示：
因为该班共45 名同学，
所以
，解得
，
所以只想报名物理选修课的同学有人.
故答案为：.
49．贵阳市清华中学9 月份举办了秋季运动会，田赛设置跳高、跳远和掷铅球三个项目.已知高一年级参加
跳高的有60 人，参加跳远的有81 人，参加掷铅球的有44 人，三项都参加的有16 人，参加两项的有48
人，三项都不参加的有970 人.则高一年级共有 人.
【答案】
【分析】利用韦恩图可求高一年级的总人数.
【详解】设
为参加跳高的学生的集合，
为参加跳远的学生的集合，
为参加掷铅球的学生的集合，由题设有
中元素的个数为
，
而
中扣除
中的元素后余下元素的个数为
，
结合韦恩图可得总人数为：
，
故答案为：
.
