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专题4.2.2 对数运算法则
教学目标
1.能复述3 条对数运算性质及换底公式，明确运算成立的前提条件（所有对数有意
义）。
2.会用运算性质化简对数式、计算对数值，能通过换底公式转化不同底数的对数。
3.会推导换底公式的3 个重要结论，能灵活运用结论解决复杂对数运算问题。
教学重难点
重点：对数3 条运算性质的记忆与直接应用；换底公式的结构及不同底数对数的转化
难点：判断对数运算是否有意义；换底公式重要结论的推导逻辑及灵活运用。
知识点01 对数运算性质
如果
，且
，那么：
（1）
；（2）
；（3）
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
例如，
是错误的．
【即学即练】
1．计算：
（ ）
A．10
B．1
C．2
D．
2．计算式子
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 对数换底公式
若
，且
，则
(
，且
)．
由换底公式推导的重要结论
（1）
（2）
（3）
【即学即练】
1．
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．计算：
．
题型01 对数的运算法则
【例1】对于
，
，
，
，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式1-1】若
与
互为相反数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】
的值为 .
题型02 对数的化简求值
【例3】
.
【例4】已知
，则
（ ）
A．1
B．4
C．1 或4
D．2
【变式2-1】
.
【变式2-2】已知
，则
．
【变式2-3】已知
，且
，则
（ ）
A．2 或8
B．
或8
C．8
D．64
题型03 利用换底公式化简求值
【例5】求值：
.
【例6】已知正数a，b 满足
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式3-1】
.
【变式3-2】已知正数
满足
，则
；若满足
，则
.
【变式3-3】已知
，
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．6
D．
用换底公式应注意：
（1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．
题型04 解对数方程
【例7】方程
的解为 .
【例8】甲、乙两人同时解关于x 的方程：
．甲写错了常数b，得两根为
及
；乙
写错了常数c，得两根为
及64，则这个方程的真正的根为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式4-1】若方程
的两根为
、
，则
（ ）
A．
B．
C．35
D．
【变式4-2】记方程
的根为
，求
的值．
【变式4-3】对于正数
，
且
，可以定义运算
，则方程
的根落于区间
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 用对数表示其他对数
【例9】若
，
，则
（用
，
表示）．
【例10】已知
，
.
(1)求
的值；
(2)用
，
表示
.
【变式5-1】已知
，用含
的代数式表示
．
【变式5-2】已知
，
，试用
，
表示
．
【变式5-3】已知
，
，用
表示
.
用对数表示其他对数，核心是巧用换底公式
且
和对数运算性质；先观察已知
对数与目标对数的底数、真数，通过换底公式统一底数，再结合
、
等性
质，将已知对数转化为目标对数的表达式，逐步推导即可。
题型06 对数的实际应用
【例11】在一定条件下，某人工智能大语言模型训练
个单位的数据量所需要时间
（单位：
小时），其中
为常数．在此条件下，已知训练数据量
从
个单位增加到
个单位时，训练时
间增加20 小时；当训练数据量
从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加（单位：
小时）（ ）.
A．2
B．4
C．20
D．40
【例12】中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式
（缪氏记录法）：
，其中
为被测试眼睛的视力值，
为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低
一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），
为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），
是与
，
无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4 米处检测右眼的视力值，若此时
，不考
虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：
）（ ）
A．4.8
B．4.9
C．5.0
D．5.1
【变式6-1】研究表明地震释放的能量
（单位：焦耳）与震级
之间满足
（
为常数）.若
5.5 级地震所释放的能量为
焦耳，8 级地震所释放的能量为
焦耳，则6 级地震所释放的能量
为（ ）（取
）
A．
焦耳B．
焦耳
C．
焦耳
D．
焦耳
【变式6-2】声强级
（单位：dB）由公式：
给出，其中I 为声强（单位：
）.若某
音源的声强由
变为
，其声强级由10.1 提高到30.1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】某水域每立方米中微生物含量
约为
，另一水域每立方米中同种微生物含量
约为
.则
下列各数中与
最接近的是（ ）（参考数据：
）
A．0.3
B．10
C．
D．
一、单选题
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，计算
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
3．下列各数中与
最接近的是（ ）（参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．36
5．围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000 多年的历史.围棋
最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”
是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19 道棋盘（即
棋盘上有纵横各19 条线段将棋盘分成361 个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
约为
，而可观测宇宙中普通物质的原子总数
约为
，则下列各数中与
最接近的是（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，
，
，
，则
（ ）
A．e
B．
C．1
D．
二、多选题
7．下列运算正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，若
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．
C．若
，则
D．若
，则
三、填空题
9．
.
10．已知
，则
．
11．已知
，
，则
.（结果用
表示）
四、解答题
12．计算：
．
13．求值：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
14．（1）已知
，试用
表示
；
（2）已知
，求
的值．
15．已知
均为正实数，
均为大于0 且不等于1 的实数，若
且
，求
的值．
