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拓展提升02 巧用割补法与等积法求体积
题型01 割补法
解题锦囊
立体几何中的割补法的运用一般是通过将复杂的、不规则的、不易认识的几何体，通过“分割”或者
“补形”转化为简单的、规则的、易于认识的几何体，从而解决问题的一种解题方法.
通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联系，提高空间想象能力.割补法的运用蕴
含了一种构造的思想方法，反映了对立、统一的辩证思想.
【典例1】（24-25 高三下·北京·阶段练习）如图，三棱锥P-ABC 的体积为V，E，F 分别是棱PB，PC 上靠
近点P 的三等分点，G 是棱AB 上靠近点B 的三等分点，H 是棱AC 上靠近点C 的三等分点，则多面体
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】多面体
体积为三棱锥
与四棱锥
体积之和,再利用体积之比与高之比
底面积之比的关系解题即可.
【详解】连接
，
∵
∴
，
∵
，
∴
,
∴多面体
体积为：
.
故选： B.
【典例2】（2025 高三下·全国·专题练习）一个五面体
．已知
，且两两之间距离
为．
，
，
，则该五面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】采用补形法将五面体
补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可.
【详解】如图，用一个完全相同的五面体
（顶点与五面体
一一对应）与该五面体相
嵌，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形，
侧棱长为
，
故
．
故选：C.
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）如图，一个底面半径为3 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最
短和最长母线长分别为4 和10，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将给定的几何体补成一个圆柱，再计算体积得到答案.
【详解】由几何体的直观图知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示，
将圆柱补全，并将圆柱从点
处水平分成上，下两部分，
由图知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的
，
所以该几何体的体积
．
故选：B
【变式2】（24-25 高三上·安徽宣城·期末）如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若
被截正方体的棱长为60cm，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】把几何体转化为正方体减去八个三棱锥，再结合棱柱及棱锥的体积公式计算即可.
【详解】
.
故选：D.
【变式3】（24-25 高三上·河北唐山·期末）如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，则三棱柱
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件求出
的面积，把求三棱锥
的体积转化成求三棱锥
的体积，再根
据
的关系进行求解．
【详解】
平面
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
所以
，
故选：B．
【变式4】（23-24 高一下·天津·开学考试）如图，在多面体
中，已知四边形
是边长为3 的
正方形，
，
，
上任意一点到平面
的距离均为
，则该多面体的体积为（ ）
A．
B．
C．12
D．
【答案】B
【分析】连接
，
，
，把该几何体分成一个四棱锥与一个三棱锥的组合体，分别求出
及
，即可得解.
【详解】如图所示，连接
，
，
，
则该多面体的体积
，
又
.
∵
，
，∴
.
∴
.
故该多面体的体积
.
故选：B
【变式5】（23-24 高三上·天津·期末）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同
的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）．在“蒺藜形多面体”中，
若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】A
【分析】利用割补法，结合体积公式求出即可.
【详解】因为
，所以
，
，
设
，则
到
的距离为
，
所以蒺藜形多面体体积为正方体体积减去
，
即
.
故选：A
【变式6】（24-25 高二上·上海闵行·期末）如图所示的几何体
，底面
是矩形，
，
，
，
，直线
到底面
的距离
，则该几何体
的体积是（ ）
A．5
B．10
C．15
D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，将几何体
分为三棱锥
和三棱柱
，求出
三个图形的体积相加后得到答案.
【详解】过点
分别作
⊥
，
⊥
于点
，同理作出
⊥
，
⊥
于
，
因为
，故将几何体
分为三棱锥
和三棱柱
，
因为底面
是矩形，所以
，故
⊥
，
因为
，
平面
，
所以
⊥平面
，同理可得
⊥平面
，
故三棱柱
为直三棱柱，
因为
，
，
，
所以
，
其中
，故
，
则
，
设四边形
和四边形
的面积分别为
，
可得
，
故该几何体
的体积为
.
故选：A
【变式7】（2025·重庆·一模）已知平行六面体
的体积为1，若将其截去三棱锥
，
则剩余部分几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可.
【详解】设点
到平面
的距离为，
的面积为，
显然有
，所以
，
因此剩余部分几何体的体积为
，
故选：D
题型02 等积法
解题锦囊
等积法(又称等积变换法)
（1）利用三棱锥的“等积性”,即体积计算时可以任一个面作为三棱雉的底面. (1)求体 积时,可选
择“容易计算”的方式来计算; (2)利用“等积法”可求“点到面的吟离”,关键是在 面中选取 3 个点,
与已知点构成三棱锥.
(2) 等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等 价转换.
【典例3】（2025·山东聊城·模拟预测）三棱锥
中，
，则三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用线面垂直的判定定理得
平面
，再将体积转化
即可求得结果.
【详解】因为
在平面
内且相交于点
故
平面
，
中，
故
故
故
故选：B.
【变式1】（23-24 高一下·山西大同·期末）在正四棱锥
中，
，
，点
是棱
的
中点，则三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据棱锥的体积公式求解即可.
【详解】记
，连接
，
则
即为棱锥的高，
又
，
，
所以
，
，
因为点
是棱
的中点，
所以
．
故选：D．
【变式2】如下图，四棱锥P−ABCD 中，PD ⊥¿ ¿平面ABCD ，PD =DC =BC =1,AB =2,
AB //DC ,∠BCD =90° ，则点A 到平面PBC 的距离为 .
【答案】√2.
【分析】先证明PC ⊥BC ，而所求点A 到平面PBC 的距离，需利用“算两次”，求出三棱锥P−ABC
的体积即可.
【解析】因为PD ⊥¿ ¿平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,
所以PD ⊥BC .由∠BCD =90∘
,得BC ⊥DC .
又PD ∩DC =D ,PD ⊂平面PCD ,DC ⊂平面PCD ,所以BC ⊥¿ ¿平面PCD ,
因为PC ⊂平面PCD ,所以PC ⊥BC .
连结AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .
因为AB //DC ,∠BCD =90∘
,所以∠ABC =90∘.从而由AB =2,BC =1,
得Δ ABC 的面积SΔ ABC =1.由PD ⊥¿ ¿平面ABCD 及PD =1 ,得三棱锥P−ABC
的体积
V =1
3 SΔ ABC⋅PD =1
3⋅¿ ¿
因为PD ⊥¿ ¿平面ABCD ,DC ⊂平面ABCD ,
所以PD ⊥DC ,又PD =DC =1 ,所以PC =√PD 2+DC 2=√2
由PC ⊥BC ,BC =1,得ΔPBC 的面积SΔPBC =√2
2 ,
由
V =1
3 SΔPBC h=1
3 . √2
2 ⋅h=1
3 ,得h=√2.
因此．点A 到平面PBC 的距离为√2.
【变式3】（23-24 高一下·浙江金华·阶段练习）棱长为2 的正方体
中，
分别为棱
的中点，求三棱锥
的体积
【答案】1
【分析】根据等体积法
，即可根据锥体体积公式求解.
【详解】如图，由正方体棱长为2 及
分别为棱
的中点，得
，
又易知
为三棱锥
的高，且
，
∴
【变式4】（24-25 高一下·陕西商洛·阶段练习）已知正方体
的棱长为3，E 为CD 的中点，
则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】利用体积法求点到平面的距离.
【详解】如图：
因为
.
在
中，
,
.
所以
边
上的高为：
，
所以
.
设点
到平面
的距离为，由
.
故选：A
【变式5】（2024 高一·全国·专题练习）在多面体
中，四边形
为矩形，O，M 分别为
，
BC 的中点，
，
，
，
，
．
(1)求多面体
的体积；
(2)求三棱锥
的体积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将多面体补全为直三棱柱，再用棱柱体积减去棱锥体积即得多面体体积；
（2）将多面体补全为长方体，利用等体积法有
求体积.
【详解】（1）将多面体
补形得到直三棱柱
，如图①，
因为
，即S 为
的中点，所以
，
又
，故多面体
的体积为
．
（2）如图②，将多面体
补形为长方体
，连接
，则
，
易知
，又点O 到平面MDC 的距离为
，
所以
．
