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第09 讲 余弦函数的性质与图象
课程标准
学习目标
1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦
函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的
周期、单调区间及最值．
1．通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观
想象核心素养．
2．借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观
想象和数学运算核心素养.
知识点01 余弦函数的图象
1．余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角
，都有唯一确定的余弦
与之对应，所以
是
一个函数，一般称为余弦函数。函数
的图象成为余弦曲线。
2．余弦函数图象的三种画法
（1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在
上的图象；
（2）五点法：在函数
，
的图象上，有5 个关键点：
，
，
，
，
，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得
，
的图象。
（3）平移法：根据诱导公式
，可知
的图象可由
的图象向左平
移
个单位得到（如图所示）。
【即学即练1】（23-24 高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作
的图象，首先描出的五个点
的横坐标是（ ）
A．0，
，π，
，2π
B．0，
，
，
，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，
，
，
，
知识点02 余弦函数的性质
1．定义域与值域：定义域为R，值域为
当且仅当
，
时，
；
当且仅当
，
时，
；
2．奇偶性：偶函数
3．周期性：最小正周期为
4．单调性：单调增区间为
；单调减区间为
5．对称性：对称轴为
，对称中心为
【即学即练2】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是最小正周期为
的偶函数
B．
是最小正周期为
的偶函数
C．
是最小正周期为
的奇函数
D．
是最小正周期为
的奇函数
题型01 五点法作余弦函数图像
【典例1】（24-25 高一上·全国·课后作业）用五点法画出函数
在区间
内的图象．
【变式1】用“五点法”作
的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的简图是（ ）
A．
B．
B．C．
D．
【变式3】（23-24 高一上·河南商丘·期末）已知函数
.
(1)填写下表，并画出
在
上的图象；
0
(2)写出
的解集.
题型02 余弦函数与不等式
【典例2】（24-25 高一下·黑龙江·阶段练习）函数
定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·山东德州·阶段练习）满足
的角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】函数
的定义域为 .
【变式4】（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）在
内，使
成立的x 的取值范围是
．
题型03 余弦函数的周期性
【典例3】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·山东日照·期中）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式2】（2024 高一上·全国·专题练习）若函数
的最小正周期是2，则
的值
为（ ）
A．
B．π
C．
D．
【变式3】（23-24 高三下·湖南岳阳·开学考试）设函数
，若对于任意的
，都有
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
题型04 余弦函数的奇偶性
【典例4】（24-25 高一上·浙江杭州·阶段练习）“
”是“函数
为奇函数”的
（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【变式1】（24-25 高一上·福建福州·阶段练习）已知函数
是偶函数，则
的值
为（ ）
A．
B．1
C．1 或
D．
【变式2】（23-24 高一上·广西柳州·期末）已知函数
是奇函数，则
时，
．
【变式3】（23-24 高一下·北京·期末）已知函数
为奇函数， 则符合条件的一个
的取
值可以为 .
【变式4】（23-24 高二上·广西贵港·期末）已知函数
是奇函数，则
．
题型05 余弦函数的对称性
【典例5】（23-24 高一下·山东临沂·期中）已知函数
图象关于直线
对称，
且关于点
对称，则
的值可能是（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【变式1】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数
图象的一个对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的最大值为2
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于坐标原点对称
【变式3】（2024·陕西榆林·二模）若函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
的图象关于原点
中心对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 余弦函数的单调性
【典例6】（24-25 高一上·河北衡水·期中）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式1】（24-25 高一上·全国·单元测试）已知函数
，则函数
的单调递减区间
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·甘肃白银·期中）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调递增
D．
的图象关于点
对称
【变式3】（2024·全国·模拟预测）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 根据余弦函数的单调性求参数
【典例7】（24-25 高一上·上海·课后作业）函数
在区间
上严格减，实数
的取值范围是
.
【变式1】已知函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】 （2024·江西宜春·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是 ．
【变式3】若函数
在
上不单调，则实数
的取值范围是 .
题型08 利用单调性比较大小
【典例8】（24-25 高一上·全国·课后作业）下列不等式中，正确的有（ ）
①
；②
；③
；④
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【变式1】已知
为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】设
，
，
则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高三上·辽宁抚顺·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知定义在
上的偶函数
满足在区间(0,1)内单调递增．若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09 余弦函数的值域与最值问题
【典例9】（24-25 高一上·云南红河·期末）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·湖南常德·阶段练习）
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数
的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）函数
，
，当
时，f (x)最小且最小值为 ．
题型10 根据函数值域求参数
【典例10】（23-24 高一下·山东日照·期末）设函数
，若
对任意的实数
x 都成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一·上海·随堂练习）已知函数
的定义域为
，值域为
，那么
的值为（ ）．
A．－6
B．－3
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·江西南昌·期末）已知函数
，若对任意的实数，
在区间
上的值域均为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·四川成都·期中）已知命题
：
，
，若命题
是假
命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 与余弦函数有关的零点问题
【典例11】（23-24 高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数
在
上有且仅
有2 个零点.则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·辽宁辽阳·期中）已知函数
的一个零点是
，则
的最小
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·湖南永州·期末）已知函数
在区间
上单调递减，
且在区间
上恰有个零点，则
的取值范围是 .
【变式3】（23-24 高一下·上海·阶段练习）设常数
，
．若函数
在区
间
上恰有2024 个零点，则所有可能的正整数n 的值组成的集合为
题型12 余弦函数的图像变换
【典例12】（23-24 高一下·山东青岛·期末）将
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，
则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于
对称
C．
是
的一个零点
D．
是
的一个单调减区间
【变式1】（24-25 高一下·辽宁·期末）已知函数
在
上单调，且
的图象关于点
对称，则（ ）
A．
的周期为π
B．若
，则
C．将
的图像向右平移
个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数
在
上有2 个零点
【变式2】（23-24 高一·全国·假期作业）已知函数
，函数
的图象可以由函数
的图象先
向右平移
个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍得到，若函数
在
上没有零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高三上·北京·阶段练习）将函数
的图象向左平移
个单位长
度后得到函数
的图象，且
，下列说法错误的是（ ）
A．
为偶函数
B．
C．当
时，
在
上有3 个零点
D．若
在
上单调递减，则
的最大值为9
题型13 根据图像求函数的解析式
【典例13】（多选）（24-25 高一上·吉林长春·期末）已知函数
的
图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
在区间
单调递增
D．当
时，函数
有8 个零点
【变式1】（多选）（23-24 高一上·湖南·期末）已知函数
，且函数
的图像如图所示，
则（ ）
A．
B．若
，则
C．已知
，若
为偶函数，则
D．若
在(0,π)上有两个零点，则
的取值范围为
【变式2】（24-25 高一上·山西晋城·期末）已知函数
的部分
图象如图所示.
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的值域；
(3)若函数
在(0,m)上恰有5 个零点，求m 的取值范围.
【变式3】（23-24 高一上·山西·期末）如图，已知函数
的图象与
轴相交
于点
，图象的一个最高点为
．
(1)求
的解析式；
(2)将函数y = f (x)的图象向左平移
个单位长度，得到函数y = g(x)的图象，求函数
的所
有零点之和．
一、单选题
1．（2021·海南·模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·陕西咸阳·期末）为了得到余弦函数
的图象，只需把函数
图象上所有的
点（ ）
A．横坐标伸长为原来的4 倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的4 倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的
，横坐标不变
3．（23-24 高一下·河北承德·阶段练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数
，
，则
的单调递增
区间是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
5．（24-25 高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．若
，则
的最小值为
6．（2024·天津南开·一模）关于函数
，则下列结论中：
①
为该函数的一个周期；
②该函数的图象关于直线
对称；
③将该函数的图象向左平移
个单位长度得到
的图象：
④该函数在区间
上单调递减.
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．①③④
7．（23-24 高一上·湖南·期末）已知函数
，其中
.若
在区间
上单调
递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高一上·云南昆明·期末）将函数
的图象上所有的点向左平移
个单位长
度，所得图象关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（22-23 高一上·河北唐山·期中）设函数
，则（ ）
A．
的一个周期为
B．
的图象关于直线
对称
C．
的一个零点为
D．
在
单调递减
10．（23-24 高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数
（
，
，
）在
处取得最小值
，与此最小值点相邻的
的一个零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
在
上单调递减
11．（24-25 高一上·吉林松原·期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
为偶函数
C．
在
上单调递减
D．
在
上有6 个零点
三、填空题
12．（22-23 高一上·江苏扬州·阶段练习）函数
的值域为 .
13．（24-25 高三上·天津河北·期中）将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，则函数
在区间
上的值域 .
14．（24-25 高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数
的图象向左平移
个单位，再将函数图象上所有
点的横坐标变为原来的
得到函数
的图象，若
在区间
上恰有1 个最小值和3 个零点，
则
的取值范围为 .
四、解答题
15．（24-25 高一上·江苏常州·期末）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期与单调递增区间；
(2)求函数
在区间
上的值域．
16．（24-25 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数
.
(1)求函数
的对称中心坐标；
(2)求函数
的单调递减区间；
(3)若
，求函数
的值域.
17．（青海省名校联盟2024-2025 学年高一上学期期末联合考试数学试题）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的值域；
(3)若函数
在
上恰有两个不同的零点，求
的取值范围.
18．（23-24 高一下·江西南昌·期中）已知函数
（其中
，
）.
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期.
19．（23-24 高一上·江苏南通·期末）已知函数
，对任意
，当
时，
的最小值为
，将
的图象向左平移
个单位长度得到
的图象，
图象关于
轴对称．
(1)求
：
(2)已知
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
