专题08
抛物线压轴题
1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的
焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上．它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离
心率e）不同，当e＝1 时为抛物线，当0<e<1 时为椭圆，当e>1 时为双曲线．
抛物线的标准方程：
0
2
2
p
px
y
其焦点F 的坐标
0,
2
p
，准线方程
2
p
x
；或
0
2
2
p
py
x
其
焦点F 的坐标
2
,0 p
，准线方程
2
p
y
．
2．抛物线图像及其性质：
标准方程
2
2
(
0)
y
px
p
2
2
(
0)
y
px
p
2
2
(
0)
x
py
p
2
2
(
0)
x
py
p
图形
o F
x
y
l
o
x
y
F
l
x
y
o
F
l
焦点坐标
准线方程
焦半径
范围
对称性
顶点
离心率
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
3．直线和抛物线的位置关系：
（1）将直线的方程y
kx
m
与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一
元二次方程，其判别式为Δ．
2
2
2
0
ky
py
pm
若
0
k
，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
0
k
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0 直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 直线和抛物线相离，无公共点．
（2）直线与抛物线的相交弦
设直线y
kx
m
交抛物线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0)
a
b
于点
1
1
1
2
2
2
( ,
) ,
(
,
),
P x y
P x
y
两点，则
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
PP
x
x
y
y
=
2
2
1
2
1
2
1
2
(
) [1
(
) ]
y
y
x
x
x
x
=
2
1
2
1
|
|
k
x
x
同理可得
1
2
1
2
2
1
|
|
1
|
| (
0)
PP
y
y
k
k
这里
1
2
|
|,
x
x
1
2
|
|,
y
y
的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
4
x
x
x
x
x x
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
4
y
y
y
y
y y
（3）已知过抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点F 的直线交抛物线于A、B 两点。
设A（x1,y1），B（x2,y 2），则：
①焦点弦长
1
2
2
2
|
|
|
|
(
)
sin
p
AB
x
x
p
AB
AB
或
为
的倾斜角
②
2
2
1
2
1
2
-
4
p
x x
y y
p
，
焦半径
焦点弦公式
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
③
1
1
2
|
|
|
|
FA
FB
p
，其中|AF|叫做焦半径，
1
|
|
2
p
FA
x
④焦点弦长最小值为2p。根据
2
2
|
|
sin
2
p
AB
可见，当为
时，即AB 垂直于x 轴时，弦AB 的长最短
⑤过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．
题型一
抛物线的标准方程
例1（1）点
(5,3)
M
到抛物线
2
x
ay
的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（
）
A．
2
1
12
x
y
B．
2
1
12
x
y
或
2
1
36
x
y
C．
2
12
x
y
或
2
36
x
y
D．
2
1
36
x
y
（2）设双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，O 为坐标原点．以
1
2
F F 为直径的圆
与双曲线的右支交于P 点，且以
2
OF 为直径的圆与直线
1
PF 相切，若
1
8
PF ，若双曲线C 与抛物线
2
2
y
px
有共同的右焦点
2
F ，则抛物线的标准方程为（
）
A．
2
12 2
y
x
B．
2
12
y
x
C．
2
6 2
y
x
D．
2
6
y
x
（3）抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点为F ，准线是l ，O是坐标原点，P 在抛物线上满足OP
PF
，连
接FP 并延长交准线l 与Q 点，若OFQ
的面积为8 2 ，则抛物线C 的方程是（
）
A．
2
2
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
4 2
y
x
D．
2
8
y
x
练习题
（1）已知抛物线C ：
2
2
y
px
（
0
p
）的焦点为F ，点T 在C 上，且
5
2
FT
，若点M 的坐标为
0,1 ，
且MF
MT
，则C 的方程为（
）
A．
2
2
y
x
或
2
8
y
x
B．
2y
x
或
2
8
y
x
C．
2
2
y
x
或
2
4
y
x
D．
2y
x
或
2
4
y
x
（2）已知抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点为F，准线l 上有两点A，B，若FAB
为等腰直角三角形且面
积为8，则抛物线C 的标准方程是（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．
2
4 2
y
x
B．
2
8
y
x
C．
2
4 2
y
x
或
2
8
y
x
D．
2
4
y
x
（3）已知抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点为F ，准线为l，过点F 且斜率为
3 的直线交抛物线于点M ( M 在
第一象限)，MN
l
，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若|
| 2 3
MD
，则抛物线的方程是（
）
A．
2y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
4
y
x
D．
2
8
y
x
（4）点
5,3
M
到抛物线
2
y
ax
的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（
）
A．
2
12
y
x
B．
2
36
y
x
C．
2
12
y
x
或
2
36
y
x
D．
2
1
12
y
x
或
2
1
36
y
x
题型二
抛物线的最值问题
例2（1）已知直线
1
2
0
mx
y
m
恒过定点A ，抛物线E ：
2
2
0
y
px p
的焦点坐标为
1,0
F
，P 为
抛物线E 上的动点，则PA
PF
的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
（2）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点F 到其准线的距离为2，过点
(4,0)
E
的直线l 与抛物线C 交于A ，
B 两点，则|
| 2 |
|
AF
BF
的最小值为（
）
A．2 2
3
B．8 2
3
C．17
8
D．9
（3）已知抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为2，点P 是直线l 上的动点.若点A 在抛物线C 上，且|
|
5
AF ，
过点A 作直线PF 的垂线，垂足为H ，则|
| |
|
PH
PF
的最小值为（
）
A．2 5
B．6
C．
41
D．2 13
练习题
（1）已知以圆C ：
2
2
(
1)
4
x
y
的圆心为焦点的抛物线
1
C 与圆在第一象限交于A 点，B 点是抛物线
2
C ：
2
8
x
y
上任意一点，BM 与直线=
2
y
垂直，垂足为M ，则|
|
|
|
BM
AB
的最大值为（
）
A．1
B．2
C．1
D．8
（2）设P 为抛物线C：
2
4
y
x
上的动点，
2,4
A
关于P 的对称点为B，记P 到直线
1,
3
x
x
的距离
分别
1d ，
2
d ，则
1
2
d
d
AB
的最小值为（
）
A．2 17
2
B．2 13
2
C．17
2
D．13
17
2
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（3）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点
,
A B 的距离之比为定值
1
的点的轨迹是圆”.
后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，点
3 1
,
2 2
A
，
3 ,2
2
B
，若点P 是满足
1
2
的阿氏圆上的任意一点，点Q 为抛物线
2
:
6
C
y
x
上的动点，Q
在直线
3
2
x
上的射影为R ，则
2
2
PB
PQ
QR
的最小值为（
）
A．34
B．
37
C．
42
D．3 5
（4）已知抛物线
2
:
4
C y
x
，焦点为F，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线
1
2
1
0
a
x
y
a
的
垂线，垂足为P，则MF
MP
的最小值为（
）
A．5
2
2
B．3
2
2
C．5
D．3
（5）已知点
1,
(
1)
P
a
a
在抛物线C ：
2
2
(
0)
y
px p
上，过P 作圆
2
2
1
1
x
y
的两条切线，分别交C
于A ，B 两点，且直线AB 的斜率为1
，若F 为C 的焦点，点
,
M x y 为C 上的动点，点N 是C 的准线与坐
标轴的交点，则
MN
MF 的最大值是（
）
A．
2
B．2
C．2 3
3
D．
3
2
题型三抛物线性质综合题
例3：（1）（多选题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是抛物线C ：
2
4
x
y
的焦点，点P 是C 上异于原
点O的动点，过点P 且与C 相切的直线l 与y 轴交于点Q ，设抛物线C 的准线为m ，PH
m
，H 为垂足，
则（
）
A．当点P 的坐标为
2,1 时，直线l 的方程为
1
0
x
y
B．设
2,2
M
，则PM
PF
的最小值为4
C．
2
4
PQ
OQ
HQ
D．
2
FPH
FPQ
（2）
（多选题）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.
在平面直角坐标系xOy 中，动点
,
P x y 到两个定点
1
1,0
F
，
2 1,0
F
的距离之积等于3，化简得曲线C：
2
2
2
1
4
9
x
y
x
.则下列结论正确的是（
）
A．曲线C 关于y 轴对称
B．
1
2
PF
PF
的最小值为2 3
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
C．
1
2
F PF
△
面积的最大值为3
2
D．OP 的取值范围为
2,2
（3）（多选题）已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，点
,
M N 为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有
2
1
M
F
N
M
x
x
x
x
．直线
,
MF NF 与准线分别交于
,
A B 两点，则下列说法正确的是（
）
A．当
9
N
x
时，MF
FA
B．当
2
M
x
时，
:
4:5
MFN
ABF
S
S
△
△
C．当
2
M
x
时，
:
9:5
AF
BF
D．当
3
M
x
时，延长NM 交准线于,
:
5:6
CBM
ANF
C S
S
△
△
（4）
（多选题）已知抛物线C：2
4
y
x
的焦点为F，过点F 的直线与抛物线C 交于A、B 两点，直线l：= 1
x ，
M 为l 上一动点，则下列结论正确的是（
）
A．4 AF
BF
的最小值为10．
B．若
1
AA
l
，
1A 为垂足，且MA为
1A AB
的平分线，则MF ⊥AB
C．对任意点M，均有
0
MA MB
D．当ABM
为等边三角形时，ABM
的面积为36 3
练习题
（1）（多选题）平面直角坐标系中xOy 中，已知抛物线
2
:
2
(
0)
y
px p
，焦点为F，准线为l，顶点为A。
则下列说法正确的有：（
）.
A．抛物线上两点P、G 与顶点A 为正三角形三顶点，PG 与的对称轴交于N，则AN=6p.
B．过上两点Q、Q’的切线交于T，作TK⊥l,直线QQ’与的对称轴交于N’，则TK=2FN’.
C．过焦点F 作三条弦
',
',
'
XX YY ZZ ，则
'
'
'
' '
'
XYZ
X
Y
Z
X Y Z
X
Y
Z
S
y y y
S
y y y
△
△
.
D．任意作一条直线'l 与抛物线相交于
,
'
R R （设R 在R’上方）,在直线'l 取两点,
'
T T 使得
'
'
RR
TT
（设
T 在R 上方，T’在R’下方），分别过,
'
T T 作的切线，切点为,
'
S S ，直线SS’和RR’交于M，则M 为RR’
中点.
（2）（多选题）已知抛物线C 的标准方程为
2
4
y
x
，O 为坐标原点，直线l 为其准线，点A，B 是C 上的
两个动点（不是原点O），线段AB 与x 轴交于点M，连接AO 并延长交准线于点D，则（
）
A．若点M 为C 的焦点，则直线BD 平行于x 轴
B．若点M 为C 的焦点，则线段AB 的长度的最小值为4
C．若OA
OB
，则点M 为C 的焦点
D．若AOM
与BOM
的面积之积为定值，则点M 为C 的焦点
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（3）（多选题）已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为
, ,
F A B 是抛物线上的两点，则下列说法中正确的是：（
）
A．若线段AB 的中点为
2,2 ，则直线AB 的方程为y
x
B．若线段AB 过焦点F ，且
16
3
AB
，则直线AB 的斜率为
3
k
C．已知A 为抛物线C 上在第一象限内的一个动点，
1,0
M
，若
2 2
tan
3
AMO
，则直线AF 的斜率
为2 2
D．抛物线上一动点N 到直线1 : 4
3
8
0
l
x
y
和2 :
3
l
x 的距离之和的最小值为22
5
（4）（多选题）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
是抛物线
2
4
x
y
上的两点，O是坐标原点，下列结论正确的是（
）
A．若直线AB 过抛物线的焦点F ，则
4
AB
OF
B．若直线AB 过抛物线的焦点F ，则
1
2
4
x x
C．若OA
OB
，则
32
OA OB
D．若OA
OB
，则O到直线AB 的距离不大于4
（5）如图，已知直线与抛物线
2
2
0
x
py p
交于A，B 两点，且OA
OB
，OD
AB
于点D，点M 为弦
AB 的中点，则下列说法正确的是（
）
A．A，B 两点的横坐标之积为
2
2p
B．当点D 的坐标为
1,3 时，
5
3
p
C．直线AB 过定点
0,2 p
D．点M 的轨迹方程为
2
2
x
p y
p
题型四定点定值问题
例4（1）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
1
2 ，E 的左右焦点分别为
1F ，
2
F ，P 是椭圆上任意
一点，满足
1
2
4
PF
PF
.抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点F 与椭圆E 的右焦点
2
F 重合，点M 是抛物线C
的准线上任意一点，直线MA，MB 分别与抛物线C 相切于点
,
A B .
(1)若直线l 与椭圆E 相交于D ，N 两点，且DN 的中点为
1
1, 2
Q
，求直线l 的方程；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)设直线MA，MB 的斜率分别为
1k ，
2k ，证明：
1
2
k k
为定值.
（2）已知过点
(2,0)
P
的直线l 与抛物线
2
:
2
(
0)
E
y
px
p
交于
,
A B 两点，过线段AB 的中点M 作直线
MN
y
轴，垂足为N ，且PM
PN
.
(1)求抛物线E 的方程；
(2)若C 为E 上异于点
,
A B 的任意一点，且直线
,
AC BC 与直线
2
x 交于点
,
D R ，证明：以DR 为直径的圆
过定点.
（3）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆C 与圆
2
2
1 :
2
0
O
x
x
y
内切，且与直线
2
x 相切，设动圆圆
心C 的轨迹为曲线E ．
(1)求E 的方程；
(2)已知
0
0
4,
0
P
y
y
是曲线E 上一点，,
A B 是曲线E 上异于点P 的两个动点，设直线PA ､PB 的倾斜角分
别为
､
，且
3
4
，请问：直线AB 是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.
练习题
（1）设抛物线C ：
2
2
y
px
（
0
p
）的焦点为F ，点A 的坐标为
3, 2
.已知点P 是抛物线C 上的动点，
PA
PF
的最小值为4.
(1)求抛物线C 的方程：
(2)若直线PA 与C 交于另一点Q ，经过点
3, 6
B
和点Q 的直线与C 交于另一点T ，证明：直线PT 过定点.
（2）已知抛物线
2
1 :
0
C
y
px p
的焦点为
1F ，抛物线
2
2 :
2
C
y
px
的焦点为
2
F ，且
1
2
1
2
F F
．
(1)求p 的值；
(2)若直线l 与
1
C 交于M，N 两点，与
2
C 交于P，Q 两点，M，P 在第一象限，N，Q 在第四象限，且
2
MP
NQ
，
证明：
MN
PQ 为定值．
（3）已知抛物线
2
:
2
E x
py
（p 为常数，
0
p
）.点
0
0
,
M
x
y
是抛物线E 上不同于原点的任意一点.
(1)若直线
0
0
:
2
x
l y
x
y
与E 只有一个公共点，求p ；
(2)设P 为E 的准线上一点，过P 作E 的两条切线，切点为
,
A B ，且直线PA ，PB 与x 轴分别交于C ，D 两
点.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
①证明：PA
PB
②试问
PC
AB
PB CD
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
题型五能力提升创新题
1.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖
的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm ，碗盖口直径为8cm ，碗体口直径为10cm ，碗体深6.25cm ，则
盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（
）
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8.25cm
2．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1 所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2 所示，其
中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距
离为（
）
A．27 cm
4
B．9 cm
2
C．27 cm
8
D．23 cm
6
3．数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽
略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线
2
y
ax
的一部分，其焦点坐标为
0, 2
，校门最高点到地面距离约为
18 米，则校门位于地面宽度最大约为（
）
A．18 米
B．21 米
C．24 米
D．27 米
4.(多选题）伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.2022 年卡塔
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy 中，
把到定点
1
,0
F
a
、
2
,0
F
a
距离之积等于
2
0
a
a
的点的轨迹称为双纽线C .已知点
0
0
,
P
x
y
是双纽线C 上
一点，下列说法正确的有（
）
A．双纽线C 既关于x 轴对称，也关于y 轴对称
B．
1
2
F PF
△
面积的最大值为
2
2
a
C．双纽线C 上满足
1
2
PF
PF
的点P 有两个
D．PO 的最大值为
2a
5.如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细
绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，
用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上
画出了圆锥曲线C 的一部分图象．已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P 处，此时，
30
FAP
，
90
AFP
．设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂
线为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C 的方程；
(2)斜率为k 的直线过点
0, 3
D
，且与曲线C 交于不同的两点
,
M N ，已知k 的取值范围为
0,2 ，探究：是
否存在，使得DM
DN
，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
6．已知抛物线E ：
2
4
y
x
，过点
(1,1)
P
作斜率互为相反数的直线
,
m n ，分别交抛物线E 于
,
A B 及
,
C D 两点．
(1)若
3
PA
BP
，求直线AB 的方程；
(2)求证：
CAP
BDP
．
1.已知抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的焦点为F ，准线为l ，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M （M 在
第一象限），MN
l
，垂足为N ，直线NF 交x 轴于点D ，若|
| 2 3
MD
，则抛物线的方程是（
）
A．
2x
y
B．
2
2
x
y
C．
2
4
x
y
D．
2
8
x
y
2.以x 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4 的抛物线方程是（
）
A．
2
8
y
x
B．
2
8
y
x
C．
2
8
y
x
或
2
8
y
x
D．
2
8
x
y
或
2
8
x
y
= -
3.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3
4
12
0
x
y
上的抛物线的标准方程为（
）
A．
2
16
x
y
或
2
12
y
x
B．
2
16
y
x
或
2
12
x
y
C．
2
16
y
x
或
2
12
x
y
D．
2
16
x
y
或
2
12
y
x
4.已知A、B 是抛物线
2
2
0
y
px p
上的两点，直线AB 垂直于x 轴，F 为抛物线的焦点，射线BF 交抛物
线的准线于点C，且
4 5
5
AB
AF
，
AFC
△
的面积为2 5
2
，则p 的值为（
）
A．
2
B．1
C．2
D．4
5.已知抛物线
2
1 :
0
C
y
ax a
的焦点与双曲线
2
2
2
2
:
1
0
4
x
y
C
b
b
的右焦点重合，记为F 点，点M 与点
4,6
P
分别为曲线
1
2
,
C C 上的点，则MP
MF
的最小值为（
）
A．5
2
B．8
C．13
2
D．11
2
6.已知抛物线
2
1
4
y
x
的焦点为F，点
1,3
B
，若点A 为抛物线任意一点，当AB
AF
取最小值时，点A
的坐标为（
）
A．1 ,1
4
B．
1
1, 4
C．
1,4
D．
4,1
7.已知
, ,
A B C 是抛物线
2
12
y
x
上三个动点，且ABC
的重心为抛物线的焦点F ，若B ，C 两点均在x 轴上方，
若BC 的斜率
BC
k
m
恒成立，则m 的最大值为（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．19
6
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
8.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，准线为l，过点F 作斜率为4 2
7
的直线与C 在第一象限内相交
于点P，过点P 作PM
l
于点M，连接MF 交C 于点N，若MF
NF
，则的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
9.已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点F 关于直线x
y
m
的对称点为
2,1 ，O 为坐标原点, 点
,
M N 在
C 上且满足
0
OM ON
（
,
M N 均不与O重合），则
MON
△
面积的最小值为（
）
A．4
B．8
C．16
D．20
10.（多选题）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
与圆
2
2
:
5
O x
y
交于A 、B 两点，且AB
4
，直线l 过C 的
焦点F ，且与C 交于M 、N 两点，则下列说法中正确的是（
）
A．
2
p
B．
1
1
1
MF
NF
C．存在某条直线l ，使得
2
5
MF
NF
D．若点
2,2
G
，则
GFM
△
周长的最小值为3
5
11.（多选题）已知抛物线
2
:
4
C y
x
，过焦点F 的直线交抛物线于
,
A B 两点，分别过
,
A B 作准线l 的垂线，
垂足为
1
1
,
A B ，O为坐标原点，
( 1,0)
Q
，则（
）
A．
1
1
A F
B F
B．若
3
AF
，则
AOF
的面积为2 2
C．若M 为抛物线C 上的动点，则
MF
MQ 的取值范围为
2 ,1
2
D．若
60
AQB
，则直线AB 的倾斜角的正弦值为
3
3
12.已知抛物线
2
:
2
0
E y
px p
，
0
4,
P
y
为E 上位于第一象限的一点，点P 到E 的准线的距离为5．
(1)求E 的标准方程；
(2)设O 为坐标原点，F 为E 的焦点，A，B 为E 上异于P 的两点，且直线PA 与PB 斜率乘积为4
．
（i）证明：直线AB 过定点；
（ii）求FA FB
的最小值．
13. 已知直线1l
x
轴，垂足为x 轴负半轴上的点E，点E 关于原点O 的对称点为F，且
4
EF
，直线1
2
l
l
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
垂足为A，线段AF 的垂直平分线与直线2l 交于点B，记点B 的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)已知点
2,4
P
，不过点P 的直线l 与曲线C 交于M，N 两点，以线段MN 为直径的圆恒过点P，点P 关
于x 轴的对称点为Q，若QMN
的面积是64 2 ，求直线l 的斜率.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
