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旋转【章节复习】压轴题 手拉手逆用 题集C4
1
2
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 已知：如图，
，
是过点
的直线，
，
于点
．
在图中，过点
作
，与直线
于点
．
图
依题意补全图形．
求证：
是等腰直角三角形．
图中，线段
、
、
满足的数量关系是 ．
当
绕
旋转到如图（）和图（）两个位置时，其它条件不变．
在图中，线段
、
、
满足的数量关系是 ；
在图中，线段
、
、
满足的数量关系是 ．
图
图
在绕点
旋转过程中，当
，
时，则
．
【答案】
1
2
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
补全图见解析．
证明见解析．
;
或
2
1
2
3
（1 ）
图
图
（2 ）
【解析】
∵
，
又∵
，
∴
，
∴
．
∵
于点
，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
≌
，
∴
．
由②知
≌
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
图中过点
作
交
于点
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
在图中，过点
作
交
于点
．
3
（3 ）
【标注】
同（）可证
≌
，
∴
，
，
∴
，
即
．
情况一：由（）③得
≌
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
过点
作
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
∴
．
情况二：过点
作
交
的延长线于点
，
同①的方法
，
，
∴
，
∴综上所述
或
．
【知识点】旋转型全等
2. 一节数学课上，老师提出了这样一个问题．如图①，点
是正方形
内一点，
，
，
，你能求出
的度数吗？小宇通过观察，分析，思考，形成了如下思路：
思路一：将
绕点
逆时针旋转
，得到
，连接
，可以求出
的度数．
思路二：将
绕点
顺时针旋转
，得到
，连接
，可以求出
的度数．
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
请你参考小宇的思路，任选一种，写出完整的解答过程．
类比讨论：如图②，点
是正方形
外一点，
，
，
，则
的度数为 ．（直接写出答案即可）
【答案】（1 ）
（2 ）
．
思路一：将
绕点
逆时针旋转
，
得到
，连接
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
在
中，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是直角三角形且
，
∴
．
如图，将
绕点
逆时针旋转
，
得到
，连接
．
∴
≌
，
5
【标注】
∴
，
，
，
在
中，
，
∴
，根据勾股定理：
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是直角三角形且
，
∴
．
【知识点】旋转性质综合应用
（1 ）
（2 ）
3. 问题背景：
如图①，在四边形
中，
，
，探究线段
、
、
之
间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是：将
绕点
，逆时针旋转
到
处，点
、
分别落在
点
、
处（如图②），易证点
、
、
在同一条直线上，并且
是等腰直角三角形，所以
，从而得出结论：
．
图
图
简单应用：
在图①中，若
，
，则
．
如图③，
是⊙
的直径，点
、
在⊙
上，
．若
，
，求
的长．
6
（3 ）
（4 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
拓展延伸：
如图④，
，
，若
，
（
），求
的长（用含
，的代数式表示）．
图
如图⑤，
，
，点
为
的中点，若点
满足
，
，点
为
的中点，则线段
与
的数量关系是 ．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
．
．
或
由题意知
，
∴
，
∴
．
连接
、
、
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∵
，
7
（3 ）
∴
，
将
绕点
，逆时针旋转
到
处，如图③，
图
∴
，
∵
，
∴
，
∴
、
、
三点共线，
∵
，
，
∴由勾股定理可求得：
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
以
为直径作⊙
，连接
并延长交⊙
于点
，
连接
，
，
，
图
由（）的证明过程可知：
，
8
（4 ）
∴
，
又∵
是⊙
的直径，
∴
，
∵
，
，
∴由勾股定理可求得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
当点
在直线
的左侧时，如图⑤，
连接
，
，
图
∵
，
，
点
是
的中点，
∴
，
，
又∵
，点
是
的中点，
∴
，
设
，
∵
，
∴
，
∴
，
由勾股定理可求得
，
由（）的证明过程可知，
，
∴
，
∴
；
当点
在直线
的右侧时，如图⑥，
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【标注】
连接
，
，
图
同理可知
，
设
，
∴
，
由勾股定理可求得
，
由（）的结论可知，
，
∴
．
综上所述，线段
与
的数量关系是
或
．
【能力】分析和解决问题能力
【知识点】弧、弦、圆心角关系
【知识点】圆周角定理的推论
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】旋转的性质
4. 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形
内有一点
，且
，
，
，
求
的度数．
小伟是这样思考的：如图，利用旋转和全等的知识构造
，连接
，得到两个特殊的三角
形，从而将问题解决．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
图
图
图中
的度数等于 ．
如图，在正方形
内有一点
，且
，
，
，则
的
度数等于 ，正方形的边长为 ．
图
如图，在正六边形
内有一点
，且
，
，
，则
的度数等于 ，正六边形的边长为 （并写出解答过程）．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
∵
为正三角形，
，
∴
为正三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
.
，
图中
的度数等于
，正六边形的边长为
．
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【标注】
将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
．过点
作
，过点
作
于点
．
∵
绕点
逆时针旋转
得到
，
∴
，
，
，
∴
．
在
中，
，
∴
，
∴
．
在
中，
，
，
．
∴
，
∴
，
∴
∴
，
在
中，
，
，
∴
．
在
中，
，
∴
．
【知识点】正方形的性质
【知识点】旋转的性质
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】解直角三角形的综合应用
【知识点】勾股定理的逆定理
【知识点】勾股逆定理的应用
【能力】推理论证能力
（1 ）
5. 解答下列问题：
如图，在四边形
中，
，
，试证明：
．
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（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
B
A
D
C
如图，
是☉
的直径，点
、
在☉
上（且在
的两侧），
，若
，
，求
的长．
O
B
A
D
C
如图，
，
，若
，
，求
的
长．（用含
，的代数式表示）
A
B
D
C
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
将
绕点
，逆时针旋转
到
处，
点
，
分别落在点
，
处（如图），
B
A
D
C
E
则
≌
，
∵
，
，
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（2 ）
（3 ）
∴
，
∴点
，
，
在同一条直线上，
∵
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
如图，连接
，
O
B
A
D
C
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴由勾股定理得：
，
由（）可知：
，
，
∴
．
以
为直径作⊙
，连接
并延长交⊙
于点
，
连接
、
、
、
，如图，
A
B
D
C
O
D1
由（）得：
，
∴
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
，
，
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【标注】
∴由勾股定理可求得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】圆与全等
