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抛物线与线段最值（2）将军饮马进阶【题集】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知二次函数
的图象与轴交于
，
两点（点
在点
左侧），与
轴交于点
，点
的坐标为
，且当
和
时，二次函数的值相等，直线
交抛
物线于点
．
O
B
A
D
P
E
C
求二次函数的表达式．
点
是线段
上的一动点（点
和点
，
不重合），过点
作
，交
于
，连
接
，当
的面积最大时，求点
的坐标．
若直线
与轴交于点
，点
是抛物线对称轴上的动点，点
是轴上的动点，当四边形
的周长最小时，求出周长的最小值和点
、点
的坐标．
O
B
A
D
P
G
C
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
，
，
．
二次函数解析式为
．
如图，过
作
轴于
．
2
O
B
A
D
P
E
C
F
（
）
（3 ）
将点
代入
得，
，则
点坐标为
，
设
解析式为
，
把
，
分别代入解析式得
，
解得
，
∴直线
解析式为
．
∵
，
∴设
解析式为
．
设
解析式为
，
把
，
分别代入解析式，得
，
解得
，
∴直线
解析式为
．
则可设
，
将
代入
得
，
即
，
∴
解析式为
，
当
时，
，则
点坐标为
，
∴
，
当
时，
的面积最大．
此时，
，得
．
如图，二次函数对称轴为
，则
关于
的对称点为
，
关于轴的对称点为
．
3
【标注】
O
B
A
D
G
C
N
M
P
连接
，与交点即为
，与轴交点即为
．
此时四边形
的周长最小值
．
设
的解析式为
，
将
，
分别代入解析式得，
，
解得，
，
∴
的解析式为
，
当
时，
，
，
当
时，
，
．
四边形
的周长最小值
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形
，
点坐标为
，抛物线
经过矩形
的顶点
、
，
为
的中点，直线
与轴交于
点，与抛物线
交
于第四象限的
点．
4
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求该抛物线解析式与
点坐标．
动点
从点
出发，沿线段
以每秒个单位长度的速度向终点
运动；同时，过点
作
，垂足为
，连接
，
．设点
的运动时间为秒，问
是否
有最小值？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
；
．
．
该抛物线解析式
；
．
将
点向下平移个单位长度得
，连接
交轴于
点，过
点作
轴交
于
点，连接
，此时
最小易得
解析式为
∴
∴
∴
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过
、
两点．
求抛物线的解析式．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
在轴上存在
、
两点（点
在点
右侧），
，求当四边形
周长最小时
点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
＇
＂
【知识点】二次函数与轴对称问题
x
y
O
6
（1 ）
（2 ）
4. 在平面直角坐标系
中，抛物线
经过
、
两点，直线
交
轴于点
，且过点
．
求抛物线的解析式．
将抛物线
左右平移，记平移后点
的对应点为
，点
的对应点为
，当四
边形
的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形
周长的最小值．
【答案】（1 ）
．
6
（1 ）
x
y
O
6
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
，
．
依题意，得
，
解得
，
∴抛物线的解析式是
．
左右平移抛物线
，因为线段
和
均是定
值，
所以要使四边形
的周长最小，只要使
的值最小；
因为
，因此将点
向右平移个单位得
，
作点
关于轴的对称点
，
点的坐标为
，
设直线
的解析式为
，
将点
、
代入解析
式，得
，
解得
∴直线
的解析式为
．
∴直线
与轴的交点即为
点，可
求
，因此
．
所以当四边形
的周长最小时，
抛物线的解析式为
，即
．
∵
．
∴四边形
的周长最小值为
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
