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专题01 坐标法
题型一：求两点间的距离公式
题型二：根据两点间距离求参数
题型三：中点坐标公式
题型四：两点间距离公式的应用
题型一：求两点间的距离公式
1．已知
的顶点为
，
，
，则BC 边上的中线长为（ ）
A．4
B．5
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出BC 的中点D 的坐标，利用两点间的距离公式求出BC 边上的中线长.
【详解】设BC 的中点为D，
因为
，
，所以
,
所以BC 边上的中线长
.
故选：B
2．已知两点
，
，则
的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】利用两点间的距离公式求解可得.
【详解】由两点间的距离公式得
.
故选：B
3．三角形的两个顶点为
，则
的长为（ ）
A．3
B．5
C．9
D．25
【答案】B
【分析】根据两点间的距离公式，即可求得答案.
【详解】根据题意，利用两点间的距离公式，可得
的长为
，
故选：B
4．已知点
在
轴上，点
在
轴上，线段
的中点
的坐标是
，则
（ ）
A．10
B．5
C．8
D．6
【答案】A
【分析】由中点坐标公式确定
，
坐标，再由两点间距离公式即可求解.
【详解】设
，则
，
即
，
所以
.
故选：A
5．已知
，那么
，
中点坐标为 .
【答案】 6
【分析】根据两点之间距离公式以及中点坐标公式计算即可.
【详解】由题可知：
，中点坐标为
，即
.
故答案为：6，
题型二：根据两点间距离求参数
6．已知
，且
，则a 的值为（ ）
A．4
B．
或2
C．
D．
或4
【答案】D
【分析】由两点间距离公式即可解得.
【详解】易知
，
∴
或
.
故选：D.
7．（多选）已知点
，且
，则a 的值为（ ）
A．1
B．
C．5
D．
【答案】AD
【分析】由两点间的距离公式求解即可.
【详解】由两点间距离公式得
，所以
，
所以
，即
，或
．
故选：AD.
8．已知
，且
，则
．
【答案】
【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解.
【详解】因为
且
，所以
，解得
故答案为：
9．已知点
与点
之间的距离为5，则实数a 的值为 ．
【答案】
或
【分析】代入两点间距离公式，即可求解.
【详解】
，
化简为
，解得：
或
.
故答案为：
或
10．已知点
，
，若在
轴上存在一点
满足
，则点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】设
，根据两点间距离公式和
列出关于x 的方程，解方程即可求得P 的坐标．
【详解】设
，则
，解得
，
点
的坐标为
，
故答案为：
．
11．（1）求
，
两点间的距离；
（2）设
为实数，已知
，
两点间的距离是
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）或
【分析】（1）利用两点间距离公式直接计算；
（2）利用两点间距离公式列方程，解方程即可.
【详解】（1）由两点间距离公式，
得
；
（2）由两点间距离公式，
得
，
解得
，
故所求实数
的值为或
．
题型三：中点坐标公式
12．已知点A(1，5)，点B 的坐标是(-1，2)，则AB 的中点M 坐标为（ ）
A．
B．(-3，-1)
C．(2，3)
D．(0，7)
【答案】A
【分析】利用中点坐标公式计算即可求出点M 的坐标.
【详解】因点A(1，5)，点B(-1，2)，于是得线段AB 中点坐标为
，
所以AB 的中点M 坐标为
.
故选：A
13．已知点
，则线段
的中点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由点
，
则线段
的中点坐标为
，即
.
故选：B
14．已知
，
，则线段
中点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由
，
，
则线段
中点的坐标为
.
故选：D
15．在数轴上，已知
，
，则
；
的中点的坐标为 .
【答案】 4 1
【分析】利用数轴上的距离公式和中点公式，即得解
【详解】由题意，
，
的中点的坐标为
故答案为：4，1
16．若点
.
，则线段
中点坐标 .
【答案】
【分析】直接由中点坐标公式即可.
【详解】由中点坐标公式可得：线段
中点坐标
，即
.
故答案为：
.
题型四：两点间距离公式的应用
17．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决，如：
可以转化为平面上点
与点
的距离．结合上
述观点，可得
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】y 可看作x 轴上一点
到点
与点
的距离之和，可知当A，P，B 三点共线时
取得最小值可得答案.
【详解】
，
则y 可看作x 轴上一点
到点
与点
的距离之和，
即
，则可知当A，P，B 三点共线时，
取得最小值，
即
．
故选：A.
18．
可以转化为平面上
点与点
之间的距离．结合上述观点，可得
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】函数变形，设
，
，
，则
表示的几何意义为
的长，作出
辅助线，由几何关系得到最小值，得到答案.
【详解】
，
设
，
，
，
故
表示的几何意义为
的长，
如图所示，取点
关于
轴的对称点
，连接
，
则
的长即为
的最小值，即最小值为
.
故选：B
19．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决，如：
可以转化为点
到点
的距离，则
的最小值为（ ）．
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.
【详解】
,
可以看作点
到点
的距离之和，
作点
关于
轴的对称点
，显然当
三点共线时，取到最小值，
最小值为
间的距离
.
故选：D.
20．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化
为几何问题加以解决，如：
可以转化为平面上点
与点
之间的距离，结
合．上述观点，可得
的最小值为 ．
【答案】
【分析】设
，由题意得到
的几何意义为点
到两定点
与
的距离，求出点
关于
轴的对称点为
，转化为求
的最小值即可.
【详解】设
，
则
，
∴
的几何意义为点
与两定点
，
之间的距离之和．
如图所示：
设点
关于x 轴的对称点为
，则
的坐标为（2，－4）．
则
，
要求
的最小值，即求
的最小值，
又
，即
的最小值为
．
故答案为：
.
21．设
的最小值为 .
【答案】
【分析】已知的式子可以看成点
到点
和
距离的和，则其最小值就是点
和
距
离，从而可求得答案
【详解】从几何意义看，
+
表示点
到点
和
距离的和，
其最小值为
和
两点间的距离
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题是函数最值问题，但很巧妙的使用了两点距离公式从而化为几何最值问题.平面上
的两点
间的距离
，若给两点坐标我们用此公式很容易得
到两点距离，若给了
能够联想到两点距离公式，这里就提醒我们在掌握知识的“直用”
也要会“逆用”.
22．求函数
的最小值为 .
【答案】5
【分析】将函数式表示为点点距的形式，可转化为求距离之和的最小值，从而求出答案.
【详解】解：函数
表示
轴上动点
到
和
的距离和，当
为
与
轴的交点时，函数取最小值
，
故答案为：5
