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专题01 指数运算及指数函数12 大题型（高效培优专项训
练）
目录
A 题型建模・专项突破
题型一、根式的化简与求值.............................................................................................................................. 1
题型二、根式与分数指数幂的混合运算..........................................................................................................2
题型三、由条件求值.......................................................................................................................................... 4
题型四、指数函数的解析式.............................................................................................................................. 5
题型五、指数函数的定点及图象问题..............................................................................................................6
题型六、指数函数的值域问题........................................................................................................................10
题型七、指数函数的单调性问题....................................................................................................................11
题型八、指数式比较大小................................................................................................................................ 13
题型九、指数函数解不等式问题....................................................................................................................15
题型十、指数函数模型的应用........................................................................................................................16
题型十一、恒成立问题.................................................................................................................................... 18
题型十二、指数函数中分类讨论....................................................................................................................22
B 综合攻坚·能力跃升.............................................................................................................................................. 24
题型一、根式的化简与求值
1．若
，则
的化简结果是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，
所以
.
故选：C.
2．设
，若
为定值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意当
时，
不为定值，
当
时，
为定值，
综上所述：实数
的取值范围为
，故B 正确.
故选：B.
3．若
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】
，则
，
所以
，解得
.
故答案为：
4．当
时，化简
.
【答案】4
【详解】因为
,所以
,
所以
,
故答案为：4.
题型二、根式与分数指数幂的混合运算
5．求值：
.
【答案】3
【详解】
，
故答案为：3
6．（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】
，A 错误；
，B 正确；
，C 错误；
，D 正确．
故选：BD
7．化简：
．
【答案】
【详解】
．
8．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
；
(2)1 ．
【分析】
【详解】（1）
．
（2）原式
．
9．计算：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
（4）原式
.
题型三、由条件求值
10．已知正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．
D．13
【答案】C
【详解】由
，则
，即
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值是
.
故选：C.
11．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，而
，则
，
所以
.
故选：D
12．已知
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【详解】因为
，
所以
，
所以
，得
.
故选：A
13．（1）已知
，
，求
的值；
（2）已知
，
为正实数，求
的值；
（3）已知
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】
【详解】（1）原式
.
（2）因为
，
，
所以
.
（3）由
可得
，
即
，
又
，令
，则
，
解得
，即
.
题型四、指数函数的解析式
14．下列函数中，指数函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】指数函数的概念：函数
且
叫做指数函数，其中指数
是自变量，定义域是R.
对A,选项不满足形式；
对B，
符合定义；
对C,系数为
,不满足定义；
对D，指数为
,不满足定义.
故选：B.
15．函数
是指数函数，则有（ ）
A．
或
B．
C．
D．
且
【答案】C
【详解】由已知得
，即得
.
故选：C
16．已知函数
是指数函数，且
，则
.
【答案】
【详解】设
（
且
），则
，得
，故
，
因此，
.
故答案为：
.
17．指数函数
（
且
）的图像过点
，若
时，
；
时，
，则
．
【答案】64
【详解】因为指数函数
（
且
）的图像过点
，
所以
或
（舍）.
若
时，
；
时，
，
因此
.
故答案为：64.
题型五、指数函数的定点及图象问题
18．函数
的图象一定经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
，
则
，
所以函数
的图象一定过点
.
故选：A.
19．函数
图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数定义域为
，且
当
时，函数是一个指数函数，因为
，
所以函数在
上是减函数；故排除A，C；
当
时，函数图象与指数函数
的图象关于
轴对称，
在
上是增函数．故排除B．
故选：D.
20．当
时，函数
和
的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对于A，由一次函数的图象知，
，此时函数
为减函数，A 正确；
对于B，由一次函数的图象知，
，此时函数
为增函数，B 错误；
对于C，由一次函数的图象知，
，此时函数
为减函数，C 错误；
对于D，由一次函数的图象知，
，此时函数
为增函数，D 错误.
故选：A
21．已知函数
（
，且
）与函数
（
，且
）的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由图得
，
，所以
.
因为函数
（
，且
）的图象与函数
（
，且
）的图象关于
轴对称，如图所
示，
由图可知：
，则
.
故选：A.
22．若函数
（
且
）的图象恒过点
，则
，
；此时该图
象所过的另外一个定点是 .
【答案】
4
【详解】由函数
的图象恒过点
，
则当
时，由
得
，即
，
由
得
；
令
，得另一根为
，
，
故另一个定点是
.
故答案为：
；4；
.
23．如图，曲线①②③④中有3 条分别是函数
，
，
的图象，其中曲线①与④关于
轴
对称，曲线②与③关于
轴对称，则
的图象是曲线 ．（填曲线序号）
【答案】②
【详解】由指数函数的单调性可知，函数
和
的图象分别是曲线③④中的一条，
当
时，
，所以曲线③是函数
的图象，
函数
的图象与函数
的图象关于
轴对称，
所以
的图象是曲线②.
故答案为：②.
题型六、指数函数的值域问题
24．已知函数
．若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
是增函数，所以当
时，
，即
，
所以
的取值范围为
.
故选：D.
25．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由
在
上值域为
，
由
在
上单调递减，则值域为
，
又原函数的值域为
，所以
，可得
.
故答案为：
26．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，则
，当
时取等号，
又
为R 上的单调递增函数，故
，即
，
故函数
的值域为
，
故选：D
27．求函数
的值域.
【答案】
【详解】由
，可得
，设
，则
且
，则
.
再设
，则
且
，
，则
，
因函数
在
上单调递增，故
，则
；
又因
在
上单调递增，故
，故
，
综上所述，函数
的值域为
.
28．已知函数
（
，且
）．
(1)若
的图象过点
和
，求
在
上的值域；
(2)若
在区间
上的最大值比最小值大
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1） 由题可知
，
，
解得
，
，所以
．
因为
，所以
，所以
在
上的值域为
．
（2）当
时，
在区间
上单调递减，
所以
，
，
因此
，解得
或
（舍去）．
当
时，
在区间
上单调递增，
所以
，
，
因此
，解得
或
（舍去）．
所以
或
．
题型七、指数函数的单调性问题
29．已知
成立，
函数
是减函数， 则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
成立，得
，解得
或
，
则命题
；由函数
是减函数，
得
，解得
，则命题
，
显然
真包含于
，所以
是
的必要不充分条件.
故选：B
30．函数
，则对任意实数
，下列结论正确的是（ ）
A．
是偶函数，且在
上单调递增
B．
是奇函数，且在
上单调递增
C．
是奇函数，且在
上单调递减
D．
是偶函数，且在
上单调递减
【答案】B
【详解】
的定义域为
，而
，则
，
故
是奇函数，
由于
，函数
单调递增，故
在
上单调递增，
故选：B
31．若函数
（
且
）在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意知，函数
（
且
）在
上单调递增，
要使函数
（
且
）在
上单调递减，
则
，解得
.
故选：B.
32．函数
的减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，
，则
，
∵
在
上为增函数，
在
上为减函数，
∴
的减区间为
.
故选：B.
33．设函数
，则满足
的的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为函数
在
上单调递增，函数
为常函数，
所以分段函数
在
单调递增，在
不具有单调性，
且
，即当
时，
，
因为
，所以
，解得
，
所以满足
的的取值范围是
.
故答案为：
34．设函数
在区间
上单调递减，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】∵函数
在R 上单调递减，且
在区间
上单调递减，∴函数
在区间
上单调递增，∴
，即
，∴a 的取值范围是
．
故答案为：
．
题型八、指数式比较大小
35．若
，
，
，则下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，则
.
故选：D.
36．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】D
【详解】由
，得
，则
，即
，
由
，得
，则
，
，
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
37．已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
所以函数
在
为增函数，
又
为增函数，所以函数
在
为增函数，
由于
，所以
，
故
.
故选：B.
38．已知函数
，则满足不等式
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由函数
，可得其定义域为
，
设
，且
，
则
，
由指数函数
为单调递增函数，所以
，
又因为
，所以
，
即
，所以函数
为单调递增函数，
又由
，即
，所以
，
即
，解得
，即实数
的取值范围为
.
故选：C.
39．已知
，若将
、
、
按从小到大的顺序排列，应当是 ．
【答案】
【详解】因为
，则函数
在
上为减函数，所以
，
故
，则
，
因为
，故
，故
，
综上所述，
.
故答案为：
.
题型九、指数函数解不等式问题
40．若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因
，则
，
即
，解得
，
所以
的取值范围为
．
故选：B．
41．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
为减函数，由
，可得
，
即
，即
，解得
.
因此，不等式
的解集为
.
故选：D.
42．若
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【详解】
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，
所以
，
时，
，
时，
，解得
，
时，
，解得
，
故答案为：
.
43．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由函数
有意义，则满足
，即
，可得
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故选：A.
44．已知函数
，则不等式
的解集是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
，
则由不等式
可得
或
，
所以
或
，
所以
或
.
即得
.
故选：C.
题型十、指数函数模型的应用
45．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，
这种植物每天以
的增长率生长，8 天后，该植物的长度是原来的
倍，则24 天后该植物的长度是原来
的（ ）
A．
倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
【答案】C
【详解】方法1 设植物原来长度为m，8 天后，该植物的长度是原来的
倍，
故
，即
，即
．
24 天后该植物的长度是
，即为原来的
倍，
又
，
所以24 天后该植物的长度是原来的
倍．
方法2 设植物原来长度为1，8 天后，该植物的长度是
，
24 天后，该植物的长度是
，
即24 天后该植物的长度是原来的
倍．
故选：C
46．著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为
，空气温度为
，则分钟后物体的温度
（单位：
）满足：
．若当空气温度为
时，某物体
的温度从
下降到
用时
分钟，则再经过
分钟后，该物体的温度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题知
，
，
，所以
，可得
，
再经过
分钟后，该物体的温度为
，
即该物体的温度为
．
故选：C．
47．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
、
是正的常数.如果前
消除了
的污染物，那么前
消除的污
染物的占比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，当
时，
，即
.
所以当
时，
，
即
后，还剩
的污染物，所以前
消除的污染物的占比为
.
故选：A.
48．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为
，经过天后，体积
与天数
的关系式为
.已知新丸经过25 天后，体积变为
，则新丸经过75 天，体积变为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】分别设
和
时的体积为
，则
，即
.
又当
时
.
故选：C.
49．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用
表达，其中
为正实数，
是极角，
是极径．若
每增加
个单位，则
变为原来的（ ）
A．
倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
【答案】B
【详解】设
所对应的极径为
，则
，
则
所对应的极径为
，所以
，
故
每增加
个单位，则
变为原来的
倍.
故选：B
题型十一、恒成立问题
50．已知函数
，
．若对任意的
，
恒成立，则
实数
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】问题可转化为
．
由
，所以函数
在
上单调递增，
所以
．
当
时，函数
在
上为增函数，则
，符合题意；
当
时，函数
在
上为减函数，
则
，解得
；
当
时，
，符合题意．
综上，实数
的取值范围为
．
故答案为：
.
51．已知函数
是定义域为
的奇函数，
.
(1)求
的值；
(2)用定义法证明
的单调性；
(3)当
时，
恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）因为函数
是定义域为
的奇函数，
所以
，得
，
又
，即
，解得
，
则
，经检验符合题意.
（2）由已知得
，则
，
任取
，且令
，则
，得到
，
故
，则
是减函数.
（3）由题意得
在
时恒成立，
因为
是单调递减的奇函数，
所以
，即
在
时恒成立，
得到
，且令
，即
恒成立，
又
，当且仅当
时等号成立，
得到
，得到
，即
.
52．已知函数
.
(1)当
时，求
的值域；
(2)当
时，若
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）令
，由
，则
，
所以
当
时，
取最小值为
当
时，
取最大值为3，
即
故
值域为
.
（2）由
，
令
，则
，且
，
所以
，
其中
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
故
，
所以实数
的取值范围
.
53．已知函数
是偶函数，
是奇函数，且
．
(1)求
和
的解析式；
(2)若关于
的不等式
在区间
上恒成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为函数
是偶函数，
是奇函数，且
，
故
，即
，
故可得
，解得
，
即
.
（2）由
，可得
，
结合题意可知
在区间
上恒成立；
由于
均为R 上单调递减函数，故
在区间
上单调递减，
故
，
故
在区间
上恒成立；
设
，则
，
由于
在
上单调递增，故
在
上单调递减，
则
在
上单调递增，
故
，
故实数
的取值范围为
.
题型十二、指数函数中分类讨论
54．已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，所以外函数是单调递减的指数函数，
此时要使得函数
在区间
上单调递增，
则满足二次函数
在区间
上单调递减，
即满足对称轴
，解得
，结合
，可得
；
当
时，
，所以外函数是单调递增的指数函数，
此时要使得函数
在区间
上单调递增，
则满足二次函数
在区间
上单调递增，
即满足对称轴
，解得
，结合
，可得
；
综上可得a 的取值范围是
或
，
故选：A.
55．已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，则
，
由复合函数的单调性可知当
时，
在区间
上单调递增，
所以只需
，则
，与
矛盾；
当
时，
在区间
上单调递减，
所以
，即
．
故
的取值范围是
．
故选：B
56．若函数
且
在
上的值域为
，则
的值为（ ）
A．
或
B．0 或
C．
或
D．
或
【答案】A
【详解】∵函数
在
上的值域为
，
当
时，
在
上单调递减，则
，解得
，
则
，得
，
当
时，
在
上单调递增，则
，解得
或
（舍去），
则
，得
，
综上，
或
．
故选：A．
57．已知奇函数
在
上的最大值为
，则
．
【答案】2 或
【详解】因为
是奇函数，所以
，
解得
，即
．
当
时，函数
在
上单调递增，则
，解得
．
当
时，函数
在
上单调递减，则
，解得
．
故答案为：2 或
58．设函数
是定义域为
的偶函数，
是定义域为
的奇函数，且
.
(1)求
与
的解析式；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：
为偶函数，
，
又
为奇函数，
，
，①
，即
，②
由
得：
，
可得
.
（2）解：
，
所以，
，
令
，因为函数
、
在
上均为增函数，
故
在
上单调递增，则
，
设
，
，对称轴
，
①当
时，函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
则
，解得：
或
（舍）；
②当
时，
在
上单调递增，
，解得：
，不符合题意.
综上：
.
一、单选题
1．（2025·26 高三上·山西·阶段练习）已知函数
（
且
）是奇函数，则
（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得，函数
且
的定义域为
．
因为
是奇函数，所以
，即
．
得
，即
，所以
．
解得
或
（舍去），所以
．
所以
．
故选：C．
2．（2024·25 高一上·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：
）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式
近似满足
（a 为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v 约等于
2.9
，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13 倍时，v 约等于5.8
，则常数b 的
值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【详解】由题意得，当
时，
①，
当
时，
②，
-
②①得，
，解得
，负值舍去，
所以
，解得
.
故选：A.
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
；
充分性：若
，则
，故充分性成立；
若
，则
，
一正一负，即
，故必要性成立，
则“
”是“
”的充要条件，
故选：C.
4．（2024·25 高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数
，且对于任意的
，有
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，函数
是
上的增函数，
则
，解得
.
故选：B.
二、多选题
5．已知
，下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】A.
，故A 正确；
B.
，故B 错误；
C.由
可知
，故
，
因为
，所以
，故C 正确；
D.因为
，
又
，所以原式
，故D 正确．
故选：ACD.
6．（2025·四川绵阳·三模）已知定义在
上的函数
，且
，则（ ）
A．
的值可以为
B．
的值可以为2
C．若
，则
D．若
，且
，则
的最大值为
【答案】ACD
【详解】对于A，当
时，
，
，符合题意，故A 正确；
对于B，当
时，
，
，不符合题意，故B 错误；
对于C，
，则
，即
，故C 正确；
对于D，当
时，
，则函数的周期为3，,
由
，
，要使
最大，则
，
，
因为
，
当
时，令
，
取满足
的最小正整数，
当
时，
取得最大值
，又
，
则
的最大值为
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
7．（2024·25 高一上·广东汕头·阶段练习）若
，则
.
【答案】
【详解】因为
，
所以
，
所以
所以
，
，
所以
.
故答案为：
.
8．（2025·26 高三上·山东潍坊·阶段练习）不等式
在R 上恒成立，则实数t 的取值范围
为 ．
【答案】
【详解】令
，可得不等式
在
上恒成立，，
因为函数
的图象开口向上，对称轴为
，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
，即
，所以实数t 的取值范围为
.
故答案为：
.
9．（2024·25 高二下·天津南开·期末）已知分段函数
对任意的
且
，均有
，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由对任意的
且
，不妨假设
，
因为
恒成立，所以
，
则
在
上单调递减，
根据复合函数单调性满足同增异减，可知
在
上单调递减，
需满足
在
上单调递增，故需
，
还需满足
且
，解得
，
所以实数的取值范围是
，
故答案为：
四、解答题
10．（2024·25 高一上·上海嘉定·期末）（1）计算：
；
（2）已知
，
，求
的值；
（3）已知
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【分析】
【详解】（1）原式
；
（2）由
，
，
则
；
（3）由于
，则
，
所以
，
，
所以
.
11．（2025·26 高三上·上海嘉定·阶段练习）已知函数
是
上的奇函数.
(1)求
的值；
(2)若存在实数
，使不等式
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】
【详解】（1）已知函数
是
上的奇函数，
根据奇函数的性质：对于定义域内任意
，都有
.
则
，解得
.
此时
，
，所以
符合题意.
故
.
（2）由已知
在
内有解，因为
，
所以
在
内有解，
因为
恒成立，
整理得
在
内有解，
令
，因为
，所以
，则
在
内有解，
设
，
，
所以
在
上单调递增，
则
.
因为存在
，使得
成立，所以
，
即实数
的取值范围是
.
12．（2025·26 高二上·云南昆明·阶段练习）已知函数
（
，且
）.
(1)若
，求函数
在
上的值域；
(2)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
令
，
，
由二次函数的图象和性质，当
时，
取得最小值
，
当
时，
，则
，
所以
，即
在
上的值域为
.
（2）令
，其图象的对称轴为直线
，开口向上，
当
时，
为减函数，
要使函数
在
上单调递增，
则需满足
在
上单调递减，即
，
解得
，则
；
当
时，
为增函数，
要使函数
在
上单调递增，
则需满足
在
上单调递增，即
，
解得
，则
.
综上，实数
的取值范围是
.
13．（2025·26 高一上·全国·单元测试）函数
（
且
）是定义在
上的奇函数．
(1)求
的值，判断
的单调性，并证明；
(2)若对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
为
上的增函数，证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意，得
，解得
，
当
时，
，
则
，
所以函数
为奇函数，符合题意，故
，
函数
为
上的增函数，
证明如下：任取
，且
，
则
，
因为
，所以
，即
，又
，
所以
，即
，
所以函数
为
上的增函数；
（2）由（1）得
在
上单调递增，
所以当
时，
，
所以对任意
恒成立，等价于
在
上恒成立，
当
时，令
，则
，
易知
在
上单调递增，
所以
，即
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，即实数
的取值范围为
.
