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空间向量的坐标与空间直角坐标系
题型一：空间向量的坐标表示
题型二：空间向量的运算
题型三：空间向量的模
题型四：空间向量的夹角
题型五：空间向量的平行与垂直
题型六：空间向量中的最值与范围问题
题型一：空间向量的坐标表示
1．已知
，
，求
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】用
点坐标减去
点坐标可得．
【详解】因为
，
，所以
,
故选：D．
2．已知
为
关于平面
的对称点，
为
关于
轴的对称点，则
.
【答案】
【分析】根据点关于平面及关于
轴对称点的特征可得
的坐标，从而可求
.
【详解】因为
关于平面
对称，故
，
因为
为
关于
轴对称，故
，
故
，
故答案为：
.
3．已知
、
，设点
、
在
平面上的投影分别为
、
，则向量
的坐标为
【答案】
【分析】根据题设有
，利用向量的坐标表示求结果.
【详解】由题设
，故
.
故答案为：
4．已知点
，点
在线段
上，且
，则点
坐标为 .
【答案】
【分析】由条件得到
，根据向量的坐标表示，即可求解.
【详解】设
，且
,
即
，
即
，解得：
，
所以点
的坐标为
.
故答案为：
5．在棱长为1 的正方体
中，
，
分别是
，
的中点，
在棱
上，且
，
为
的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出
，
，
，
的坐标；
(2)写出向量
，
的坐标．
【答案】(1)
坐标为
，
点坐标为
，
点坐标为
，
点坐标为
(2)
，
．
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求解点的坐标即可；
（2）由向量的坐标表示计算求解即可.
【详解】（1）
以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
点
在
轴上，它的
坐标、
坐标均为0，而
为
的中点，故其坐标为
．
由
作
，
，垂足分别为
，
，
由平面几何知识知
，
，
故
点坐标为
．点
在
轴上，其
轴、
轴坐标均为0，
又
，故
点坐标为
．
由
作
于
，由于
为
的中点，
故
，
，所以
，
故
点坐标为
．
（2）
，
．
6．在直三棱柱
中，
，
，
，
，
为
的中点，以
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求
，
的坐标．
【答案】
；
【分析】根据空间向量的线性运算可得
，
，进而结合题设求
解即可.
【详解】由题意
，
所以
.
又
，
所以
题型二：空间向量的运算
7．已知空间向量
满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【答案】D
【分析】应用向量线性运算的坐标表示求出
坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值.
【详解】由题设
，
，
所以
.
故选：D
8．若
，
，则
（ ）
A．25
B．
C．
D．29
【答案】B
【分析】先根据向量的加法、数乘运算法则分别求出
与
的坐标，再根据向量数量积的坐标运算
直接计算即可.
【详解】已知
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
.
故选：B.
9．已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．5
【答案】A
【分析】先求
，再由
解方程即可求得.
【详解】由
，可得
，
又由
，则得
，
即
，解得
.
故选：A.
10．若
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．5
D．7
【答案】A
【分析】先求出
，
，再利用空间向量的数量积运算求解即可．
【详解】
，
，则
，
，
，
，
故选：A
11．已知向量
，且
，则
.
【答案】
/2.5
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可.
【详解】因
，
则
，
解得
.
故答案为：
.
12．已知
，向量
，若
，则
.
【答案】
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案.
【详解】由
得，
，
解得
，所以
.
故答案为：
.
题型三：空间向量的模
13．设
，
，向量
，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求
模即可.
【详解】设
、
，向量
，且
，
，解得
，
又因为
，所以
，解得
，
所以
，
故选：
．
14．已知空间向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用空间向量坐标的加法运算可求
的坐标，结合模长公式可得结果.
【详解】∵
，
∴
，
∴
.
故选：C.
15．已知向量
，
，且
，则实数
，
.
【答案】
【分析】运用向量垂直坐标表示和模长公式计算即可.
【详解】
，则
，解得
.
则
，
，
.
.
故答案为：
；13.
16．已知向量
且
共面，则
．
【答案】3
【分析】根据
共面，确定
的值，再根据向量的运算和模的概念求值.
【详解】因为
共面，所以存在
，使
，
即
.
所以
，
所以
.
故答案为：3
17．已知向量
，
且
，则实数
，
．
【答案】
【分析】依题意可得
，根据数量积的坐标表示得到方程，求出
的值，从而求出
的坐标，再利用
坐标法求模.
【详解】因为
，
且
，
所以
，解得
，则
，
所以
，
所以
.
故答案为：
；
题型四：空间向量的夹角
18．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用向量夹角公式的坐标运算，即可求解.
【详解】
，
故选：B.
19．已知点
，
，向量
，求向量
与
夹角的余弦值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间向量夹角的坐标公式计算即可.
【详解】由题可知点
，
所以
.
故选：B.
20．已知向量
，则
与
的夹角大小为 ．
【答案】
【分析】利用空间向量夹角公式可求夹角的大小.
【详解】
，而
，故
，
故答案为：
.
21．已知空间向量
，
，
，
，
.
(1)求向量
，
，的坐标;
(2)求
与
夹角的余弦值.
【答案】(1)
，
，
(2)
【分析】（1）由已知根据
，
的坐标运算求解即可；
（2）由（1）可得
与
的坐标，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】（1）因为
，
，
，
所以
，所以
，
，
所以
，
，
因为
，
，
所以
，
所以
，所以
；
（2）
，
，
所以
，
，
，
设
与
夹角为
，
所以
，
所以
与
夹角的余弦值为
.
22．在三棱柱
中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3.
(1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标；
(2)设AA1中点为点E，BC 中点为点F，求出
、
；
(3)求出
.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以
的中点
为原点，以1 为单位长度，建立空间直角坐标系，再写出各点的坐标即可；
（2）写出
的坐标，再根据向量的坐标表示即可得解；
（3）根据
计算即可.
【详解】（1）以
的中点
为原点，以1 为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意知，
，
则
，
，
，
，
，
；
（2）由题意知，
，
故
；
（3）
，
所以
.
23．已知点
，设
．
(1)求
在
方向上的投影向量（用坐标表示）；
(2)求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的坐标运算以及投影向量的定义，即可求得答案；
（2）利用向量的坐标运算以及夹角公式，即可求得答案.
【详解】（1）由
，
得
，
故
，
则
在
方向上的投影向量为
；
（2）
，
故
，
，
故
.
题型五：空间向量的平行与垂直
24．已知向量
，
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据空间向量线性坐标公式求解
，再根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，
又
，且
，
则
，解得
.
故选：A
25．已知
，
，若
//
，则λ 与μ 的值可以是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】由向量共线定理可设
，列方程求
.
【详解】因为
//
，
，
故可设
，
又
，
，
所以
，
所以
或
，
故选：A.
26．已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．5
D．
【答案】B
【分析】利用空间向量平行的坐标表示计算可得.
【详解】由
可得存在实数
使得
，
即
，所以
，
．故
，
故选：B．
27．已知空间向量
，且
，则
（ ）
A．1
B．3
C．
D．4
【答案】A
【分析】根据
列方程，解方程即可.
【详解】由
可得
，解得
．
故选：A．
28．设
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由向量的关系列等式求解x，y 的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计
算得出结果.
【详解】因为
，∴
，解得
∴
，
∴
故选：C．
29．已知空间向量
，
，若
，则
.
【答案】16
【分析】根据向量坐标运算求
，结合向量垂直坐标表示列方程求
.
【详解】因为空间向量
，
，
所以
，
因为
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
题型六：空间向量中的最值与范围问题
30．如图，直三棱柱
中，
，点P 为侧面
上的任意一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取AB 中点为原点O，建立空间直角坐标系，设
，由数量积的坐标表示得到
，进而可求解；
【详解】如图取AB 中点为原点O，建立空间直角坐标系，设
，
其中
，
，
，
，
，
，
，
当
，且
或
时，
取最大值4，
当
，且
时，
取最小值2，所以
的取值范围为
．
故选：C
31．在三棱锥
中，
两两垂直，且
．若M 为该三棱锥外接球上的一动
点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，再结合空间向量的线性运算
将
用三角函数表示，最后利用余弦函数的有界性求解即可.
【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
球心为正方体对角线的交点，以
为原点建立空间直角坐标系，
得到
，
，
，
，
，
，
设三棱锥外接球的半径为R，则
，则
，
故
，
，
，
故
，
，
，
由向量模长公式得
，
而
，
，
，
设
，
由数量积的定义得
，
所以
，由余弦函数性质得当
时，
取得最小值
，故B 正确.
故选：B
32．已知正方体
的棱长为1，
为底面
上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，将向量
用坐标表示，计算数量积，求最小值.
【详解】
如图，以
，
，
分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
设点
，
，
，
则
，
，
，
当
时，
的最小，最小值为
.
故选：A.
33．在边长为 2 的正方体
中，
分别为
的中点，
分别为线段
上的动点 (不包括端点) 满足
，则线段
的长度最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
，
，设
，
，
，
，
因为
，所以
，即
，
所以
，
当
时，线段
的最小值为
.
故选：A
34．如图，正方体
的棱长为2，点M 为侧面
内的动点，
，点N 在对角
线
上且
，则MN 的最小值为 ．
【答案】
【分析】易得点M 在侧面
内的轨迹是以
为圆心，2 为半径的圆弧
．然后以点D 为原点建立
空间直角坐标系，设
，得到
，由
，得到
，利用向量的模求解.
【详解】点M 在侧面
内的轨迹是以
为圆心，2 为半径的圆弧
．
以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，
为z 轴建立空间直角坐标系，
设
，则
．
因为
，所以
，
所以
，
所以
．
当
时，
最小，最小值为
．
故答案为：
