文档文本内容
专题04 单调性、最值及奇偶性11 大题型
题型01 函数单调性的判断与证明
题型02 求函数的单调区间
题型03 已知函数的单调性求参数
题型04 利用函数单调性求最值、值域
题型05 根据函数的最值、值域求参数
题型06 函数奇偶性的判断与证明
题型07 根据函数奇偶性求值求参
题型08 利用函数奇偶性求解析式
题型09 利用单调性奇偶性比较大小
题型10 利用单调性奇偶性解不等式
题型11 利用单调性奇偶性解不等式（构造函数）
题型01 函数单调性的判断与证明
1．已知函数
满足性质：①在定义域上有
；②
，恒有
，
则函数
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：由①
，得
，
即函数
是奇函数；
由②
，恒有
，
得
，
即函数
在
上单调递增，
由此可得函数
为奇函数，且在
上单调递增，
对于A 选项：
是正比例函数，是奇函数，但在
上单调递减，不符合题意；
对于B 选项：
是奇函数．
由幂函数的性质可得当
时，
在
上单调递增，符合题意；
对于C 选项：
是顶点在原点的二次函数，是偶函数，不符合题意；
对于D 选项：
是反比例函数，是奇函数，但在
上单调递减，不符合题意．
故选：B．
2．（多选）下列函数在
上单调递增的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】A.根据对勾函数的单调性可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，故A 不
是；
B.
在
上单调递增，故B 是；
C.
在
上单调递增，故C 是；
D，由
，得函数
在
上不单调，D 不是．
故选：BC
3．已知函数
是定义域在
上的奇函数，且
．
(1)求
的值；
(2)用定义法证明函数
在
上单调递增；
(3)解不等式
．
【答案】(1)
，
，
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）由函数
是定义域在
上的奇函数，可得
，
又由
，可得
，则
，
此时
满足题意，所以
，
（2）由（1）得
，其中
，
任取
，且
，
则
，
因为
，且
，可得
，
所以
，即
，
所以函数
是
上的单调递增函数.
（3）因为函数
是定义域在
上的奇函数，且在
上的单调递增函数，
则不等式
，即为
，
则满足
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
4．已知函数
是定义域为R 的奇函数，当
时，
．
(1)求出函数
的解析式；
(2)已知奇函数
在
上单调递增，证明
在
上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）设
，则
，
.
因为函数
是定义域为R 的奇函数，所以有
，
所以当
时，
，
所以函数
的解析式为
.
（2）证明：设
.
因为
在
上单调递增，所以有
.
又
，所以
.
因为
是奇函数，所以
，
，
又
，所以
，所以
.
即
，有
成立，
所以
在
上单调递增．
5．已知函数
的定义域为
，且
，当
时，
．
(1)求
，
的值．
(2)证明：
；并判断
在
上的单调性，并给出证明；
(3)求不等式
的解集．
【答案】(1)
，
=1
(2)证明见解析，
在
上单调递减
(3)
【分析】
【详解】（1）令
，
，得
．
由题意得
，所以
，得
．
令
，得
，得
．
（2）证明：由（1）得
．
当
时，
，
，得
．
又
，当
时，
，所以
．
在
上单调递减．
证明：任取
，且
，令
，
，由题设可得：
，即
．
因为
，所以
，得
．
由（2）可知
，由
，得
，所以
在
上单调递减．
（3）设函数
，因为
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，
由
，得
．
由
，得
，
则
等价于
，
所以
，得
．
故不等式
的解集为
．
6．已知函数
.
(1)若函数
为奇函数，求
的值；
(2)判断函数
的单调性，并加以证明.
【答案】(1)
(2)函数
在
上单调递减，证明见详解.
【分析】
【详解】（1）由题意得，函数
的定义域为
，又函数
为奇函数，
，
，解得
.
当
时，
，
，
，所以当
时，函数
为奇函数.
综上，
的值为.
（2）函数
在
上单调递减，理由如下；
设
，
则
，
因为指数函数
在
上单调递增，且
，
，即
，
又
，
，即
，
故函数
在
上单调递减.
题型02 求函数的单调区间
7．函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
，则该函数在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调递减区间为
.
故选：C
8．函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意知函数
满足
，解得
或
，
即函数定义域为
，
令
，则
的图象开口向上，且对称轴为直线
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
在
上单调递增，
故
的单调递减区间是
.
故选：B
9．函数
的单调增区间为 .
【答案】
【详解】设
，为开口向上，对称轴为
的抛物线，
所以t 在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
在R 上单调递减，
所以函数
的单调增区间为
.
故答案为：
10．已知函数
，则函数
的单调增区间是（ ）
A．
和
B．
C．
和
D．
【答案】A
【详解】由于函数
，
当
时，
，
由于
图象的对称轴为
，则函数在
上单调递增，
当
时，
，
由于
图象的对称轴为
，则函数在
上单调递增，
故函数
的单调增区间是
和
.
故选：A
11．已知函数
，则
的增区间为 .
【答案】
【详解】由
，解得：
，即
的定义域为
，
令
，则
，
因为
在定义域内为单调递增函数，
所以求函数
的递增区间，只需求
在
上的单调递增区间即可，
而
的对称轴是
，开口向下，
故
在
单调递增，在
单调递减，
根据复合函数同增异减的原则，得
的增区间为
.
故答案为：
.
题型03 已知函数的单调性求参数
12．已知函数
且
，对任意的
，且
时，满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为对任意的
，且
时，满足
，
所以函数
在
上单调递增，
令
，其图象的开口向上，对称轴为
，
则在
上单调递增，
当
时，
为单调递减函数，
由复合函数的单调性可知函数
在
单调递减，不满足题意；
当
时，
为单调递增函数，
由复合函数的单调性可知函数
在
单调递增，
又因为函数
在
上单调递增，
所以
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
故选：A.
13．已知函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，且
在
上单调递增，则函数
在
上单调递减，
可得
，即
，解得
.
故选：A.
14．若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，则原函数
可以看作函数
与
的复合函数.
因
为R 上的增函数，要使函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调
递增.
所以
，即
，所以
的取值范围
.
故选：C
15．已知幂函数
是偶函数，若函数
在
上具有单调
性，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
是幂函数，
所以
，解得
或
.
当
时，
为偶函数，符合题意；
当
时，
为非奇非偶函数，不符合题意，
所以
.
二次函数
的对称轴为
，
若函数
在
上单调递增，
则
解得
；
若函数
在
上单调递减，
则
解得
.
综上，实数
的取值范围为
.
故选：C
16．已知函数
为定义在
上的单调函数，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为函数
在
上为减函数，且函数
为定义在
上的单调函数，
故函数
在
上为减函数，
所以
在
上为减函数，则
，
函数
在
上为减函数，则
，解得
，
且有
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
17．已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由函数
在
上单调递减，
可得
，可得
，解得
.
故答案为：
.
18．已知函数
（
）有最小值，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【详解】由
，
要使
有最小值，
则函数
在
上为减函数或常函数，在
上为增函数或常函数，
所以
，解得
，
则实数a 的取值范围是
.
故答案为：
题型04 利用函数单调性求值域
19．若函数
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
,2]
【答案】B
【详解】由
可得
，
函数
在
上单调递增，
，
令
，
而函数
在
上单调递增，则
，
所以函数
的值域为
.
故选：B
20．设
是定义在
上的单调函数，且
，则函数
在区间
上的值
域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】依题意，存在唯一的常数
，使得
，
且
对
恒成立．
令
，则
，即
，又
，得
，
所以
，
因为
均在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，因为
，
故
在区间
上的值域为
．
故选：B
21．已知
是
上的奇函数，
，若
在
上单调递增，且
，则
在
上的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
是奇函数，可得
.
由
，可得
的图象关于
对称，
即
，则有
，
所以
，即
的周期为
.
因为
在
单调递增，且是奇函数图像关于原点对称，
则
在
单调递增，即
在
单调递增.
又因为
的图象关于
对称，则
在
单调递减.
所以在一个周期内
，
即
在
上的最小值是
.
故选：C
22．已知函数
满足
，则
在区间
的最大值为 .
【答案】
/
【详解】由
可得：
，
两式消去
可得：
，
由对勾函数性质可知：
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
由于
，
所以
在区间
的最大值是
，
故答案为：
23．已知幂函数
的图象经过点
.
(1)证明：
.
(2)求函数
在
上的值域.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）证明：设幂函数为
，
则
，解得
，所以
.
因为
，所以
.
（2）
，因为
在
上均单调递减，
所以
在
上单调递增，
所以
，
，
所以
在
上的值域为
.
题型05 根据函数的值域求参数
24．设
，若
的值域是
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意得：当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以
，即
，
所以
，
故选：B.
25．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
的值域为
，
则
有解，所以
，解得
或
，
故实数
的取值范围为
.
故选：B.
26．已知函数
的值域为
，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
在
上单调递减，
此时
；
当
时，
．
①若
，则
在
上单调递增，此时
，
又函数
的值域
，不合题意；
②若
，则
，当且仅当
时，等号成立，
又函数
的值域
，则
，
解得
．综上所述：
．
故选：C.
27．已知
，函数
，若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是
【答案】
【详解】当
时，因
，所以
为减函数，故
；
当
时，因
，所以
为减函数，故
.
因为函数
存在最小值，需使
，解得
，
故实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
28．若函数
的定义域为
，值域为
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为函数
在定义域
上递减，且值域为
，
所以
，即
，即
，
所以
，
所以
，设
，则
，
由
可得
，
在
上递增，所以
，
所以实数
的取值范围是
，
故答案为：
.
29．已知函数
.
(1)若
，判断
在
上的单调性，并证明；
(2)当
时，
的最大值为1，求实数
的值.
【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)
.
【分析】
【详解】（1）若
，则
，
在
上单调递减.证明如下：
设
，则
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递减.
（2）令
，则
，因为
，所以
，
则令
，为开口向下，对称轴为
的抛物线，
①当
时，函数
在
上单调递减，
所以
，解得
，不符合题意，舍去；
②当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，解得
舍去）；
③当
时，函数
在
上单调递增，
所以
，解得
，不符合题意，舍去.
综上，实数
的值为
.
题型06 函数奇偶性的判断与证明
30．下列函数中，是奇函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，利用幂函数性质可知，
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，根据对勾函数性质可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，故B 错误；
对于C，由对数函数性质可知，
由于定义域为
，是非奇非偶函数，故C 错误；
对于D，由指数函数性质可知，
是在
上单调递增，
是在
上单调递减，
所以
是在
上单调递增，又因为
，且定义域为
，
所以
是奇函数，故D 正确；
故选：D
31．下列函数中，既是偶函数又在
上单调递减的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】A. 因为
，所以
是奇函数，故错误；
B. 因为
，所以
是偶函数，
当
时，
是增函数，故错误；
C. 因为
，所以
是偶函数，
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，故C 正确；
D. 因为
，所以
是偶函数，
当
时，
在
上单调递增，故D 错误；
故选：C
32．函数
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
的定义域为
，
，所以
为奇函数，排除A；
，
，
，显然
，故
，
故BC 错误，D 正确.
故选：D
33．已知
是定义在
上的函数，且
，
.
(1)求函数
的解析式；
(2)判断函数
的奇偶性，并用定义证明.
【答案】(1)
(2)
是奇函数，证明见解析
【分析】
【详解】（1）由题意得：
，解得
，
即
；
（2）函数
是奇函数.
∵
的定义域是
，定义域关于原点对称，
且
，
∴函数
是奇函数.
34．已知函数
对任意实数
恒有
，当
时，
，且
．
(1)求
的值，并判断
的奇偶性；
(2)判断
的单调性，求
在区间
上的最大值；
【答案】(1)
；
为奇函数
(2)
在
上为减函数；
在区间
上的最大值为6
【分析】
【详解】（1）令
，则
，所以
．
令
，则
，
所以
对任意
恒成立，
所以
为奇函数．
（2）任取
，且
，则
，
则
，所以
，
所以
在
上为减函数．
当
时，
单调递减，所以
，
因为
，且
为奇函数，
所以
，
故
在区间
上的最大值为6．
题型07 根据函数奇偶性求值求参
35．若函数
为奇函数，则实数
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【详解】函数
为奇函数，故必有
成立，
即
，解得
，
则此时
，定义域为
，
而
，即函数
为奇函数，符合题意，
故
，
故选：C
36．已知函数
，则“
”是“
为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若函数
为奇函数，则
，
即
，
即
对任意的
恒成立，故
，
因为“
”
“
，
”，且“
”
“
，
”，
即“
”
“
为奇函数”，且“
”
“
为奇函数”，
所以“
”是“
为奇函数”的必要不充分条件.
故选：B.
37．已知
是定义域为
的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，所以
，
又
是奇函数，所以
.
故选：B
38．若函数
是偶函数，则实数
．
【答案】
【详解】函数的定义域为
，
由题意可知
，即
，
所以
，
因该等式对定义域内的任意
都成立，故
，
解得
故答案为：
39．若函数
是奇函数，则
.
【答案】
【详解】当
时，
则
，则
，解得
;
当
时，
则
，则
，解得
.
故
40．已知函数
，则
.
【答案】
【详解】已知
，得：
，即：
，
由此可得：
.
故答案为：
41．设函数
，若
，则
．
【答案】
【详解】设
，则
，
由函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
，
所以函数
为奇函数，则
，所以
因为
，
可得
，所以
.
故答案为：
.
题型08 利用函数奇偶性求解析式
42．设奇函数
的定义域为
，当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，
由奇函数的定义可得
.
故选：C
43．若
是定义在
上的函数，
为奇函数，
为偶函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【详解】根据已知条件，
为奇函数，
为偶函数，可得：
，
联立解得：
计算得：
因此，
.
故选：D.
44．已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时
，则当
时，
.
【答案】
【详解】当
时
，
若
，则
，则
，
因函数
是定义在
上的偶函数，则
，
故当
时，
.
故答案为：
45．已知函数
是奇函数，当
时，
；则当
时，
.
【答案】
【详解】当
时，则
，
，
又
，所以
.
故答案为：
.
46．已知函数
是定义域为
的奇函数，且当
时，
，则
的解析式是
.
【答案】
【详解】因为函数
是定义域为
的奇函数，所以
，且
；
因为当
时，
；
所以当
时，
，所以
；
因为
；
所以
的解析式是
.
故答案为：
47．已知
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
，则
．
【答案】9
【详解】由题意知，
，
.
因为
①，
则
，即
②，
由①②联立解得
，
.
所以
.
故答案为：9
题型09 利用单调性奇偶性比较大小
48．设偶函数
的定义域为
，当
时，
是增函数，则
，
，
的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
为偶函数，
，
，
当
时，
是增函数，又
，
所以
，即
.
故选：A.
49．已知
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递减，设
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递减，
所以
，且
在
上单调递增，
由幂函数和指数函数的单调性可知
，
由对数函数单调性可知
，
所以
，故
，即
.
故选：D
50．已知
是定义在
上的偶函数，
是定义在
上的奇函数，且
，
在
上单调递
增，则下列不等关系恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，且
，
所以
，
.
对于A：因为
，
在
上单调递增，所以
，故A 错误；
对于B：因为
，
在
上单调递增，所以
，故B 错误；
对于C：因为
，
在
上单调递减，所以
，故C 正确；
对于D，因为
正负不知， 所以
大小关系不定，故D 错误；
故选：C.
51．已知定义在
上的偶函数
在
上单调，且
，则
，
的大
小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
是偶函数，所以
，
已知
，由偶函数性质
，因此
，
所以
在
上单调递减；
数值大小关系为
，
所以
，
所以
即
.
故选：B.
52．已知函数
在区间
上单调递减，且
是偶函数，则
、
、
的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
是偶函数，所以
，所以函数
关于直线
对称，
又因为函数
在区间
上单调递减，所以函数
在区间
上单调递增，
又因为
，所以
，
又因为
，所以
，所以
.
故选：C.
53．已知函数
的定义域为R，且它的图象关于
对称，当
时，
恒成立，
设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的定义域为R，由函数
的图象关于
对称，得
，
又当
时，
恒成立，则函数
在
上单调递增，
因此
，即
，所以
.
故选：C
题型10 利用单调性奇偶性解不等式
54．幂函数
过点
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，
由题意可得
，解得
，
所以
在
上单调递增，且
，为偶函数，
所以
，
解得
，所以不等式
的解集为
.
故选：C.
55．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由解析式知，函数的定义域为
，
且
，
所以
在
上为奇函数，且为连续函数，
由
在
上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递增，
结合奇函数的对称性，
在
上单调递增，
由
，
所以不等式的解集为
.
故选：B
56．定义在
上的函数
是偶函数，且
在
为减函数，
，则不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
在
为减函数，
，
所以
时，
；
时，
.
所以当
时，不等式
的解集为
；
因为
为定义在
上的偶函数，且
在
为减函数，
所以
在
为增函数，且
，
那么
时，
；
时，
.
所以当
时，不等式
的解集为
；
综上，不等式
的解集为
.
故选：A.
57．已知定义在区间
上的奇函数
在区间
上单调递减，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
为定义在
上的奇函数，
所以
，且
的图象关于原点对称，
因为
在区间
上单调递减，所以
在区间
上单调递减，
则
在
上单调递减，因为
，所以
，
所以
，所以
，所以
，所以
．
故选：C
58．已知定义在
上的偶函数
满足：对任意的
，都有
且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
或
【详解】定义在
上的偶函数
满足对任意的
，都有
，
所以
在
上单调递减，
根据偶函数的对称性可得，
在
上单调递增，
因为
，所以
，
所以当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
当
或
或
时，
，
则不等式
可得
或
，
所以
或
.
故答案为：
或
.
59．已知奇函数
的定义域为
，且为减函数，若满足
，则
的取值范围是
．
【答案】
【详解】
是奇函数，且满足
，
在
上是单调递减函数，
，且
，解得
.
故答案为：
．
题型11 利用单调性奇偶性解不等式（构造函数）
60．已知定义在
上的函数
满足
，且对任意的
且
均有
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对任意的
且
均有
，
不妨设
，则
，即
，
令
，则当
时，
，函数
在
上单调递增，
而
，则
，
因此函数
为奇函数，在
上单调递增，则函数
在
上为增函数，
不等式
，
即
，于是
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D
61．已知定义域为
的函数
满足对任意
，
，都有
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对任意
，
恒成立，令
，
则对任意
，
，因此函数
在
上单调递增，
由
，得
，不等式
，则
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：B
62．已知函数
是定义域为
的奇函数，
，
且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
为
上的奇函数，则
.构造函数
，
则
，所以
为偶函数.
又
，都有
，
即
，所以
为
上的减函数，
则
为
上的增函数.
由题知
，则
，
又
，则
.
则
即为
，
所以有
或
，
解得
或
.
故选：B.
63．已知
是定义在
上的奇函数，对任意的
，当
时，
恒成立．若
，
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】对任意
且
，不妨令
，则
，
则由
得
，
设函数
，则
，所以
在
上单调递增，
因为
为
上的奇函数，所以
，
所以
为
上的奇函数，所以
在
上单调递增；
因为
，
，
所以
，
；
所以由
得
，即
，所以
；
故答案为：
.
64．若定义在
上的函数
同时满足：
①
为奇函数；
②对任意的
、
，且
，都有
，
则称函数
具有性质
.
已知函数
具有性质
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】构造函数
，则该函数的定义域为
，
因为函数
为奇函数，则
，
所以
，故函数
为偶函数，
对任意的
、
，且
，都有
，
不妨设
，则
，即
，
所以函数
在
上为减函数，
由
，得
，即
，
所以
，即
，整理得
，解得
，
故原不等式的解集为
，
故答案为：
.
65．已知定义在
上的函数
，满足不等式
，则
的取
值范围是 .
【答案】
【详解】易知函数
在
上为单调性递增，
即可得
是
上的增函数，
令
，则
是
上的增函数，
易知
，
可得
，即
的图象关于点
成中心对称，
由
可得
，
即
，
由
可得
；所以
，
利用
是
上的增函数可得
，
解得
. 即
的取值范围是
.
故答案为：
