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专题1.3 集合的基本运算
教学目标
1．理解在给定集合中一个子集的补集的含义．
2．会求给定子集的补集．
3．能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4．树立数形结合的思想，体会类比的作用．
教学重难点
重点：全集与补集的概念．
难点：理解全集与补集的概念、符号之间的区别与联系．
知识点01 交集
一般地，由既属于集合
又属于集合
的所有元素组成的集合即由集合
和集合
的相同元素组成的集
合，称为集合
与集合
的交集，记作
（读作：
交
）.记作：
.
交集的性质：
,
,
,
,
.
高频性质：若
.
图形语言
对交集概念的理解
(1)
仍是一个集合,
由所有属于集合
且属于集合
的元素组成.
(2)对于“
”,包含以下两层意思:①
中的任一元素都是
与
的公共元
素;②
与
的公共元素都属于
,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如
,
,则
,而不是
或
或
.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合
与集合
没有公共元素时,不能说集合
与集合
没有交
集,而是
.
(4)当
时,
和
同时成立.
【即学即练】已知集合
， 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 并集
一般地，由所有属于集合
或属于集合
的元素组成的集合称为集合
与集合
的并集，记作
（读作：
并
）.记作：
.
并集的性质：
,
,
,
,
.
高频性质：若
.
图形语言
对并集概念的理解
(1)
仍是一个集合,
由所有属于集合
或属于集合
的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而
并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“
或
”包括下列三种情况:①
,且
;②
,且
;③
,且
.可用下图所示形象地表示.
【即学即练】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用
表示，
全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设
是全集，
是
的一个子集（即
）,则由
中所有不属于集合
的元素组成的集合，
叫做
中子集
的补集，记作
，即
.
补集的性质：
,
,
.
【即学即练】已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 德摩根律
(1)
(2)
知识点05 容斥原理
一般地，对任意两个有限集
,
进一步的：
题型01 交集的概念及运算
【典例1】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 根据交集的运算结果求集合或参数
【典例1】已知全集
，集合
，
.
(1)求
，
；
(2)若集合
，且
，求实数a 的取值范围.
【变式1】已知集合
，
，若
，
，则集合
的个数为（ ）
A．2
B．4
C．7
D．8
【变式2】（多选）已知集合
，
．若
，则实数
的值可能为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
【变式3】已知集合
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数m 的取值范围.
【变式4】已知集合
，
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数t 的取值范围.
题型03 并集的概念及运算
【典例1】已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知集合
，
，
，则
中的元素个数至少为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式2】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 根据并集的运算结果求集合或参数
【典例1】集合
，
.
(1)若
只有一个整数，求实数
的取值范围；
(2)若
，且
，求实数
的取值范围.
【变式1】设集合
或
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知集合
，若
，则m 的可能取值组成的集合为 ．
【变式3】设集合
，非空集合
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【变式4】已知集合
，
.
(1)若
，求集合
；
(2)若
且
，求实数a 的取值范围.
题型05 补集的概念及运算
【典例1】已知全集
或
，集合
，则
．
【变式1】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
,
．
题型06 根据补集的运算结果求集合或参数
【典例1】已知集合
，
．
(1)当
时，求
；
(2)若存在集合
，使得
，求
．
【变式1】设全集
，集合
．若
，则
的值分别为（ ）
A．3，2
B．4，3
C．3，2 或5，3
D．5，2 或5，3
【变式2】设全集
，且
，若
，则
.
【变式3】已知全集
.
(1)若
中有四个元素，求
和q 的值；
(2)若
，求实数q 的取值范围.
【变式4】已知集合
，
，且
.
(1)若
，求实数
组成的集合；
(2)若
，求
，
的值.
,
．
题型07 交集、并集、补集的混合运算
【典例1】设全集
，
或
，
，如图，阴影部分所表示的集合为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式1】已知全集
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知全集
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】若全集
，集合
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】设全集
，
，
，则集合
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数
【典例1】设集合
，
.
（1）若
，且
，求实数
的值；
（2）若
，求实数
的取值范围.
.
【变式1】已知集合
，且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
或
，
，若
，则m 的取值范围是
.
【变式3】已知
，
.
(1)若
，求
；
(2)从①
；②
；③
这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进
行解答.
问题：若 ，求实数
的所有取值构成的集合
.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【变式4】设集合A={x∣
−3x+2=0}，B={x∣
+2(a+1)x+
−5=0}
（1）若A∩B={2}，求实数a 的值；
（2）若U=R，A∩(
B)=A.求实数a 的取值范围.
题型09 容斥原理
【典例1】为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活
动作业，并在开学后随机抽查了100 名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52 人观看
了红色电影，43 人参观了烈士陵园，49 人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24
人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20 人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17 人，则
三项活动都参加的人数为 ．
【变式1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有
人，参加唱
歌课外活动的有
人，参加体育课外活动的有
人，参加三种课外活动都参加的有
人，选择两种课外
活动参加的有
人，不参加其中任何一种课外活动的有
人．则接受调查的小学生共有（ ）
A．
人
B．
人
C．
人
D．
人
【变式2】高三1 班有12 名同学读过《牡丹亭》，有8 名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4
名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16 人
B．18 人
C．20 人
D．24 人
【变式3】为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025 年4 月举行“语文情境默
写” “英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出
､
20 人的代表队，据了解其中擅长语文的有10 名同学，擅
长英语的有12 名同学，两项都擅长的有5 名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【变式4】1 学校举办运动会时，高一（1）班共有28 名同学参加比赛，有15 人参加趣味益智类比赛．有
8 人参加田径比赛，有14 人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3 人，同时参加趣味
益智类比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为
；同时参加田径和球类比赛的人数为
一般地，对任意两个有限集
,
进一步的：
1．已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．定义集合
的“对称差集”:
且
.已知集合
， 下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
5．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．对于集合
，
，定义
且
，
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类
项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25 名同学选择球类项目A，20 名同学选择径赛项目B，18 名同
学选择其他健身项目C；其中有6 名同学同时选择A 和
名同学同时选择A 和C，3 名同学同时选择B 和
.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）
A．51
B．50
C．49
D．48
8．已知集合
若
，则a 的取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）设
，
，若
，则实数a 的值可以是（ ）
A．0
B．
C．
D．3
10．已知集合
和
，满足
，
，则
实数
．
11．设集合
，
，全集
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若
，求实数
的取值范围．
12．已知集合
，非空集合
，设全集为实数集
.
(1)若
，求
和
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
13．已知
为实数，集合
，全集
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的值.
14．集合
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)已知
，求实数
的取值范围．
