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专题1.4 空间中的点、直线、平面与空间向量
教学目标
1．理解点的位置向量、方向向量的概念.
2．掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法．
3．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法．
4.掌握利用空间向量求法向量的方法
教学重难点
教学重点：利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面等位置关系；求空间两
直线所成的角．
教学难点：利用直线的方向向量研究两直线的位置关系；法向量的求解
知识点01 用向量表示点、直线、平面的位置
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点
作为基点,那么空间中任意一点
就可以用向量
表示.我们把向量
称为
点
的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①,
是直线的方向向量,在直线上取
,设
是直线上的任意一点,则点
在直线上的充
要条件是存在实数,使得
，即
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点
,可以得到点
在直线上的充要条件是存在实数,使
①
或
②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确
定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对
，使得
，如图；取定空间任意一点
，空间
一点
位于平面
内的充要条件是存在实数
，
，使
.
【即学即练】若平面
，
的法向量分别为
，
，则
与
的位置关系是（ ）
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
【答案】B
【分析】求出给定向量的数量积，再利用空间位置关系的向量证明判断即得.
【详解】由
，得
，
所以平面
与
垂直.
故选：B
知识点02 平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线
，取直线 的方向向量
，我们称
为平面
的法向量；过点
且以
为法向量
的平面完全确定，可以表示为集合
．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面
的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由
列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取
)
得结论：得到平面的一个法向量.
【即学即练】平面
内三点坐标分别为
，则平面
的一个法向量为
．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】求出
，由
，求解即可．
【详解】解：由
则
因为向量
是平面
的一个法向量，
所以
，令
，则
故答案为：
知识点03 空间中直线、平面的平行
设直线
,
的方向向量分别为
，
，平面
，
的法向量分别为
，
，则
线线平行
⇔
⇔
(
)
线面平行
⇔
⇔
面面平行
⇔
⇔
【即学即练】在空间直角坐标系中，
为直线l 的一个方向向量，
为平面
的一个法向
量，且
，则t＝（ ）
A．3
B．－3
C．1
D．－1
【答案】B
【分析】由
得到
与
垂直，进而得到方程，求出答案.
【详解】因为
，所以
与
垂直，
故
，解得
.
故选：B．
知识点04 空间中直线、平面的垂直
设直线
的方向向量为
，直线
的方向向量为
，平面
的法向量
，平面
的法向量为
，则
线线垂直
⇔
⇔
线面垂直
⇔
⇔
⇔
面面垂直
⇔
⇔
⇔
【即学即练】在空间直角坐标系中，
是直线的一个方向向量，
是平面
的一个法
向量.若
，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．-2
【答案】A
【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进
行求解.
【详解】因为
，所以
∥
，则
，解得
.
故选：A.
题型01 平面的法向量及其求法
【典例1】已知
，则平面ABC 的一个法向量可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题设
，
，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法
向量即可.
【详解】由题设
，
，
若
是平面ABC 的一个法向量，则
，
取
，则
.
故选：A
【变式1】已知空间中，点
，则平面
的一个法向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
，
，设平面
的一个法向量为
，由
，
，列方程组，解方
程即可得出答案.
【详解】由题
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，
，得
.
故选：B.
【变式2】在空间直角坐标系
中，已知点
，则下列向量坐标可以作为平
面
的一个法向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由法向量定义求出一个法向量，与它平行的向量即可．
【详解】设法向量为
，
由已知
，
则
，取
，则
，
只有B 选项中向量与
平行，可表示为
，
故选：B．
【变式3】已知直线
，
的方向向量分别为
，
，且直线
，
均平行于平面
，
平面
的单位法向量为 ．
【答案】
或
【分析】由法向量与
，
垂直列出等式即可求解.
【详解】设平面
的单位法向量为
，
因为直线
，
均平行于平面
，
所以有
，
由
可得：
或
，
故平面
的单位法向量为
或
．
故答案为：
或
．
【变式4】已知
，若平面
的一个法向量为
，则
．
【答案】
.
【分析】根据题意，求得向量
，得到方程组
，即可求解.
【详解】因为
，可得
，
因为平面
的一个法向量为
，则
，
解得
，所以
.
故答案为：
.
题型02 异面直线所成角
【典例1】已知正方体
的棱长为2，
分别为
的中点，求异面直线
与
所
成角的余弦值.
【答案】
【分析】首先将异面直线的方向向量
运用向量的线性运算表示出来，然后计算它们的数量积和向
量的模，最后利用异面直线夹角的余弦公式求得答案.
【详解】根据题意可知，
.
所以
.
因为
，
，
，
，
所以
，
.
所以
.
根据勾股定理可得，
，
所以异面直线
所成角的余弦值为：
.
【变式1】已知直三棱柱
的棱长均为2，则异面直线
与
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】思路一：利用几何法求异面直线所成角时，往往结合平行四边形的对边或三角形的中位线寻找平
行线，将异面直线转化到同一个三角形中，进而利用正、余弦定理求解；思路二：两直线所成角为锐角或
直角，若利用向量法求出余弦值为负，注意取相反数.
【详解】方法一：如图2，分别取
，
，
的中点
，连接
，
则
，
，
从而
或其补角为异面直线
与
所成的角，易知
,
，
则由余弦定理得
，
从而直线
与直线
夹角的余弦值为
，故选：D．
方法二：以
为坐标原点，过
且与平面
垂直的直线为
轴，
，
所在直线分别为
轴，
轴，建立空间直角坐标系，如图3，
则
，
，
，
，
，
，
，
故所求两直线夹角的余弦值为
，
故选：D．
【变式2】在正四棱柱
中，
分别是
的中点，则直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解法一：以
为原点，建立空间直角坐标系，设
，则
，求得
的坐标，结合
向量的加减公式，即可求解；
解法二：设
，取
的中点P，连接
，证得
和
，得到
（或
其补角）是异面直线
与
所成角，在
中，结合余弦定理，即可求解．
【详解】解法一：以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，则
，可得
，
则
，
所以
.
解法二：设
，则
，
如图所示，取
的中点P，连接
，
在正方形
中，可得
，
在三角形
中，因为
是
的中点，可得
，
所以
（或其补角）是异面直线
与
所成角，
在直角
中，可得
，
在直角
中，可得
，
在直角
中，可得
,
在
中，由余弦定理得
．
故选:D．
【变式3】如图，在长方体
中，
，则异面直
线
和
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角得余弦值即可.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线分别为
，
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
故异面直线
和
夹角的余弦值为
.
故选：B.
【变式4】在正方体
中，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的大小为 .
【答案】
【分析】建系，向量法求直线夹角.
【详解】不妨设正方体棱长为2，以
点为坐标原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角
坐标系，
则
则
故答案为：
.
用向量运算求两条直线所成角
已知a，b 为两异面直线，A，C 与B，D 分别是a，b 上的任意两点，a，b 所成的角为
，则
①
②
.
题型03 利用向量方法证明线面平行
【典例1】如图所示，在四面体
中，
平面
，
，
，
，
是
的中点，
是
的中点，点
在线段
上，且
．求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【分析】以
的中点O 为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用
表示点
坐标，根
据直线
的方向向量与平面
的法向量垂直可得结果.
【详解】如图，取
的中点O，以O 为坐标原点，
，
所在射线分别为y 轴、z 轴的正半轴，建立
如图空间直角坐标系Oxyz．
由题意知，
，
，
．
设点C 的坐标为
，则
．
因为
，
所以
，
所以Q
．
因为M 为
的中点，所以
．
因为P 为
的中点，所以P
，
所以
．
因为平面
的一个法向量为
，
所以
，
因为
平面
，所以
平面
．
【变式1】如图，在三棱柱
中，
分别是
的中点，
平面
，且
，
，
.求证：
平面
.
【答案】证明见解析
【分析】以点H 为原点，建立空间直角坐标系，得到向量
和平面
的法向量为
，求得
，得到
，进而证得
平面
；
【详解】证明：如图，
因为H，P 分别是BC，AB 的中点，所以
，
因为
，可得
，又因为
平面ABC，
以点
为原点，以
所在直线分别为
轴，
轴和
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得
，
，
，
，
，
，
，
，
所以向量
，且平面
的法向量为
，
则
，所以
，
又因为
平面
，所以
平面
.
【变式2】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
为
上一点，且
．（请用空间向量法予以证明）
(1)求证：
平面PBC；
(2)求证：
平面BDE．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）以A 为原点，
，
，
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标
系，证明
，
，原题即得证；
（2）设平面BDE 的法向量为
，证明
即得证.
【详解】（1）证明：如图，以A 为原点，
，
，
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空
间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
，
所以
，
，即
，
，
又因为
，
平面PBC．
所以
平面PBC．
（2）证明：由（1）可得
，
，
．
设平面BDE 的法向量为
，
则
，即
令
，得
，
，
则
是平面BDE 的一个法向量，
因为
，所以
，
因为
平面BDE，所以
平面BDE．
【变式3】如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，
，
，
，
，M 为CE 的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）根据题意可知平面
平面
，平面
平面
，
又
是正方形，所以
，
平面
，
所以
平面
，从而可得
，
，
两两垂直；
以D 为原点，分别以
，
，
分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则
，
又
为
的中点，所以
，
则
，且平面
的一个法向量为
，
因为
，可知
，
又
平面
，所以
∥平面
.
【变式4】如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
的中点．试用向量的
方法证明：
(1)
；
(2)
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）以
为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用
可得
.
（2）表示
，计算平面
的法向量
，利用
可得
平面
．
【详解】（1）
如图，以
为原点，建立空间直角坐标系.
设
，则
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，∴
．
（2）由（1）得，
，
，
，
∴
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
则
，
∴
，
∵
平面
，∴
平面
．
题型04 利用向量方法证明面面平行
【典例1】在正方体
中，若
为
中点，
为
中点.
求证：
(1)
；
(2)
平面
；
(3)平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）以D 为坐标原点，
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标
系，求出
的坐标，利用
，即可证明；
（2）求出平面ACD1的法向量
，及直线的方向向量
，从而得到
，即可证明；
（3）可以利用
平面
，及
平面
，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个
平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行.
【详解】（1）以D 为坐标原点，
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标
系，设正方体的棱长为1．
依题意知：
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，即
.
（2）设平面ACD1的法向量为
，
∵
，
，
，
∴
，
，
由
可得，
，即
，
令
，则
，∴
，
又
，
∴
，∴
，
又
平面
，∴
平面
．
（3）证法一 ∵
，
∴
，又
，
∴
，∴
，
又
平面
，
平面
，
∴
平面
，
又由（2）知
平面
，而
，
且
平面
，
平面
,
∴平面
平面
.
证法二 设平面
的法向量为
则
即
∴
令
，得
，∴
，
由（2）知平面ACD1的一个法向量
，
∴
，∴
，
∴平面
平面
.
【变式1】如图，正方体
中，
，
分别为
，
的中点．
(1)用向量法证明：平面
平面
；
(2)用向量法证明：
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）以
为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，表示各点坐标，求两个平面的法向
量，利用法向量平行可证平面平行.
（2）求直线
的方向向量和平面的法向量，利用向量平行可得线面垂直.
【详解】（1）如图，以
为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则
，
，
，
，
，
，
故
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，则
．
设平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，则
，
所以
，即
，故平面
平面
．
（2）由
，
是线段
，
中点得，
，
，
所以
，
由
得，
，
所以
平面
．
【变式2】如图，在直三棱柱
中，
，
，
，点E 在线段
上，且
，
分别为
、
、
的中点.求证：
(1)平面
平面
；
(2)平面
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直；
（2）利用空间向量法证明
平面
，再根据线面垂直的性质得到面面平行；
【详解】（1）证明：以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
.
设
，则
，
，
.
因为
，
，
，
所以
，
.
所以
，
，即
，
.
又
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）因为
，
，
，
所以
，
.
所以
，
.
因为
平面
，所以
平面
.
又由（1）知
平面
，所以平面
平面
.
【变式3】如图，在长方体
中，
，
，
.
(1)求证：平面
平面
.
(2)线段
上是否存在点P，使得
平面
？若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，P 为线段
的中点
【分析】（1）根据题意，以D 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面
与平面
的法向
量，由法向量平行，即可证明面面平行；
（2）由空间向量的坐标运算，由
与平面
的法向量垂直，代入计算，即可求解.
【详解】（1）证明：以D 为原点，DA，
，
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
.
取
，则
，
，所以平面
的一个法向量为
.
设平面
的法向量为
，
则
.
取
，则
，
，所以平面
的一个法向量为
.
因为
，即
，所以平面
平面
.
（2）设线段
上存在点P 使得
平面
，
.
由（1）得
，
，平面
的一个法向量为
，
所以
.
所以
，解得
.
所以当P 为线段
的中点时，
平面
.
【变式4】如图，已知在正方体
中，
，
，
分别是
，
，
的中点．证明：
(1)
平面
；
(2)平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知
为平面
的一个法向量，然后证明
即可得证；
（2）证明
也是平面MNP 的一个法向量即可.
【详解】（1）证明：以D 为坐标原点，
，
，
的方向分别为x，y，z 轴的正方向，建立空间直
角坐标系.
设正方体的棱长为2，则
，
，
，
，
，
．
由正方体的性质，知
平面
，
所以
为平面
的一个法向量．
由于
，
则
，
所以
．
又
平面
，
所以
平面
．
（2）证明：因为
为平面
的一个法向量，
由于
，
，
则
，
即
也是平面MNP 的一个法向量，
所以平面
平面
．
题型05 用向量方法证明线线垂直
【典例1】棱长为2 的正方体中，
分别是
的中点，
在棱
上，且
是
的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：
；
(2)求
；
(3)求
的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）建立以
为坐标原点的空间直角坐标系
，求出
并计算
即可得证；
（2）由（1）求出
，接着计算
即可得解；
（3）由（1）求出
，再由向量坐标形式的模长公式计算
即可得解.
【详解】（1）证明：以
为坐标原点，建立空间直角坐标系
，如图所示，
则由题意得
，
因为
，
，
所以
，
所以
，所以
.
（2）由（1）可得
，
所以
.
（3）由（1）得
，所以
.
【变式1】如图，在三棱锥
中，
、
、
两两垂直，且
，
为
的中
点.
(1)证明：
；（用向量方法证明）
(2)求直线
与
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，计
算出
，即可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线
与
所成角的余弦值.
【详解】（1）在三棱锥
中，
、
、
两两垂直，且
，
为
的中点.
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
、
，
所以，
，
，则
，故
.
（2）
，
，
所以，直线
与
所成角的余弦值为
.
【变式2】已知四棱锥
底面是直角梯形，
，
，侧
面
底面
.证明：
(1)
；
(2)平面
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先证明
底面
，建立空间直角坐标系，计算
得证；
（2）取PA 的中点M，连接DM，利用向量法先证明
平面
，从而可得面面垂直.
【详解】（1）取BC 的中点O，连接PO，
∵平面
底面
，
为等边三角形，
平面
底面
，
平面
，
∴
底面
.
以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，
OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
不妨设
，则
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，∴
.
（2）取PA 的中点M，连接DM，则
，
∵
，
，∴
，
∴
，即
.
∵
，
∴
，即
，
又∵
平面PAB，
∴
平面
.
∵
平面
，
∴平面
平面
.
【变式3】直三棱柱
的底面
中，
，
，棱
，
、
分别
是
，
的中点，如图，建立空间直角坐标系.
(1)求
的坐标及
的长；
(2)求证：
.
【答案】(1)
；
(2)证明见详解
【分析】（1）根据坐标系标点，即可得向量坐标和模长；
（2）由（1）求
，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】（1）由题意可知：
，
则
，可得
，
所以
的长为
.
（2）由（1）可得：
，
因为
，所以
.
【变式4】如图所示，在棱长为4 的正方体
中，
分别是棱
上的动点，且
，其中
，以
为原点建立空间直角坐标系
.
(1)求证：
；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）根据给定的空间直角坐标系，求出
的坐标，计算
即可得证.
（2）求出
的坐标，利用向量夹角的坐标表示即可得解.
【详解】（1）依题意，
，
，
则
，于是
，
所以
，即
.
（2）当
时，
，则
，
所以
.
题型06 利用向量方法证明线面垂直
【典例1】如图，在棱长为1 的正方体
中，
是正方形
的中心.
(1)求
绕棱
所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积；
(2)求证：
平面
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）
绕棱
所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为
，高为1 的圆锥，求
出体积可得答案；
（2）方法一：连接
，利用线面垂直的判定定理、性质定理可得
、
，再由线面垂
直的判定定理可得答案；方法二：以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴建立空间
直角坐标系，求出则
，
，再由线面垂直的判定定理可得答案.
【详解】（1）因为正方体
的棱长为1，
所以
，
，
是直角三角形，
所以
绕棱
所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为
，
高为1 的圆锥，其体积为
；
（2）方法一：连接
，如图.
在正方体
中，易知
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
.
又
平面
，所以
，
同理可证
平面
，所以
.
因为
，
平面
，
所以
平面
.
方法二：以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
则
，
，
所以
，
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
.
【变式1】如图，等边三角形
与直角梯形
所在的平面垂直，
．
(1)若F 为
的中点，求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）设
的中点为H，
的中点为O，连接
，
，
由题意知
．
因为平面
平面
，
平面
，
，平面
平面
，
所以
平面
，所以
平面
，则
，
，
又
为等边三角形，所以
．
故以O 为坐标原点，射线
，
，
分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系
．
设
，则
，
，
，
，
，
所以
.又因为
平面
，
所以
平面
．
【变式2】如图，四棱锥
的底面为正方形，
平面
，
是
的中点，
．
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）以
为原点，
所在的直线为
轴的正方向建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
，设平面
的法向量为
，
所以
即
，令
，则
，
则
，所以
，即
平面
.
【变式3】如图，在棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
为棱
上一点．请用
向量方法解决以下问题：
(1)证明：直线
平面
；
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）在棱长为2 的正方体
中，以
为原点，建立如图空间直角坐标系，
则
，
，
于是
，
即
，而
平面
，
所以直线
平面
.
【变式4】如图，在直四棱柱
中，底面
为直角梯形，
分别为
的中点，
，用向量法证明：直线
平面
．
【答案】证明见解析
【分析】以
为原点，建立空间直角坐标系，求出
和平面
的一个法向量的坐标，可得
与平面
的法向量共线，则得直线
平面
．
【详解】由题意知，以
为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
即
，
令
，则
，
所以
，故直线
平面
．
题型07 利用向量方法证明面面垂直
【典例1】如图所示，在直二面角
中，四边形
是边长为2 的正方形，
，F 为
上
的点，且
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）建立空间直角坐标系得出
的坐标，要证
平面
，只需证明
和
即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
法向量和平面
的一个法向量，利用向量夹角公式可求得
余弦值.
【详解】（1）∵
为正方形，∴
，
∵二面角
为直二面角，∴
平面
，
以线段
的中点为原点
，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
过
点平行于
的直线为
轴，建立如图空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
设
(
)，
∵
为
上的点，
，
∴设
，∴
，
∴
，
，
，
∵
平面
，
、
平面
，∴
，
且
，解得
，
，∴
，
，
所以
，
，∴
，∴
，
∵
平面
，
平面
，∴
，
又
，
、
平面
，∴
平面
；
（2）由题意可知，平面
的法向量为
，
设面
的法向量为
，
，
，
∴
且
，取
，则
，
，
∴
，∴
，∴平面
平面
.
【变式1】如图所示，
是一个正三角形，
平面
，
，且
．
(1)求平面
的法向量
(2)求证：平面
平面
．
【答案】(1)
（答案不唯一）
(2)证明见解析
【分析】（1）以
为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可；
（2）证明两平面的法向量垂直即可.
【详解】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
以
为原点，
所在的直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
.
（2）设平面
的一个法向量是
，
则
，令
，则
，
因为
，所以
，
所以平面
平面
.
【变式2】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点
为棱
的中点.证明：
(1)
；
(2)
平面
；
(3)平面
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）以点
为原点建立空间直角坐标系，论证
即可；
（2）易得向量
为平面
的一个法向量，再论证
即可；
（3）易得平面
的法向量为
，再求得平面
的一个法向量为
，论证
即可.
【详解】（1）证明：依题意，以点
为原点建立空间直角坐标系：
可得
.
由
为棱
的中点，得
.
（1）向量
，
故
，
所以
.
（2）因为
，
又
平面
，
平面
，
所以
，
，
平面
，
所以
平面
，
所以向量
为平面
的一个法向量，
而
，
所以
，
又
平面
，所以
平面
.
（3）由（2）知平面
的法向量为
，
向量
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
不妨令
，可得
，
所以
为平面
的一个法向量.
且
，
所以
所以平面
平面
.
【变式3】如图，正四棱柱
的底面边长为2，E 为棱
的中点，
，且四棱锥
的体积为
．
(1)求棱
的长；
(2)证明：平面
平面
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据正四棱柱
，可得
平面
，设
，结合线面关系确定四
棱锥
的体积表达式求解，即可得所求；
（2）建立空间直角坐标系，分别求解平面
与平面
的法向量，根据法向量的关系证明结论即可.
【详解】（1）因为正四棱柱
，所以
平面
，
且四边形
为直角梯形，设
，
所以
，
解得
，即
；
（2）以点
为原点，直线
分别为
轴，如图建立空间直角坐标系，
由题意可得
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
；
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
；
因为
，
所以平面
平面
．
【变式4】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点E 为棱PC 的中点．证明：
(1)
平面
；
(2)平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP 两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间
向量法证明平面PAD 的一个法向量
与
垂直，进而即可证明结论；
（2）结合（1），先证明平面PCD 的一个法向量与平面PAD 的一个法向量垂直，进而即可证明结论．
【详解】（1）因为
平面ABCD，且
平面ABCD，所以
，
又因为
，且
，
平面
，所以
平面
，
依题意，以点A 为原点，以
，
，
分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
由
为棱
的中点，得
，则
，
所以
为平面
的一个法向量，
又
，所以
，
又
平面
，所以
平面
．
（2）由（1）知平面
的一个法向量
，
，
，
设平面PCD 的一个法向量为
，则
，
令
，可得
，所以
，
又
，
所以
，所以平面
平面
.
题型08 空间向量中的平行，垂直动点问题
【典例1】在四棱锥
中，面
面
，
，
，
，
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
的值为
【分析】（1）首先利用面面垂直的性质证明
，然后结合已知条件利用线面垂直的判定定理即可
证明
平面
.进而得到面面垂直.
（2）首先假设存在点，根据已知条件和（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用平面
的法向量
与
垂直求解即可.
【详解】（1）
平面
平面
且平面
平面
，
平面
平面
平面
又
，
平面
.
平面
平面
平面
.
（2）假设在棱
上是否存在点
，使得
平面
取
中点
，连接
，
，如下图
，
，
，
，
从而
，故
平面
，
又
平面
平面
且平面
平面
，
平面
，
以
为坐标原点，
，
，
为
，
，
轴建立空间直角坐标系，如下图：
由题意可知，
，
，
，
，
设
点
在棱
上，故
，
，故
设平面
的法向量为
故
，令
，则
，
从而平面
的法向量可以取
平面
，解得，
故假设成立，存在这样的点
，使得
平面
，此时
即
，从而
【变式1】如图，在直三棱柱
中，
，
，P 为
上的动点，Q
为棱
的中点．
(1)设平面
平面
，若P 为
的中点，求证：
；
(2)设
，问线段
上是否存在点P，使得
平面
？若存在，求出实数
的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，
.
【分析】（1）设
的中点为
，连接
，易证四边形
为平行四边形，可得
，进
而得到
平面
，再根据线面平行的性质求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及
平面
列出方程组求解即可.
【详解】（1）证明：设
的中点为
，连接
，
因为P 为
的中点，Q 为
的中点，
所以
，
，
，
在直三棱柱
中，
，
，
所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，
则
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又平面
平面
，
平面
，
所以
.
（2）在直三棱柱
中，
平面
，
，
故可以
为原点，以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
因为
，
所以
，
则
，
，
又
，则
，
所以
，
若
平面
，则
，
则
，解得
，
所以线段
上存在点P，使得
平面
，此时
.
【变式2】在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补
充在下面的问题中.
问题：如图，在正方体
中，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系
.已知点
的坐
标为
为棱
上的动点，
为棱
上的动点，__________，试问是否存在点
满足
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】设
，根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由
向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解.
【详解】由题意，正方体
棱长为2，
则
.
设
，
则
.
所以
.
选择①，则有
，
所以
，
又
，
所以
，则
，
因为
，
所以
，
故存在点
，满足满足
，且
.
选择②，
，即
，所以
，
因为
，
所以
，
故存在点
，满足
，且
.
选择③，
，
因为
，所以
与
不共线，
所以
，即
，
则
，
故不存在点
满足
.
【变式3】已知矩形ABCD，
，
，
为CD 中点，沿AE 折成直二面角，
为BC 为中点.
(1)求证：
；
(2)在棱DE 上是否存在点N，使得
平面ADM?若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【分析】（1）取
的中点
，连接
，由面面垂直的性质得到
，再由中位线的性质得
到
，然后由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立如图所示坐标系，平面
的法向量，利用
解出
即可；
【详解】（1）
取
的中点
，连接
，
因为矩形ABCD，
，
，
所以
，
由
为CD 中点，所以
，
因为
，所以
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
由
为
的中点，
为四边形
的中位线，
，
所以
，又
平面
，
，
所以
平面
，
由
平面
，所以
.
（2）
作
平面
，以
为原点，以
所在直线为
建立空间直角坐标系，
由（1）得
为四边形
的中位线，所以
，
由
得
，
，
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
设点
存在，
，
，
所以
，所以
，
由
平面
得
，
所以
，解得
，
即
，所以
所以存在点N，使得
平面ADM，
.
【变式4】在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直；
（2）取AD 中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设
，
使得
平面
，用空间向量建立等量关系，求得
的值.
【详解】（1）∵面
面
，面
面
，
，
面
，
∴
面
，
∵
面
，
∴
，
又
，
，
面
，
面
∴
面
，
（2）取
中点为
，连结
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
∵面
面
，面
面
，
两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系
，
易知
，
，
，
，
则
，
，
，
，
设
为面
的法向量，令
.
则
假设存在
点使得
面
， 设
，
，
又
，
，
，
，
有
∴
∵
面
，
为
的法向量，
∴
，即
，得
综上，存在
点，即当
时，
点即为所求.
1．在正方体
中，
是
的中点，
是
的中点，则异面直线
与
所成角的余
弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，求出
，
，利用线线角的向量法，即可求解.
【详解】如图，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为
，
则
，所以
，
，
设异面直线
与
所成的角为
，
则
，
故选：D.
2．已知向量
都是直线l 的方向向量，则x 的值是（ ）
A．
或1
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解.
【详解】依题意，向量
共线，则
，
所以
.
故选：B
3．已知直线与平面
垂直，直线的一个方向向量为
，向量
与平面
平行，则实
数
等于（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】根据题意由
解方程即可求得.
【详解】由题意可得：
，
即
，
解得
.
故选：B
4．已知向量
分别是平面
与平面
的一个法向量，若
，则实数
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】根据法向量垂直，即可根据数量积的坐标运算求解.
【详解】由于
，则
，解得
，
故选：C
5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱
，
，则直线
与直线
夹角
的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定的空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解.
【详解】依题意，
，
，
设直线
与直线
的夹角为
，则
，
所以直线
与直线
夹角的正弦值
.
故选：C
6．已知平面
的法向量为
，则直线
和平面
的位置关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
与
相交但不垂直
【答案】A
【分析】得出
，即可判断.
【详解】由题意得，
，则
，则
.
故选：A
7．已知直线的方向向量是
，平面
的一个法向量是
，则与
的位置关系是
（ ）
A．
B．
C．l 与α 相交但不垂直
D．
或
【答案】A
【分析】由
和
的位置关系即可判断.
【详解】
，
，
所以
，
所以
，
故选：A
8．在空间直角坐标系中，
为坐标原点，
为其内一点，
，平面
平面
，则
平面
的一个法向量可以为：（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
为平面
的法向量，由面面垂直的性质定理得
，列式求出
得解.
【详解】设
为空间内一点，且
，
由于平面
平面
，所以平面
的法向量垂直
且平行平面
（或在平面
内部），
故不妨取
为其法向量，则
，
，
所以
，取
代入
得到
，故D 正确.
故选：D.
9．（多选）在空间直角坐标系
中，点
，
，
，则下列结论正确的有
（ ）
A．点
关于
轴的对称点的坐标为
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据空间中点的坐标可得向量坐标，进而判断位置关系及夹角.
【详解】由已知
，
，
，
则点
关于
轴的对称点的坐标为
，A 选项正确；
，B 选项正确；
，
，即
，即
与
不垂直，C 选项错误；
，D 选项正确；
故选：ABD.
10．（多选）已知平面
过点
，其法向量为
，则下列各点在平面
内的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】分别把每个选项的点与点
确定的向量与法向量
求数量积，进而判断各点是否在平面
内.
【详解】对于A，设
，则
，因为
，
所以点
在平面
内，故A 正确；
对于B，设
，则
，因为
，
所以点
，2）不在平面
内，故B 错误；
对于C，设
，则
，
因为
，
所以点
不在平面
内，故C 错误；
对于D，设
，则
，
因为
，
所以点
在平面
内，故D 正确.
故选：AD.
11．设直线的方向向量
，平面
的法向量
，若
，则
【答案】
【分析】利用空间位置关系的向量法可得
，列式求解即可.
【详解】因为直线的方向向量
，平面
的法向量
，
，
所以
，所以
，解得
.
故答案为：
.
12．已知直线l 的方向向量为
，平面α 的法向量为
.若
，则实数λ 的值为
.
【答案】
/2.5
【分析】由
求解即可.
【详解】由题意可得：
，
即
，
解得：
，
故答案为：
13．如图所示，直三棱柱
中，
分别是
的
中点.
(1)求
的长；
(2)求证：
平面
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长；
（2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可.
【详解】（1）因为
平面
，
，以
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
，所以
，
.
（2）依题意得
，
所以
，
则
，即
，
又因为
，
平面
，所以
平面
.
14．如图，在正方体
中，
，
，
，点
分别是
的中点．
(1)试用
表示
；
(2)若正方体的棱长为
，求
的面积；
(3)保持（2）的条件不变，求平面
的一个法向量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的线性运算即可；
（2）以
为原点建系，计算
的坐标，再计算
，即可通过
即可计算面积；
（3）设平面
的法向量为
，根据
即可求出.
【详解】（1）因点
分别是
的中点，
则
，
，
则
.
（2）以
为原点，分别以
的方向为
轴正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
则
，
则
，
，
，
得
，则
，
则
，
故
的面积为
.
（3）设平面
的法向量为
则
，令
，则
，
平面
的一个法向量为
.
15．如图，在正三棱柱
中，
分别是
的中点．
(1)求证：平面
平面
．
(2)在线段
上是否存在一点Q，使
平面
？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理
由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；点Q 为点B
【分析】（1）应用线面平行判定定理得出面面平行即可证明；
（2）建立直角坐标系，设点的坐标满足线面垂直即线线垂直计算求参.
【详解】（1）
分别是
的中点，
，∴四边形
为平行四边形，
．
平面
平面
,∴
平面
,
平面
平面
，
平面
．
又
平面
，
∴平面
平面
．
（2）假设在线段
上存在一点Q，使
平面
．
取
的中点O，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设
，则
，
．
平面
，
，解得
，
∴在线段
上存在一点Q，使
平面
，此时点Q 为点B．
16．如图，在直三棱柱
中，
，
，D 是
的中点，F 是
上一点，
且
．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，判定直线
与平面
的位置关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)
平面
，证明见解析
【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，只需证明
，
，再结合线面垂直的判定
定理即可得证；
（2）只需证明
即可得证，其中平面
的法向量为
.
【详解】（1）因为
，
是
的中点，所以
，取
的中点
，则
平面
，
分别以
、
、
所在直线为x 轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系如图，
因为
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
因为
，所以
.
，
，
，
因为
，
，
所以
，
，
又
，
平面
，所以
平面
；
（2）
平面
，
因为
，所以
，
所以
．
设平面
的法向量为
，则
，有
，取
，则
．
因为
，
不在平面
上，所以
平面
．
