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专题4.2.1 对数运算
教学目标
1．理解对数的概念，能区分常用对数（
）与自然对数（
）
2．掌握指数与对数的互化规则（
且
时，
）
3．熟记对数性质（
等）和恒等式，能正确运用
教学重难点
1．重点：指数与对数的互化；对数的概念及基本性质
2．难点：对数恒等式的理解与应用
知识点01 对数的概念
一般地，如果
且________)，那么数
叫做以
为底
的________，记作
，其
中
叫做对数的________，
叫做________．
常用对数与自然对数：通常我们将以10 为底的对数叫做常用对数，记为________.在科学技术中常使用以
无理数
为底的对数，以
为底的对数称为自然对数，并记为________.
【即学即练】
1．有下列说法:
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10 为底的对数叫做常用对数；④
=-5 成立.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．思辨解析，在题目后的（ ）内正确的填“正确”，错误的填“错误”．
（1）
是
与N 的乘积．( )
（2）
可化为
．( )
（3）对数运算的实质是求幂指数．( )
（4）在
中，实数m 的取值范围是
．( )
知识点02 指数与对数的互化
当
时，________
.
【即学即练】
已知
，则
．
知识点03 对数的性质
（1）
________；（2）
________；（3）________和________没有对数．
【即学即练】
已知函数
，则
.
知识点04 对数恒等式
（1）
________
且
；（2）
________
且
【即学即练】
1．计算：
．
2．计算下列各式：
(1)
；
(2)
.
题型01 对数有意义的条件
【例1】使式子
有意义的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】若代数式
有意义，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】已知对数式
有意义，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】使式子
有意义的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】对数
有意义，那么
的取值范围是 ．
先明确对数
中，底数
需满足
且
，真数
需满足
；再根据题目给出的具体
对数表达式（如含未知数的真数或底数），分别列出关于
和
的不等式，联立求解不等式组，得到
未知数的取值范围，即为对数有意义的条件
题型02 对数式与指数式的互化
【例3】（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【例4】若
（
，且
），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】已知
，则
的值为（ ）
A．15
B．
C．
D．
【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【变式2-3】已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 对数求值
【例5】已知函数
，则
的值为（ ）
A．1
B．0
C．
D．2
【例6】已知函数
，则
.
【变式3-1】求下列各式的值：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
.
【变式3-2】“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【变式3-3】已知函数
，则
的值为 .
题型04 利用对数的定义解方程
【例7】方程
的解
【例8】求下列各式中的x 的值．
(1)
．
(2)
；
(3)
.
【变式4-1】方程
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】方程
的实数解为 ．
【变式4-3】求下列各式中
的值．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
先依据指数与对数互化规则（
且
时，
），将对数方程转化为指数方
程；再结合对数性质（真数
且
、底数
且
），列出对应限制条件；最后解指数
方程并验证解是否满足限制条件，符合条件的即为方程的解。
题型05 对数恒等式的应用
【例9】计算：
.
【例10】函数
（
），则
﹐则a=（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【变式5-1】已知函数
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
【变式5-2】设函数
，则
.
【变式5-3】已知函数
则
.
1．在对数式
中，实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，则
（ ）
A．0
B．2
C．-1
D．1
3．若
，则
（ ）
A．26
B．24
C．22
D．20
4．已知
为
上的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．-3
B．3
C．-2
D．2
5．已知实数
满足
，则
（ ）
A．11
B．12
C．16
D．17
6．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，
，
，
，则下列一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
9．下列说法等式正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
10．下列结论中，不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
11．已知指数函数
且
经过点
，则
12．已知
是奇函数，且
，则
．
13．已知
，则
.
14．将下列指数式化为对数式：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
15．求下列各式中的
的值.
(1)
；
(2)
.
16．求方程
的实数解．
17．已知实数
满足
且
，
，求实数
的值．
18．已知
，试比较x，y，z 的大小．
