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相似常见模型之三垂直与三等角 题集【A】
1. 一线三垂直相似模型
1. 如图，直线
，正方形
的三个顶点
、
、
分别在、、上，与之间的距离
是，与之间的距离是，则正方形
的面积为 ．
2. 如图，
，
，
，
．用一个三角尺进行如下操作：将直角顶点
在
线段
上滑动，一直角边始终经过点
，另一直角边与
相交于点
，若
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在四边形
中，
，
，点
在
上，
．
求证：
．
若
，
，
，求
的长．
4. 在一块长为、宽为
的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶
点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是 ．
2
5. 已知：如图，在正方形
中，
是
上的点，且
，
，
是
的中点．求
证：（1）
；（2）
．
（1 ）
（2 ）
6. 如图，在梯形
中，已知
，
，
，
，
，在线段
上任取一点
，连接
，做
，交直线
于点
．
若点
与
重合，求
的长．
若点
在线段
上，且
，求
的长．
7. 如图，在
中，
，
，
，以
为边作
，
，
，延长
至点
，使
，连接
．求证：
．
2. 一线三等角相似模型
3
（1 ）
（2 ）
1. 已知：如图，在
中，
，
，
、
分别为
、
边上一点，
．
求证：
．
若
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
2. 如图，在
中，
，点
、
分别是
、
边上的点，且
．
求证：
．
若
，
，当
时，求
的长．
（1 ）
（2 ）
3. 已知：如图，在菱形
中，
为
边上一点，
．
求证：
．
若
，求
的值．
（1 ）
（2 ）
4. 如图，已知：在
中，
，
，
是边
的中点，
、
分别是
边
、
上的一点，
，
与
的延长线相交于点
，
在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；
联结
，当
时，求
的长．
4
（1 ）
（2 ）
5. 如图，
和
是两个全等的等腰直角三角形，
，
的顶
点
与
的斜边
的中点重合．将
绕点
旋转到如图，线段
与线段
相交于点
，线段
与线段
的延长线相交于点
．
图
图
求证：
．
已知
，
，求
、
两点间的距离（用含的代数式表示）．
（1 ）
（2 ）
6. 阅读理解：
如图，若在四边形
的边
上任取一点
（点
与点
，
不重合），分别连结
，
，
可以把四边形
分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把
叫做四边形
的边
上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把
叫做四边形
的边
上的强相似
点．
解决问题：
图
如图，若
，试判断点
是否是四边形
的边
上的相似
点，并说明理由．
如图，在矩形
中，
，
，且
，
，
，
四点均在正方形网格（网格
中每个小正方形的边长为）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形
的边
上的一个强相似点
．
图
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