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相似常见模型之三垂直与三等角 题集【B】
1. 一线三垂直相似模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线
的距离为），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．
如图，已知等腰直角三角形纸片
，
，
，同学们通过构造直
角三角形的办法求出三角形三边的长，则
．
图1
如图，已知直角三角形纸片
，
，
，求出
的长．
图2
在（）的条件下，若横线纸上过点
的横线与
相交于点
，直接写出
的长．
2. 如图①所示，矩形
一条边
，将矩形
折叠，使得顶点
落在
边上的点
处，折痕与边
交于点
，连接
、
、
，
的面积是
的面积的倍．
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
求证：
．
求边
的长．
连接
，动点
在线段
上（点
与点
、
不重合），动点
在线段
的延长线上，
且
，连接
交
于点
，作
于点
．
按上面的叙述补全图②．
当点
、
在移动过程中，线段
的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不
变，求出线段
的长度．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 已知：如图，
的顶点
在正方形
的边
上，
，
经过点
，
与
交于点
．
在不添加字母和辅助线的情况下，图中
；
若
为
的中点，连接
，求证：
；
若
，试探究线段
与线段
的数量关系，并加以证明．
4. 正方形
边长为，
、
分别是
、
上的两个动点，当
点在
上运动时，保持
和
垂直．
3
（1 ）
（2 ）
证明：
．
设
，当为何值时
？
2. 一线三等角相似模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 阅读理解：
如图，在四边形
的边
上任取一点
（点
不与点
、点
重合），分别连接
，
，
可以把四边形
分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把
叫做四边形
的边
上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把
叫做四边形
的边
上的强相似
点．解决问题：
图
如图，
，试判断点
是否是四边形
的边
上的相似
点，并说明理由．
如图，在矩形
中，
，
，且
，
，
，
四点均在正方形网格（网格
中每个小正方形的边长为）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形
的边
上的一个强相似点
．
图
如图，将矩形
沿
折叠，使点
落在
边上的点
处．若点
恰好是四边形
的边
上的一个强相似点，试探究
和
的数量关系．
4
图
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，在等腰直角三角形
中，
，
，
为射线
上一动点．连
接
，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，射线
交射线
于点
.
如图，当
在线段
上时，若
，则
，并证明：
≌
．
如图，若
在
延长线上，请补全图形，并证明：
．
图
若
，请直接写出此时
的长为： ．
（1 ）
（2 ）
3. 现有两块等腰直角形三角板，如图，把其中一块三角板
的一个锐角顶点
放在另一块三角板
斜边
的中点处，并使三角板
绕着点
旋转．
当两块三角板相对位置如图①，即
与
交于点
，
与
交于点
时，求证：
．
当两块三角板相对位置如图②，即
边的延长线与
交于点
，
与
交于点
时，
与
还相似吗．（直接给出结论．不需证明）
5
（3 ）
（4 ）
在图②中，连结
，试探究
与
是否相似，并说明理由或给出证明．
在图①中，若
改为角
等于
的等腰三角形，那么
只要满足
时，仍有
．
