专题01 平面向量压轴题（14 类题型）
知识点1：平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果
1e
,
2e
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
,有且只有一对实数
1,
2
,
使
1 1
2
2
a
e
e
.
若
1e
,
2e
不共线,我们把,
1
2
{ ,
}
e e
叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
知识点2：平面向量基本定理的有关结论
（1）设
1e
,
2e
是平面内一组基底，若
1 1
2
2
a
e
e
，当
1
0
时，a
与
2e
共线；当
2
0
时，a
与
1e
共
线；当
1
2
0
时，
0
a
，同样的
0
a
时，
1
2
0
.
（2）设,a b
是同一平面内的两个不共线的向量，若
1
1
2
2
x a
y b
x a
y b
，则
1
2
1
2
x
x
y
y
.
知识点3：三点共线等价形式：
OA
OB
OB
（，为实数），若A ，B ，C 三点共线
1
知识点4：平面向量数量积的概念
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a
与b
,它们的夹角为,我们把数量|
||
| cos
a b
叫做向量a
与b
的数量积(或内积).
记作：a b
，即
|
||
| cos
a b
a b
.
（2）平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设i
，j
分别是x 轴，y 轴上的单位向量．向量
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
x y
x
y
a
b
分别等
价于
1
1
a
x i
y j
，
2
2
b
x i
y j
，根据向量数量积的运算，有：
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
(
) (
)
a b
x i
y j
x i
y j
x x i
x y i j
x y j i
y y j
由于i
，j
为正交单位向量，故，
2
1
i
，
2
1
j
，
0
i j
，从而
1
2
1
2
a b
x x
y y
．即
1
2
1
2
a b
x x
y y
，其含义是：两个向量的数量积等于它们
对应坐标的乘积的和．
知识点5：两向量夹角余弦的坐标表示
已知非零向量
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
x y
x
y
a
b
，是a
与b
的夹角，则cos
|
||
|
a b
a b
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
x x
y y
x
y
x
y
．
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知识点6：三角形”四心“向量形式的充要条件
（1）三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心
①重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
②垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
③内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
④外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
（2）设O 为ABC
所在平面上一点,内角A , B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则
①O 为ABC
的外心|
| |
| |
|
2sin
a
OA
OB
OC
A
.
②O 为ABC
的重心
0
OA
OB
OC
.
③O 为ABC
的垂心OA OB
OB OC
OC OA
.
④O 为ABC
的内心
0
aOA
bOB
cOC
.
（3）奔驰定理
奔驰定理：设O 是ABC
内一点，BOC
, AOC
, AOB
的面积分别记作
A
S ,
B
S ,
C
S 则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
.
说明：
本定理图形酷似奔驰的车标而得名.
奔驰定理在三角形四心中的具体形式：
①O 是ABC
的重心
:
:
1:1:1
A
B
C
S
S
S
0
OA
OB
OC
.
②O 是ABC
的内心
:
:
: :
A
B
C
S
S
S
a b c
0
aOA
bOB
cOC
.
③O 是ABC
的外心
:
:
sin 2
:sin 2
:sin 2
A
B
C
S
S
S
A
B
C
sin 2
sin 2
sin 2
0
A OA
B OB
C OC
.
④O 是ABC
的垂心
:
:
tan
: tan
: tan
A
B
C
S
S
S
A
B
C
tan
tan
tan
0
A OA
B OB
C OC
.
A
S
C
S
B
S
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奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.
知识点7：极化恒等式
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
a b
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1
4
，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形ABCD 中,
,
AB
a AD
b
则
2
2
(
)
(
)
4
AB
AD
AB
AD
a b
在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M
点, 则对于三角形来说:
2
2
2
2
(
)
(
)
|
|
|
|
4
4
AB
AD
AB
AD
DB
a b
AM
题型一定理法解决平面向量共线问题
例题1．（2023·山西·高一统考阶段练习）已知
1e
，
2e
是平面内两个不共线的向量，
1
2
4
2
A
e
B
e
，
1
2
B
e
e
C
，
1
2
1
CD
e
e
，且A，C，D 三点共线，则（
）
A．
1
2
B．2
C．4
D．1
4
例题2．（2023 下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在ABC
中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，
且
2
,
AN
NC AM
与BN 交于点P ，若
5.5
AM
，则AP 长是（
）
A．3.8
B．4
C．4.2
D．4.4
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例题3．（多选）（2023 下·四川绵阳·高一统考期末）如图，在ABC
中，
,
AD
DB E
是线段BC 上的点，
且满足
2
BE
EC
，线段CD 与线段AE 交于点F ，则下列结论正确的是（
）
A．
1
2
3
3
AE
AB
AC
B．3
2
DF
CF
C．
1
1
4
2
AF
AB
AC
D．4
3
AF
AE
练一练
1．（2023 上·安徽亳州·高三蒙城第一中学校联考期中）在ABC
中，
3
1
4
4
AM
AB
AC
，
1
1
2
2
CN
CB
CA
，
AM 与CN 交于点P ，且
,
AP
xAB
yAC x y
R
，则x
y
（
）
A．2
7
B．4
7
C．6
7
D．1
2．（2022·高一课时练习）设
1e
与
2e
是两个不共线的向量，
1
2
1
2
1
2
3
2 ,
,
3
2
AB
e
e CB
ke
e CD
e
ke
，若
A，B，D 三点共线，则k 的值为（
）
A．－4
9
B．－9
4
C．－3
8
D．－8
3
3．（多选）（2023 下·四川绵阳·高一统考期末）如图，在ABC
中，
,
AD
DB E
是线段BC 上的点，且满
足
2
BE
EC
，线段CD 与线段AE 交于点F ，则下列结论正确的是（
）
A．
1
2
3
3
AE
AB
AC
B．3
2
DF
CF
C．
1
1
4
2
AF
AB
AC
D．4
3
AF
AE
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4．（2023 下·甘肃武威·高一校考阶段练习）如图，在ABC
中，已知
2
AD
DC
，
1
4
BE
BC
，AB
a
，AC
b
．
(1)若
3
BD
BF
，证明：A，F，E 三点共线；
(2)若AE，BD 交于点F，求AF
AE 的值．
题型二利用推论解决平面向量共线问题
例题1．
（2022 下·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐101 中学校考期中）在ABC
中，
9
AB AC
，sin
cos
sin
B
A
C
，
6
ABC
S
，P 为线段AB 上的动点，且
|
|
|
|
CA
CB
CP
x
y
CA
CB
，则2
1
x
y
的最小值为（
）
A．11
6
6
3
B．11
6
C．11
6
12
3
D．11
12
例题2．（2023 下·广西·高一期末）已知ABC
内一点O是其外心，
2 2
π
sin
0
3
2
A
A
，且
AO
mAB
nAC
，则m
n
的最大值为
．
例题3．（2022 下·广西南宁·高一宾阳中学阶段练习）如图所示，在ABO
中，
1
4
OC
OA
，
1
2
OD
OB
，AD
与BC 相交于点M ，设OA
a
，OB
b
.
(1)试用向量,a b
表示OM
；
(2)过点M 作直线EF 分别交线段
,
AC BD 于点
,
E F ，记OE
OA
，OF
OB
，求证：不论点
,
E F 在线段
,
AC BD 上如何移动，1
3
为定值.
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练一练
1．（2022 下·福建厦门·高一福建省厦门集美中学校考期中）ABC
中，若
5
AB
AC
，
6
BC
，点E 满
足
2
1
15
5
CE
CA
CB
，直线CE 与直线AB 相交于点D，则cos
ADE
（
）
A．
10
10
B．
15
10
C．
2
5
D．
30
10
2．（多选）（2023 下·辽宁大连·高一统考期末）在ABC
中，
4
AC
，
5
AB
，
6
BC
，D 为AC 中点，
E 在BD 上，且
1
2
BE
ED
，AE 延长线交BC 于点F ，则下列结论正确的有（
）
A．
3
AE
B．
51
4
AE BC
C．
ACF
△
的面积为3 7
D．
6
AF
EF
3．（2022 下·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）如图，在ABC
中，已知
90
C
∠
，
1
AC ，
2
BC
，
直线l 过ABC
的重心G ，且与边A 、B 分别交于D 、E 两点，则CG ED
的最小值为
．
题型三坐标公式法解决平面向量共线问题
例题1．（2022·辽宁大连·大连八中校考一模）在ABC
中，已知
9
AB AC
，sin
cos
sin
B
A
C
，
6
ABC
S
，
P 为线段AB 上的一点，且
CA
CB
CP
x
y
CA
CB
，则1
1
x
y
的最小值为
A．7
3
12
3
B．12
C．4
3
D．5
3
12
4
例题2．
（2023 上·陕西渭南·高三蒲城县尧山中学校考阶段练习）已知向量
sin ,cos
,
2,1
a
b
，若
/ /
a
b
，
则
2
sin
sin2
的值为
．
练一练
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1．（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）已知向量
(2,3),
(1,1
)
a
b
，若(
) / /(
)
a
b
a
b
，则实数
（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
2．（2023·全国·高三专题练习）在ABC
中，已知点
(0,0), (0,5), (4,3)
O
A
B
，
1
1
,
4
2
OC
OA OD
OB
，AD 与
BC 交于点M ，则点M 的坐标为
.
题型四利用基底法解决平面向量基本定理问题
例题1．（2023 下·福建三明·高一统考期末）设O为ABC
的内心，
5
AB
AC
，
8
BC ，
,
AO
mAB
nAC m n
R
，则m
n
（
）
A．2
3
B．5
9
C．3
5
D．2
5
例题2．（2022·广东肇庆·统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，
1
3
AE
AD
，
1
4
BF
BC
，CE 与
DF 交于点O.设AB
a
，AD
b
，若AO
a
b
，则
（
）
A．8
17
B．19
17
C．3
17
D．11
17
例题3．（2022 下·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在ABC
中，
1
3
B
BC
D
，
点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE
AB
AC
，则
1
2
的取值范围是
．
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1．（2022 下·河南驻马店·高一统考期末）已知D，E 分别是ABC
边AB，AC 上的点，且满足
3
2
AB
AD
，
4
AC
AE
，BE
CD
O
，连接AO 并延长交BC 于F 点．若AO
AF
，则实数的值为（
）
A．2
3
B．2
5
C．5
7
D．7
10
2．
（2020 下·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在ABC
中，
1
4
AD
AB
，
1
2
AE
AC
，
BE 和CD 相交于点F ，则向量AF
等于（
）
A．1
2
7
7
AB
AC
B．1
3
7
7
AB
AC
C．1
2
14
14
AB
AC
D．1
3
14
14
AB
AC
3．（多选）（2023 下·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期中）在ABC
中，点D 是线段BC 上任意一点，
点M 是线段AD 的中点，若存在,
R
使BM
AB
AC
，则,
的取值可能是（
）
A．
3
1
,
5
10
B．
3
1,
2
C．
9
2
,
10
5
D．
7
3
,
10
5
4．（2021 下·江苏苏州·高一苏州市第三中学校校考期中）如图，在直角梯形OABC 中，
/ /
,
,
2
2
,
OA
CB OA
OC OA
BC
OC M
为AB 上靠近B 的三等分点，OM 交AC 于
,
D P 为线段BC 上的一个
动点．
（1）用OA
和OC
表示OM
；
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（2）求OD
DM ；
（3）设OB
CA
OP
，求
的取值范围．
题型五利用坐标方程法解决平面向量基本定理问题
例题1．（2022 下·四川德阳·高一德阳五中校考阶段练习）ABC
中，
2
AC
，
2
AB
，
45
A
，P 是ABC
外接圆上一点，AP
AB
AC
，则
的最大值是（
）
A．
2
1
2
B．
2
1
2
C．
3
2
2
D．
3
2
2
例题2．（2022·浙江宁波·统考一模）在ABC
中，
2,
6
CA
CB
，
60
ACB
. 若点O在
ACB
的角平分
线上，满足OC
mOA
nOB
，
,
R
m n
，且
1
1
4
20
n
，则OC
的取值范围是
．
练一练
1．（2022·全国·高一假期作业）已知正方形ABCD的边长为2 ，对角线AC 、BD 相交于点O，动点P 满足
1
OP
，若AP
mAB
nAD
，其中m 、nR ．则2
1
2
2
m
n
的最大值为
．
2．（2022 上·湖北·高三开学考试）如图所示，圆O及其内接正八边形．已知
1
OA
e
，
2
OB
e
，点P 为正八
边形边上任意一点，
1
2
OP
e
e
，、
R
，则
的最大值为
．
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3．（2022·江苏·高考真题）在同一个平面内，向量
,
,
OA OB OC
的模分别为1,1,
2,OA
与OC
的夹角为，且
tan
7, OB
与OC
的夹角为45，若
,
OC
mOA
nOB m n
R
，则m
n
．
题型六自主建系法解决平面向量基本定理问题
例题1．（2024 上·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利
用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知
1,
,
,
AB
BC
CD
AB
BC AC
CD AC
与BD 交于点O，若
DO
AB
AC
，则
（
）
A．
2
1
B．1
2
C．
2
1
D．
2
1
例题2．（2023 下·广东珠海·高一统考期末）在ABC
中，
1
AB ，
2
AC
，
60
BAC
，P 是ABC
的外
接圆上的一点，若AP
mAB
nAC
，则m
n
的最大值是（
）
A．1
B．3
2
C．
1
2
D．
3
例题3．（2023 下·高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD 中，AB
CD
∥
，
90
DAB
，
4
AD
AB
，
1
CD ，动点P 在边BC 上，且满足AP
mAB
nAD
（m，n 均为正数），则1
1
m
n
的最小值为（
）
A．1
B．3
4
C．
3
4
D．7
4 3
4
例题4．（2023 下·广东佛山·高一佛山一中校考阶段练习）如图，点C 在半径为1，圆心角2π
3 的扇形OAB 的
弧
AB 上运动．已知OC
xOA
yOB
，则当
π
6
AOC
时，x
y
；x
y
的最大值为
．
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练一练
1．（2023 上·贵州黔西·高三校考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术
之一，图1 是一个正八边形窗花隔断，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，在正八边形
ABCDEFGH 中，若AE
AD
AG
（，
R
），则
的值为（
）
A．
2
B．2
C．2 2
D．4
2．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，在四边形ABCD 中，
120
DAB
，
30
DAC
，
1
AB ，
3
AC
，
2
AD
，AC
xAB
yAD
，则x
y
（
）
A．2 3
B．2
C．3
D．6
3．
（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形ABCD中，动点E 从点B 出发，经过C ，D ，到达A ，AE
AB
AC
，
则
的取值范围是（
）
A．
1,1
B．
0,1
C．
1,2
D．
0,2
4．（多选）（2023 下·贵州·高一校联考阶段练习）在直角梯形ABCD中，
,
2
AB
AD AB
DC
，E 为AB 中
点，
,
M N 分别为线段DE 的两个三等分点，点P 为线段BD 上任意一点，若
AM
AP
AN
，则
的
值可能是（
）
A．1
B．3
2
C．2
D．5
2
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题型七利用定义法求平面向量数量积
例题1．（2023 下·江苏徐州·高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭
图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2 正八边形
ABCDEFGH 中，点O为正八边形的中心，点P 是其内部任意一点，则OA PA
OF PA
的取值范围是（
）
A．( 2 2,4
2 2)
B．( 4,4
2 2)
C．( 2,4)
D．( 4,4)
例题2．（2023 下·天津·高一天津市蓟州区第一中学校联考期中）如图，在平面四边形ABCD中，AB
BC
，
AD
CD
，
120
BAD
，
1
AB
AD
.若点E 为边CD 上的动点（不与C 、D 重合），则EA EB
的取值
范围为
.
练一练
1．（2023 上·河南南阳·高三统考期末）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出
的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的
答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点
的连线两两成角120；当三角形有一内角大于或等于120时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题
中所求的点称为费马点．已知, ,
a b c 分别是ABC
三个内角
,
,
A B C 的对边，且
2
2
(
)
6
b
a
c
，
cos
sin
2cos
6
A
C
B
，若点P 为ABC
的费马点，则PA PB
PB PC
PA PC
（
）
A．6
B．4
C．3
D．2
2．（2022 下·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）在△ABC 中，
2
4
CA
CB
，F 为△ABC 的外心，
则CF AB
（
）
A．-6
B．-8
C．-9
D．-12
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3．
（2022 下·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）如图在ABC
中，E 为斜边AB 的中点，CD
AB
，
1
AB ，则(
)(
)
CA CD CA CE
的最大值是
．
题型八利用几何意义法求平面向量数量积
例题1．（2023 上·陕西西安·高三校联考阶段练习）窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使
光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边
形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，,
A B 是中间正方形的两个
相邻的顶点，P 是外框正八边形上的一点，则AB AP
的最大值是（
）
A．16
8 2
B．16 2
8
C．8 2
8
D．16 2
16
例题2．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数
2, 3, 5,…的
图形，已知P 是平面四边形ABCD内一点，则CB CP
的取值范围是（
）
A．
2 , 2
2
B．
1,
2
C．
2 ,1
2
D．
2 ,1
2
例题3．（2022·浙江·模拟预测）已如平面向量
2
3
4
5
6
1,
,
,
,
,
a a a a a a
两两都不共线.若
1
i
i+1
i
i+1
i
i+1
3
1,
|
| |
(i
{1,2,3
,5
|
,4 })
2
a
a
a
a a
a
a
，则
1
2
3
4
5
6
a
a
a
a
a
a
的最大值是
.
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练一练
1．（2023 下·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）在边长为2 的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、
圆心在线段CD（含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB
的取值范围是（
）
A．[2,8].
B．[4,8]
C．[2,10]
D．[4,10]
2．（多选）（2023 下·安徽·高三校联考开学考试）已知正六边形ABCDEF 的边长为1，P 为正六边形边上
的动点，则AD BP
的值可能为（
）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
3．（2023 下·上海虹口·高一上外附中校考期中）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，点P 为其内部或边界
上一点，则AD BP
的取值范围是
．
题型九极化恒等式法求平面向量数量积
例题1．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知A
P
Q
、、
是半径为2 的圆上的三个动点，
弦PQ所对的圆心角为120，则AP AQ
的最大值为（
）
A．6
B．3
C．
6
D．
3
例题2．（2023 上·天津蓟州·高三天津市蓟州区第一中学校考阶段练习）如图，已知直角三角形△ABC 中，
90
A
，
2
AB
，
4
AC
，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，若BC 与圆的切点为M ，则
CA CM
，则PB PC
的取值范围为
.
练一练
1．（2023 上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边
2 2
AC
，M
为线段AB 上的动点（包含端点），D 为AC 的中点．将线段AC 绕着点D 旋转得到线段EF ，则ME MF
的
最小值为（
）
A．2
B．
3
2
C．1
D．
1
2
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2．（2023 上·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，动点E 在正
方体内切球的球面上，则EA EB
的取值范围是
.
题型十自主建系法求平面向量数量积
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知圆O的半径为1，A ，B ，C ，D 为圆O上四点，且|
|
|
|
1
AB
CD
，则
AC AD
BC BD
的最大值为（
）
A．3
B．2 3
C．6
D．4 3
例题2．（2024 上·北京大兴·高三统考期末）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1 的圆O，外框是
以为O中心，边长为2 的正六边形ABCDEF ，则O到线段AC 的距离为
；若P 是圆O上的动点，
则AC AP
的取值范围是
.
例题3．（2023 上·天津河西·高三校考期末）在四边形ABCD中，
60
B
，
3
AB ，
6
BC
，且AD
BC
，
3
2
AD AB
，则实数的值为
，若M 是线段BC 上的动点，N 是线段DC 上的动点，且满足
BM
DN
BC
DC
，则DM DN
的最小值为
.
例题4．
（2022 下·天津·高一校联考期末）在ABC
中，
3
AB
AC
，2
3
AD
BD
，2CF
AD
，
51
4
AF CD
，
则BC
，延长DF 交AC 于点E ，点P 在边BC 上，则DP EP
的最小值为
.
练一练
1．（2024 上·天津南开·高三统考期末）在ABC
中，
1,
2,
90
AC
BC
C
，则CA
CB
；
若P 为ABC
所在平面内的动点，且
3
3
PC
，则PA PB
的取值范围是
.
2．（2023 下·辽宁·高一校联考期中）若点P 为ABC
所在平面内一点，且
120
APB
BPC
CPA
，
则点P 叫做ABC
的费马点．当三角形的最大角小于120时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的
距离之和最小的点”，即PA
PB
PC
最小．已知点O 是边长为2 的正ABC
的费马点，D 为BC 的中点，
E 为BO 的中点，则AC DE
的值为
．
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3．
（2022下·河南·高三校联考阶段练习）在△ABC 中，
4
AB
，
1
AC ，P 为边AB 上一点，1
2
2 3
2 AB
AC
，
则
BAC
；PB PC
的最小值为
.
4．（2022 下·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）如图，在ABC
中
2
5
AD
AB
，点E 为AC 中点，点F
为BC 的三等分点，且靠近点C ，设CB
a
，CA
b
，
60
ACB
，
2
AC
，且CD
EF
，CD 与EF 交于
点N .
(1)求CD
；
(2)若点M 为线段EF 上的任意一点，连接
,
CM DM ，求CM MD
的取值范围.
题型十一向量夹角
例题1．（2022 上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若平面向量a，b
，c满足
1
c
，
1
a c
，
3
b c
，
2
a b
× =
，则a，b
夹角的取值范围是（
）
A．π π
,
6 2
B．
π ,π
6
C．π π
,
3 2
D．
π ,π
3
例题2．（2023 下·四川绵阳·高一统考期末）在矩形ABCD中，点F 为BC 的三等分点（靠近点C ），点E 在
CD 边上，ABE
为等边三角形，且
2
6
AB BE
BE AE
.
(1)求AB
；
(2)求cos
,
AB AF
的值.
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例题3．（2023 下·江苏扬州·高一统考期中）已知OAB
的两个顶点分别为原点O和
4,3
A
，且
90
AOB
，
OB
OA
．
(1)求点B 的坐标；
(2)若点B 落在第二象限，
1,2
OM
，点P 是直线OM 上的一个动点，当PA PB
取最小值时，求OP
的坐标，
并求cos
APB
的值．
例题4．（2023 下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）已知函数
sin
0
0
f
x
A
x
A
，
，
的图象如图所示，点B
D
F
，，
为
f
x 与x 轴的交点，点C
E
，
分别为
f
x 的最高点和最低点，而函数
f
x 的相邻两条对称轴之间的距离为2 ，且其在
1
2
x
处取得最小
值.
(1)求参数和的值；
(2)若
1
A ，求向量2BC
CD
与向量
3
BC
CD
夹角的余弦值；
(3)若点P 为
f
x 函数图象上的动点，当点P 在C
E
，
之间运动时，求BP BF
的取值范围.
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练一练
1．（2023 下·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）如图，在四边形OBCD 中，
2
OB
DC
，
2
OA
AD
，
OB
OD
，且
1
AD
CD
.
(1)用OA
，OB
表示BC
；
(2)点P 在线段AC 上，且
2
AC
AP
.求BC
与BP
夹角的余弦值.
2．（2023 下·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，AD
BC
∥
，
π
2
BAD
，
π
3
BDA
，
=
=2
BC BD
.
(1)求AE BD
的值；
(2)求AC
与BD
夹角的余弦值.
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3．（2023 下·高一单元测试）已知平面直角坐标系xOy 中两点
2, 1 ,
4,3
A
B
．
(1)若点P 满足
3
AP
PB
，求OP
；
(2)求向量OA
和OB
夹角的余弦值；
(3)在x 轴上求一点M，使得MA MB
取得最小值，并求出该最小值．
4．（2023 下·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）如图，在梯形ABCD 中，AB
CD
，AB＝5，AD＝
2DC＝4，且
0
AC BD
，E 是线段AB 上一点，且AE＝4EB，F 为线段BC 上一动点.
(1)求∠DAB 的大小；
(2)若F 为线段BC 的中点，直线AF 与DE 相交于点M，求cos
EMF
.
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题型十二转化法求平面向量的模
例题1．（2022 下·辽宁葫芦岛·高一统考期末）如图，在等腰ABC
中，已知
2
AB
AC
，
120
A
，E，
F 分别是边AB，AC 上的点，且AE
AB
，AF
AC
，其中，
R
，且
2
1
，若线段EF，BC
的中点分别为M，N，则MN
的最小值是（
）
A．
7
7
B．
21
7
C．
21
14
D．
21
例题2．（2023 下·江苏常州·高一统考期末）已知向量a，b
夹角为π
3 ，
2
b
，若对任意xR ，恒有
1
2
b
xa
b
a
，则函数
1
R
2
f t
tb
a
tb
a t
的最小值为
.
例题3．（2022 下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）在ABC
中，角A，B，C 的对边分别是a，
b，c，O 为ABC
外心，若
2
a
，3A
B
C
，则
2
3
OA
OB
OC
的范围是
．
例题4．（2022 下·浙江台州·高一校联考期中）在直角梯形ABCD中，已知AB
DC
，AD
AB
，
1
CD ，
2
AD
，
3
AB ，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且BE
BC
，
1
DF
DC
，
R
．
(1)当
0
AE BC
时，求的值；
(2)当
2
3
时，求DM
MB 的值；
(3)求
1
2
AF
AE
的取值范围．
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练一练
1．（2022 上·广东汕头·高二统考期末）已知平面向量,
a b
，且|
| |
| 2,
2
a
b
a b
，向量c
满足
1
|
|
|
|
2
c
a
b
a
b ，则|
| (
)
c
λb
λ
R
的最小值为（
）
A．
2
1
B．3 1
C．
3
D．
3
1
2．（2023 下·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）已知向量,a b
满足
3,
2
a
b
，则a
b
a
b
的最小值是
，最大值是
．
3．（2023 下·辽宁朝阳·高一朝阳市第一高级中学校考期中）已知
6
OA
，
3
OE
，若对
R
t
，恒有
OA
tOE
AE
，且点M 满足
2
1
3
3
OM
OE
OA
，N 为OA 的中点，则MN
．
4．（2022 下·上海黄浦·高一格致中学校考期中）如图，梯形ABCD，
2
DA
，
π
3
CDA
，
2
DA
CB ，E
为AB 中点，
(
0)
DP
DC
．
(1)当
1
3
时，用向量
,
DC DA
表示的向量PE
；
(2)若|
|
(
DC
t t 为大于零的常数），求|
|
PE 的最小值，并指出相应的实数的值．
题型十三坐标法求平面向量的模
例题1．（2023·四川雅安·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E 为BC 的中点，F 为CD 边上一点，
若
2
|
|
AF AE
AE
，则AF （
）
A．17
B．2 5
C．2 6
D．5
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例题2．（2023 下·广西南宁·高一校考期中）在OAB
中，已知
2
OB
，
1
BA
，
45
AOB
，点P 满足
OP
OA
OB
（,
R
），其中2
3
，则OP
的最小值为（
）
A．3 5
5
B．2 5
5
C．
6
3
D．
6
2
例题3．（2023 下·江苏淮安·高一统考期中）已知在直角梯形ABCD 中，
2
2
AB
AD
CD
，
π
2
ADC
，
若点M 在线段AC 上．
(1)若
1
3
AM
AC
，求MB MC
；
(2)求|
|
MB
MD
的取值范围．
练一练
1．（2022 上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）已知OAB
是边长为1的正三角形，若点P 满足
(2
)
(
R)
OP
t OA
tOB t
，则| 2
|
AP
的最小值为（
）
A．
3
B．1
C．
3
2
D．
3
4
2．（2023·全国·高三专题练习）等腰直角ABC
的斜边AB 的端点分别在x，y 的正半轴上移动（C 点不与原
点O 重合），
2
AB
，若点D 为AB 中点，则|
2
|
OC
OD
的取值范围是
.
3．（2023 下·江苏南京·高一统考期中）如图，在平面四边形ABCD中，
90
BAD
BCD
，
2
AC
，
45
BAC
，则
2
CB
CD
的最小值为
．
4．（2022 上·辽宁锦州·高一校联考期末）平面直角坐标系中
1,1
A
，
0, 1
B
，O为坐标原点.
(1)令
,
a
OA b
OB
，若向量|
5
ta
b
|=
，求实数t 的值；
(2)若点
,
3
C
x
x
，求
2
OC
OA
的最小值．
题型十四奔驰定理
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例题1．（2023 下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：
已知O 是△ABC 内的一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为
A
S 、B
S 、C
S ，则有
0
A
B
C
S OA
S OB
S OC
，
设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（
）
A．若
0
OA
OB
OC
，则O 为△ABC 的重心
B．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
1: 2:3
A
B
C
S
S
S
C．则O 为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则tan
tan
tan
0
BAC OA
ABC OB
ACB OC
D．若
2
OA
OB
，
5π
6
AOB
，2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9
2
ABC
S
例题2．（多选）（2023 上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰
的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着
神秘的关联.它的具体内容是：已知M 是ABC
内一点，
,
,
BMC
AMC
AMB
△
△
△
的面积分别为
,
,
A
B
C
S
S
S ，
且
0
A
B
C
S
MA
S
MB
S
MC
.以下命题正确的有（
）
A．若
:
:
1:1:1
A
B
C
S
S
S
，则M 为AMC
的重心
B．若M 为ABC
的内心，则
0
BC MA
AC MB
AB MC
C．若
45 ,
60
BAC
ABC
，M 为ABC
的外心，则
:
:
3 : 2:1
A
B
C
S
S
S
D．若M 为ABC
的垂心，3
4
5
0
MA
MB
MC
，则
6
cos
6
AMB
例题3．（多选）（2023 下·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
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结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：
已知O 是ABC
内的一点，BOC
，AOC
，AOB
的面积分别为
A
S 、B
S 、C
S ，则有
0
A
B
C
S OA
S OB
S OC
，
设O 是锐角ABC
内的一点，
BAC
，
ABC
，
ACB
分别是ABC
的三个内角，以下命题正确的是（
）．
A．若
0
OA
OB
OC
，则O 为ABC
的重心
B．若
2
3
0
OA
OB
OC
，则
:
:
1: 2:3
A
B
C
S
S
S
C．若O 为ABC
（不为直角三角形）的垂心，则tan
tan
tan
0
BAC OA
ABC OB
ACB OC
D．若
2
OA
OB
，
5π
6
AOB
，2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9
2
ABC
S
练一练
1．（多选）（2023 上·河北保定·高三校联考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因
为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是
ABC
内一点，BOC
，AOC
，AOB
的面积分别为
A
S ，
B
S ，
C
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
．设O
是ABC
内一点，ABC
的三个内角分别为A ，B ，C ，BOC
，AOC
，AOB
的面积分别为
A
S ，
B
S ，
C
S ，
若3
4
5
0
OA
OB
OC
，则以下命题正确的有（
）
A．
:
:
3: 4:5
A
B
C
S
S
S
B．O有可能是ABC
的重心
C．若O为ABC
的外心，则sin
: sin
: sin
3: 4 : 5
A
B
C
D．若O为ABC
的内心，则ABC
为直角三角形
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）O 是锐角三角形ABC 内的一点，A，B，C 是ABC
的三个内角，
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且点O 满足OA OB
OB OC
OA OC
.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（
）
A．O 为ABC
的外心
B．
π
BOC
A
C．
:
:
cos
:cos
:cos
OA
OB
OC
A
B
C
D．tan
tan
tan
0
A OA
B OB
C OC
3．（多选）（2023 下·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常
优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定
理”.奔驰定理：已知O是ABC
内一点，BOC
，AOC
，AOB
的面积分别为
,
,
A
B
C
S
S
S ，则
0
A
B
C
S
OA
S
OB
S
OC
，O是ABC
内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是ABC
的三个内角，
以下命题正确
．．的有（
）
A．若2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
4
:
:
:3: 2
A
B
C
S
S
S
B．若
2
OA
OB
，
2
3
AOB
，且2
3
4
0
OA
OB
OC
，则
9 3
4
ABC
S
△
C．若OA OB
OB OC
OC OA
，则O为ABC
的垂心
D．若O为ABC
的内心，且5
12
13
0
OA
OB
OC
，则
π
2
ACB
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一、单选题
1．（2023 上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的
传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4 的正
六边形ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为2，点P 在圆O上运动，则PE OF
的最小值为（
）
A．-8
B．-4
C．0
D．4
2．（2023 上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）如图，ABC
是由三个全等的钝角三角形和
一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若
4
AD
，
2
BD
，点M 为线段CE 上的动点，则
AM
BC
MD
的最大值为（
）
A．16
9
B．21
4
C．6
D．10
3．（2023 上·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知
O
的半径为1，直线PA 与
O
相切于点A ，直
线PB 与
O
交于B
C
，
两点，D 为BC 的中点，若
2
PO
，则PA PD
的最大值为（
）
A．1
2
2
+
B．1
2 2
2
C．1
D．2
2
4．（2023 上·浙江杭州·高二杭十四中校考期中）已知平面向量a
，b
，c
满足
4
b
，
2
a
b
，c
a
b
且
2
1
，若对每一个确定的向量a
，记c
的最小值为m ，则当a
变化时，m 的最大值为（
）
A．1
B．2
3
C．
1
2
D．1
4
5．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知ABC
中，
2 2
AB
AC
，
min
2
R
AB
BC
，
1
2
AM
MB
，
2
2
sin
cos
AP
AB
AC
，
π π
,
6 3
，则MP
的取值范围为（
）
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A．4 2 4 5
,
3
3
B．4 4 5
,
3
3
C．
17
41
,
3
3
D．4
41
,
3
3
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边
2
AC
，M 为线段AB 上的动点（包
含端点），D 为AC 的中点．将线段AC 绕着点D 旋转得到线段EF ，则ME MF
的最小值为（
）
A．2
B．
3
2
C．1
D．
1
2
7．（2023 下·北京怀柔·高一统考期末）在
t ABC
R
中，
90 ,
2,
4
A
AB
AC
，D 为BC 的中点，点P 在
ABC
斜边BC 的中线AD 上，则PB PC
的取值范围为（
）
A．
5,0
B．
3,0
C．
0,3
D．
0,5
8．（2023 下·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）已知单位向量
1e
，
2e
的夹角为60°，向
量
1
2
e
e
a
x
y
，且1
3
x
，1
2
y
，设向量a
与
1e
的夹角为，则cos的最大值为（
）.
A．
6
4
B．
6
3
C．2 13
13
D．7 13
26
9．（2023·新疆·校联考二模）已知平面向量a，b
，c，满足
2
a
，
2 3
a
b
，若对于任意实数x，都
有b
xa
b
a
成立，且
1
c
a
，则b c
的最大值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
10．（2023 下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）如图，ABC
中，
4
C
，
2
AC
，
6
2
BC
.
在ABC
所在的平面内，有一个边长为1 的正方形ADEF 绕点A 按逆时针方向旋转（不少于1 周），则AE BD
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的取值范围是（
）
A．
3,5
B．
4,6
C．
5,9
D．
3,4
11．（2023 下·湖北襄阳·高一宜城市第一中学校联考期中）已知四边形ABCD中，
,
1,
3
2
BD
AC
BD AB
BC
AC
CD
，点E 在四边形ABCD的边上运动，则EB ED
的最小值是（
）
A．3
4
B．
1
4
C．
3
4
D．-1
12．（2023 下·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
点
,
, ,
O G P Q分别为ABC
所在平面内一点，且有
2
2
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA
BC
OB
CA
OC
AB
，
0
GA
GB
GC
，
0
PA
PB
AB
PB
PC
BC
PC
PA CA
，
0
aQA
bQB
cQC
，则点
,
, ,
O G P Q分别为ABC
的（
）
A．垂心，重心，外心，内心
B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心
D．外心，垂心，重心，内心
13．（2023 上·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知ABC
是面积为3 3的等边三角形，四边形
MNPQ 是面积为2 的正方形，其各顶点均位于ABC
的内部及三边上，且可在ABC
内任意旋转，则BP CQ
的最大值为（
）
A．
9
2
B．3
2
C．6
2
2
D．
6
2
2
二、多选题
14．（2023 上·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知圆的半径为1，PA 与圆O 相切，切点为A，
过点P 的直线与圆交于B，C 两点，D 为BC 的中点，
2
OP
，则PA PD
的可能取值为（
）
A．1
2
2
2
B．
2
2
C．
1
2
D．
2
1
2
15．（2023 下·福建泉州·高一校考期中）如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC ，AD 的延长线交于点E ，
对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若BC
CE
，ED
DA
，
3
AB
BF
,
0
，则（
）
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A．
1
1
4
4
EB
EF
EA
B．
1
4
C．1
1
的最大值为1
D．
4
9
EC AD
EB EA
16．（2023 下·湖北·高一统考期末）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一
条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已
知ABC
的外心为O，重心为G ，垂心为H ，且
6
AB
，
4
AC
，以下结论正确的是（
）
A．
20
3
AG BC
B．
10
AO BC
C．OH
OA
OB
OC
D．若
2 7
BC
，则
14
3
OB OC
三、填空题
17．（2023 上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国
古老的传统民间艺术之一，图1 是一个正八边形窗花隔断，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.
如图2，若正八边形ABCDEFGH 边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点，则AP BC
的取值
范围是
.
18．（2023 上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对
称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣.如图，在菱形ABCD中，
120 ,
2
ABC
AB
，以菱形ABCD
的四条边为直径向外作四个半圆，P 是这四个半圆弧上的一动点，若DP
DA
DC
，则
的最大值
为
.
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19．（2023 上·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）等边ABC
的面积为9 3 ，且ABC
的内心为M ，若
平面内的点N 满足
1
MN ，则NA NB
的最小值为
．
20．（2023 上·江苏常州·高二常州高级中学校考开学考试）已知点P 在ABC
所在的平面内，则下列4 个结
论中正确的有
.
①若P 为ABC
的外心，
3
AB ，
5
AC
，则
8
PA BC
；
②若ABC
为边长为2 的正三角形，则
PA
PB
PC
的最小值为1
；
③若ABC
为锐角三角形且外心为P ，AP
xAB
yAC
且
3
1
x
y
，则AB
BC
；
④若
c
0
1
1
2
2
os
cos
AP
AB
AC
AB
B
AC
C
，则动点P 的轨迹经过ABC
的外心.
21．（2023 下·四川凉山·高一统考期末）在ABC
中，G 为ABC
的重心，
9 3
ABC
S
，
1
cos
2
BAC
，则
GB GC
的最大值为
.
22．（2023 下·广东深圳·高一统考期末）四边形ABCD中，点
,
E F 分别是
,
AB CD 的中点，
2
AB
，
2 2
CD
，
1
EF ，点P 满足
0
PA PB
，则PC PD
的最大值为
.
23．（2023 下·江苏苏州·高一统考期中）如图，ABC
中，
8
AB
，
7
AC
，
5
BC
，G 为ABC
重心，P
为线段BG 上一点，则PA PC
的最大值为
，若M 、N 分别是边BC 、BA 的中点，则PA MN
的
取值范围是
．
24．（2023 下·江西抚州·高一校联考期中）如图，在菱形ABCD中，
4
BC
，
60
ABC
，以BC 为直径
的半圆与AB 交于点M，P 是半圆上的动点﹐则BM BD
；BP BD
的最大值是
.
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