专题02 解三角形压轴题
知识点1：余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
倍.
②符号语言：在ABC
中，内角
, ,
A B C ，所对的边分别是, ,
a b c ,则：
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
；
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
（2）余弦定理的推论
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
；
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
；
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
知识点2：正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在ABC
中，若角A、B 及C 所对边的边长分别为a ，b 及c ，则有sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在ABC
中，若角A、B 及C 所对边的边长分别为a ，b 及c ，其外接圆半径为R ，则
①
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
②sin
sin
a
B
b
A
；sin
sin
b
C
c
B
；sin
sin
a
C
c
A
；
③sin
:sin
:sin
: :
A
B
C
a b c
④
2
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
a
b
c
a
b
c
a
b
a
c
b
c
R
A
B
C
A
B
C
A
B
A
C
B
C
⑤④
2 sin
a
R
A
，
2 sin
b
R
B
，
2 sin
c
R
C
（可实现边到角的转化）
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⑥sin
2
a
A
R
，sin
2
b
B
R
，sin
2
c
C
R
（可实现角到边的转化）
知识点3：解决几何问题的常见公式
三角形面积的计算公式：
①
1
2
S
底高；
②
1
1
1
=
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
ac
B
bc
A
；
③
1 (
)
2
S
a
b
c r
（其中，, ,
a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）；
④
4
abc
S
R
(其中，, ,
a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径).
题型一三角形形状问题
例题1．（2022 下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知ABC
的三条边, ,
a b c 和与之对应的三个
角
,
,
A B C 满足等式cos
cos
cos
cos
cos
cos
a
B
b
C
c
A
b
A
c
B
a
C
则此三角形的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
例题2．（多选）（2022 下·浙江杭州·高一杭十四中统考期末）在ABC
中，, ,
a b c 分别为
,
,
A
B
C
的对
边，（
）
A．若sin
sin
a
b
B
A
，则ABC
为等腰三角形
B．若cos
cos
a
b
B
A
，则ABC
为等腰三角形
C．若
sin
cos
a
b
C
c
B
，则
π
4
C
D．若tan
tan
tan
0
A
B
C
，则ABC
为钝角三角形
例题3．（2023 下·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）对于三角形ABC 形状的判断，以
下说法正确的有：
①若
cos
cos
a
B
b
A
，则ABC
为等腰三角形；
②若AB BC
BC CA
CA AB
，则ABC
为等边三角形．
③sin
cos
A
B
，则ABC
为直角三角形．
④若ABC
平面内有一点O满足：
0
OA
OB
OC
，且OA
OB
OC
，则ABC
为等边三角形
⑤若
2
2
2
sin
sin
cos
1
A
B
C
，则ABC
为钝角三角形．
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练一练
1．（2022 下·四川雅安·高一雅安中学阶段练习）在△ABC 中，
2
2
2
2
sin(
)
sin(
)
a
b
A
B
a
b
A
B
，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2．（多选）（2023 下·海南·高一统考期末）在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列
说法正确的是（
）
A．若
2π
3
A
，
3
a
，AB 边上的高为3
2 ，则ABC
为等腰三角形
B．若
3
a
，
1
b ，
π
6
B
，则ABC
为直角三角形
C．若
2
A
C
，sin
2sin
B
C
，则ABC
为直角三角形
D．若tan
tan
tan
0
A
B
C
，则ABC
为锐角三角形
3．（2022 上·山东青岛·高三统考期中）已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，给出以下命题：
①若tan
tan
tan
0
A
B
C
，则ABC
为锐角三角形；
②若cos
cos
a
A
b
B
，则ABC
为等腰三角形；
③若cos
cos
b
C
c
B
b
，则ABC
为等腰三角形；
④若cos
cos
cos
a
b
c
A
B
C
，则ABC
为等边三角形.
以上命题中，所有真命题的序号为
．
题型二三角形四心
例题1．（2022 上·安徽蚌埠·高一蚌埠二中校考开学考试）三角形的四心是指三角形的重心､外心､内心､垂
心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三
条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的
重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形
的时候，重心､垂心､内心､外心四心合一，称作正三角形的中心.如图，H 是ABC
的垂心，
,
,
AH BH CH 分
别交
,
,
BC AC AB 于
,
,
D E F ，则H 是DEF
的（
）
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A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
例题2．（多选）（2023 下·山东·高一校联考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是
平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它
的具体内容是：已知M 是ABC
内一点，
BMC
△
，AMC
，AMB
的面积分别为
A
S ，
B
S ，
C
S ，且
0
A
B
c
S
MA
S
MB
S
MC
．以下命题正确的有（
）
A．若
:
:
1:1:1
A
B
C
S
S
S
，则M 为ABC
的重心
B．若M 为ABC
的内心，则
0
BC MA
AC MB
AB MC
C．若
45
BAC
，
60
ABC
，M 为ABC
的外心，则
:
:
3 : 2:1
A
B
C
S
S
S
D．若M 为ABC
的垂心，3
4
5
0
MA
MB
MC
，则
6
cos
6
AMB
例题3．
（2021·全国·高三专题练习）已知O，N，P 在ABC
所在平面内，且OA
OB
OC
，
0
NA
NB
NC
，
且PA PB
PB PC
PC PA
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur ，则点O，N，P 依次是ABC
的
（填三角形的四心）
练一练
1．（2023 上·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）已知O是三角形ABC 所在平面内一定点，
动点P 满足
sin
sin
AB
AC
OP
OA
AB
B
AC
C
0
，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的（
）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
2．（2023·吉林·统考一模）在直角三角形ABC 中，
90
A
，ABC
的重心、外心、垂心、内心分别为
1
G ，
2
G ，
3
G ，
4
G ，若
i
i
i
AG
AB
AC
（其中
1,2,3,4
i
），当
i
i
取最大值时，i （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2023 下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O 是△ABC 所在平面上一定点，H，N，Q 在
△ABC 所在平面内，动点P 满足
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
0,
，则直线AP 一定经过ABC
的____
心，点H 满足HA
HB
HC
，则H 是ABC
的____心，点N 满足
0
NA
NB
NC
，则N 是ABC
的____
心，点Q 满足
·
·
·
QAQB
QB QC
QC QA
，则Q 是ABC
的____心，下列选项正确的是（
）
A．外心，内心，重心，垂心
B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心
D．外心，重心，垂心，内心
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题型三利用基本不等式求范围问题
例题1．（2023 下·浙江·高一路桥中学校联考期中）若O 是ABC
的外心，且
2
2
2
2
2
5
2
AC
AB
AB AO
AC AO
AO
AB
AC
，则sin
2sin
B
C
的最大值是（
）
A．
2
3
2
B．
3
2
2
C．5
2
D．2
2
例题2．（2023 上·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考开学考试）在ABC
中，已知
1
2
3
3
BA BC
CA CB
AC AB
，则tanB 的最大值为
．
例题3．（2023 下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）在ABC
中，D 是BC 边上一点，且
π
1
,
6
2
AD
B
BD
，若D 是BC 的中点，则AC
AB
；若
4 3
AC
，则
ADC
△
的周长的最大值
为
.
例题4．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）在ABC
中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，CD 为AB
边上的高，设CD
h
，且a
b
c
h
.
(1)若
3
c
h
，求tanC 的值；
(2)求sinC 的取值范围.
练一练
1．（2023 上·重庆·高三校联考阶段练习）在ABC
中，角
, ,
A B C 的对边分别为a ，b ，c ，满足
2
a
b
，
2
2
9sin
cos
1
A
B
C
，则
2
2
3a
c
，ABC
的面积最大值为
．
2．（2023 上·广东肇庆·高三统考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，
3π
4
BAD
，
2 2
AB
，
1
AD ，
AD
CD
.
(1)若
4
3
CD
，求BC ；
(2)求tan
ACB
的最大值.
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3．（2023 下·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
2
b
ac
，
4
b
，
4 3
ABC
S
.
(1)求B 及a，c；
(2)若线段MN 长为3，其端点分别落在边AB 和AC 上，求△AMN 内切圆半径的最大值.
4．（2023 下·山西大同·高一统考期中）在ABC
中，角
,
,
A B C 所对的边分别为, , ,
2
a b c a
b
c
．
(1)求C 的最大值；
(2)求tan
tan
tan
tan
C
C
A
B
的取值范围．
题型四三角形周长（边长代数和）最值，范围问题
例题1．（2023 上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）在锐角ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，
b ，c ，记ABC
的面积为S，若
2
2
(
)sin
2
b
a
B
S
，则b
c
a
取值范围是（
）
A．(1,5)
B．( 2
1,5)
C．(1, 3
2)
D．( 2
1, 3
2)
例题2．（2023 下·江苏徐州·高一统考期末）在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
已知cos
cos
a
B
b
A
b
，则
b
a
c
的取值范围是（
）
A．
3
2
,
3
2
B．
2
3,1
C．
2
3, 2
1
D．
2
1, 3
2
例题3．（2022 上·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）1643 年法国数学家费马曾提出了一个著名的
几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当
三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两
两成角120°），该点称为费马点.已知ABC
中，其中
60
A
，
2
BC
，P 为费马点，则PB
PC
PA
的
取值范围是
.
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例题4．
（2023 下·江苏连云港·高一统考期中）已知ABC
中，点D 是线段AC 上一点，
3
AC
AD
，且①
4
AB
，
②
13
BC
，③
13
BD
，④
π
3
A
.
(1)求AC 的长；
(2) E 为边AB 上的一点，若
ADE
为锐角三角形，求
ADE
的周长取值范围.
上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答
案存在且唯一.
你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程.
例题5．（2022 下·江苏无锡·高一统考期末）ABC
中，已知
1
AB ，
7
BC
，D 为AC 上一点，
2
AD
DC
，
AB
BD
.
(1)求BD 的长度；
(2)若点P 为
ABD
△
外接圆上任意一点，求
2
PB
PD 的最大值.
练一练
1．（2023 下·福建福州·高一福州黎明中学校考期中）设锐角ABC
的三个内角A、B、C 的对边分别为a、b、
c，且
1,
2
c
A
C
，则ABC
周长的取值范围为（
）
A．(3,2
2]
B．(3,3
3]
C．(2
2,3
3)
D．(2
2,3
3]
2．（2023 下·江西·高三校联考阶段练习）记锐角三角形ABC 的内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
2 cos
c
b
a
B
，则
2
3
2
8
a c
b
a b
的取值范围为
.
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3．（2023 下·江苏苏州·高一校考阶段练习）在ABC
中，内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
2,
c
BAC
的
角平分线AD 交BC 于点D．
(1)若
1,
60
b
BAC
，求AD 的长度；
(2)若ABC
为锐角三角形，且2
tan
1
,
tan
a
C
ABC
b
B
的角平分线BE 交AC 于点E，且与AD 交于点O，求AOB
周长的取值范围．
4．（2023 下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，
c，且满足
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
．
(1)求角A；
(2)若
3
a
，求ABC
周长的最大值；
(3)求
2
bc
ab
ac
a
的取值范围．
5．（2023 下·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）在锐角ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，
c，sin
tan cos
2 sin
b
A
a
A
B
a
C
.
(1)求A；
(2)若D 为BC 延长线上一点，且
π
4
CAD
，求BC
CD 的取值范围.
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题型五三角形面积最值，范围问题
例题1．（2022 上·甘肃兰州·高三兰州市第二中学校考阶段练习）在ABC
中，内角A，B，C 所对应的边分
别是a，b，c，a＝4，3 cos
cos
cos
b
A
a
C
c
A
，点D 在线段BC 上，2BD
DC
，过点D 作DE
AB
，DF
AC
，
垂足分别是E，F，则DEF
面积的最大值是
.
.
例题2．
（2023 上·重庆·高二校联考开学考试）如图，在等边ABC
中，
2
AB
，点
,
,
D E F 分别在边
,
,
AB BC CA
上，且
0
1
AD
k AB
k
，
,
DE
DF
AFD
，
(1)用,k 表示
,
DE DF ;
(2)若DEF
为等腰直角三角形，求k 的取值范围；
(3)若
1
DE ，求DEF
的面积的最小值
例题3．（2023 下·重庆·高一西南大学附中校考期中）如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专
门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看
作函数
sin
0,
0,0
π
y
A
x
A
，
4,0
x
的图象，图象的最高点坐标为
1,2
C
.第二部分
是长为1 千米的直线段DE，
//
DE x 轴.跑道的最后一部分是以O 为圆心的一段圆弧
EF .
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(1)若新校门位于图中的B 点，其离AF 的距离为1 千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O 点的万象楼，
求该学生走过的路BO 的长；
(2)若点P 在弧
EF 上，点M 和点N 分别在线段OF 和线段OE 上，若平行四边形OMPN 区域为学生的休息区
域，记
POF
，请写出学生的休息区域OMPN 的面积S 关于的函数关系式，并求当为何值时，S取
得最大值.
例题4．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
2
2
2
sin
sin
sin
1
sin
sin
A
A
C
C
B
，A
C
¹
.
(1)求
1
cos
a
C
b
的取值范围；
(2)若
2
a
，求三角形ABC 面积的取值范围.
例题5．（2022 下·广东·高一校联考期末）如图，某公园改建一个三角形池塘，
90
C
∠
，
2
AB
百米，
1
BC
百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
(1)若在△ABC 内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，
且
2
3
CPB
，求连廊AP
PC
PB
的长（单位为百米）；
(2)若分别在AB，BC，CA 上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游
客观赏：方案二如图②，使得△DEF 为正三角形，设
2
S 为图②中△DEF 的面积，求
2
S 的最小值；方案三
如图③，使得DE 平行于AB，且EF 垂直于DE，设
3
S 为图③中△DEF 的面积，求
3
S 的取值范围.
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练一练
1．
（2022 下·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）某园区有一块三角形空地（如图ABC
），其中
20m
AB
，
40m
AC
，
2
ABC
，现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在
的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在
空地的三条边界上（如图DEF
），则水池面积的最小值为
2
m ．
2．（2023 下·山东德州·高一统考期末）从①
3 sin
1
cos
b
A
a
B
；②
2
sin
3 cos cos
3 cos
a
B
b
B
C
c
B
；
③
tan
2
1
tan
B
a
C
c
；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角ABC
中，, ,
a b c 分别是角
,
,
A B C 的对边，
若________________．
(1)求角B 的大小；
(2)求sin
sin
A
C
取值范围；
(3)当sin
sin
A
C
取得最大值时，在ABC
所在平面内取一点D（D 与B 在AC 两侧），使得线段
2,
1
DC
DA
，
求
BCD
△
面积的最大值．
（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）
3．（2023 下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在ABC
中，角
,
,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
2
2
2
2
a
b
c
.
(1)求C 的最大值；
(2)若
2
c
，
7
4
a
b
c
，求ABC
面积的最大值.
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4．（2022 上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）如图，直线1
2
l
l
∥，点A 是1l ，2l 之间的一个定
点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，AE
m
，AF
n
（m ，n 为常数），点B ，C 分别为1l ，2l 上的动点，
已知
3
BAC
.设
ACF
（
π
0
3
），ABC
的面积为
S .
(1)若
π
4
，求梯形EFCB的面积；
(2)写出
S 的解析式；
(3)求
S 的最小值.
5．（2022 下·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）已知ABC
中，角A 、B 、C 所对的边分
别是a 、b 、c ，
2
2
a
b
bc
，且sin
tan
cos
1
C
B
C
．
(1)求角A ．
(2)
1
b ，P 为ABC
所在平面内一点，且满足
0
AP CP
，求BP 的取值范围，并求当BP 取得最大值时四
边形ABCP 的面积S．( , , ,
A B C P 四点按逆时针排列)．
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题型六解三角形实际问题
例题1．（2023 上·山东青岛·高三统考开学考试）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人
类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，
D ，测得
8
CD
海里，
135
ADB
，
BDC
15
DCA
，
120
ACB
，则A ，B 两点的距离为
海里.
例题2．（2023 下·云南·高一校联考阶段练习）为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三
方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了
老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从A 处出发，前往B ，
C ，D 三个地点送餐.已知
300m
AB
，
200m
AD
，
100m
CD
，且AB
CD
∥
，
60
BAD
.
(1)求AC 的长度.
(2)假设AB ，BC ，CD ，AD 均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以250m / min 的速度匀速行
驶，每到一个地点，需要2 分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马
路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.
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例题3．（2023 上·河南·高二校联考期中）周口市广播电视塔位于周口市区七一路和周口大道交叉口处，该
塔有效地解决了周口市广播电视无线信号覆盖范围小、信号质量差的问题.发射塔由塔座、塔身、井道、塔
楼和天线等5个主要部分组成（如图1 所示），其中天线为传统的四边形空间桁架结构，横截面层层缩进，
在外形上有着芝麻开花节节高的吉祥寓意.国庆假期，章阳同学在取得有关部门许可的前提下，利用无人机
对广播电视塔进行拍照与摄像.章阳同学在地面点A 处测得塔楼B 的仰角为45，无人机在A 处沿仰角为
1
tan
2
的方向飞行60 5 米后到达D 处，测得DB
DA
，且A ，B ，C ，D ，E 五个点都在同一平面
内（如图2 所示）.
(1)求塔楼到地面的高度BE ；
(2)如果广播电视塔的天线BC 的长是106米，无人机从A 到D 的飞行过程中，在点P 处观看天线BC 的视角
为（即
CPB
），为了拍摄到天线BC 最为清晰的图像，要求视角最大.若点P 处距离地面的高度PF
为x 米，那么x 为何值时，无人机拍摄到天线BC 的图像最清晰？
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例题4．（2021 下·山东青岛·高一统考期末）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截
挑战赛，在E 处按EP
方向释放机器人甲，同时在A 处按AQ
方向释放机器人乙，设机器人乙在M 处成功拦
截机器人甲，两机器人停止运动．若点M 在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已
知
6
AB
米，E 为AB 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记EP
与EB
的夹角为（0
π
），
AQ
与AB
的夹角为（
π
0
2
）．
（1）若两机器人运动方向的夹角为π
3 ，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2 倍．
（i）若
π
3
，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求sin．
（ii）如何设计矩形区域ABCD的宽AD 的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的
释放角度使机器人乙挑战成功？
练一练
1．（2022 下·上海闵行·高一校考期末）在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳
突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为v（km/h），同时岸边有一人，从同一地点开始
追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h，则小船被此人追上的最大速度
为
．
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2．（2022 上·江苏徐州·高三期中）如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东30°相距
6
2
海里的B 处有一艘走
私船，正沿东偏南45°的方向以3 海里/ 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2 2 海里/ 小时的速度沿着
正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航
向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3 2 海里/ 小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
3．（2021 下·吉林延边·高一延边二中校考期中）（1）在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
若cos
2 3sin
0
a
C
C
b
c
，且
2
a
，则ABC
内切圆半径的最大值为_________
（2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿
海有A
B
C
，，
三个旅游景点，在岸边BC 两地的中点处设有一个垃圾回收站点O（如图），A
B
，两地相距
10km ，从回收站O观望A 地和B 地所成的视角为60，且
2
2
4
OA
OB
OA OB
，设AC
x
km ；
（i）用x 分别表示
2
2
OA
OB
和OA OB
，并求出x 的取值范围；
（ii）若B 地到直线AC 的距离为BD ，求BD 的最大值．
4．（2021 下·浙江·高一期末）杭州市为迎接2022 年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面
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示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材
车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送
一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE 为赛道内的两条服务通
道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE 为赛道，
2
,
,
2 6km,
8km
3
4
BCD
BAE
CBD
CD
DE
．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度；
①
7
12
CDE
；②
3
cos
5
DBE
（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长（即
BA
AE 最大），最长值为多少？
题型七三角形与三角函数综合
例题1．（2023 上·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）已知函数
2
2 3sin cos
2cos
f x
x
x
x
.
(1)求
f
x 的单调递增区间；
(2)在ABC
中，
0
2
A
f
，
2
AB
，求ABC
周长的取值范围.
例题2．（2023 下·四川·高一校联考期末）已知函数
sin
(
0,0
π)
f
x
x
的最小正周期为π ，
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且直线
2
x
是其图象的一条对称轴.
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)在ABC
中，角A、B、C 所对的边分别为a
b
c
、、，且
,
cos
A
B
C a
B
，若C 角满足
1
f C ，求a
b
c
的取值范围；
(3)将函数
y
f x
的图象向右平移π
4 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来
的2 倍后所得到的图象对应的函数记作
y
g x
，已知常数
*
R,
N
n
，且函数
F x
f x
g x
在
0, π
n
内恰有2023 个零点，求常数与n 的值.
例题3．（2023 下·辽宁葫芦岛·高一统考期末）在ABC
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知AB⊥AD，
π ,
3
3
ACD
AD
，
ABC
S
=
3
2
BA BC
．函数
( )
3( sin
sin 2 )
cos
cos2
f x
a
x
b
x
a
x
b
x
．
(1)若
1
a
b
，求
( )
f x 的值域；
(2)若对于任何有意义的边a，
( ) 1
0
f x
在
(
,
]
6 3
x
上有解，求b 的取值范围．
练一练
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1．（2023 下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）已知函数
sin
0,
0,0
2π
f x
A
x
A
的
部分图象如图所示.
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)在ABC
中，A 为锐角且
0
f
A
，
2
c
b
，猜想ABC
的形状并证明.
2．（2022 下·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）已知函数
π
( )
1
2 2 cos
sin
4
f x
x
x
．
(1)求函数
( )
f x 的最小正周期；
(2)在ABC
中，角
,
,
A B C 所对应的边分别为, ,
a b c ，若
3π
2 ,
4 3
2
8
3
A
f
a
，且
6
b
，求c 的值；
(3)设函数
4
2
π
1
π
2
3π
( )
2
2
8
4
8
2
2
8
x
x
g x
f
f
x
f
，记( )
g x 最大值为
max
[ (
,
)]
( )
g x
g x 最小值为
min
[ ( )]
g x
，若实数m 满足
max
min
2
[ ( )]
[ ( )]
2 m
g x
g x
，如果函数
2
2
log
y
x
mx
在定义域内不存在零点，
试求实数的取值范围．
3．（2022 下·四川达州·高一统考期末）在ABC
中，角A，B，C 所对的边长分别为a，b，
2 ,
c b
k k
N
，
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函数
2
20cos
3 cos
5
f
x
x
a
x
在区间
0, π
b
上有9 个零点.
(1)求a，b 的值；
(2)若
1
cos
8
B
，求c 的取值范围.
题型八三角形与向量综合
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知ABC
中，过重心G 的直线交边AB 于P，交边AC 于Q，设
APQ
△
的面积为
1S ，ABC
的面积为
2
S ，AP
pPB
，AQ
qQC
.
(1)求GA
GB
GC
；
(2)求证：1
1
1
p
q
.
(3)求
1
2
S
S 的取值范围.
例题2．（2023 下·天津滨海新·高一统考期末）在ABC
中，内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
sin
sin
sin
A
B
C
B
.
(1)求角C 的值；
(2)若a
b
，且ABC
的面积
2
3
6
S
c
.
（i）求证：
3
c
b ；
（ii）已知点E 在AB 上，且满足
1
2
CA
CB
CE
，延长CE 到D ，使得
2
CD
CE
，连接
,
AD BD ，求cos ADB
.
例题3．（2023 下·山东聊城·高一统考期中）在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．AD 为BC
边上的中线，点E，F 分别为边AB，AC 上动点，EF 交AD 于G ．已知
4
b
，且
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1
2 sin
cos
sin
sin
sin
4
c
A
B
a
A
b
B
b
C
．
(1)求c 边的长度；
(2)若
21
cos
7
BAD
，求
BAC
的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若
4
ABC
AEF
S
S
△
△
，求AG EF
的取值范围．
练一练
1．（2023 下·四川成都·高一石室中学校考期末）在ABC
中，a ，b ，c ，分别是角A ，B ，C 的对边，请
在①sin
sin
sin
A
C
b
c
B
a
c
；②sin
sin
2
B
C
c
a
C
两个条件中任选一个，解决以下问题：
(1)求角A 的大小；
(2)如图，若ABC
为锐角三角形，且其面积为
3
2
，且
1
2
AM
AC
，
2
AN
NB
，线段BM 与线段CN 相交
于点P ，点G 为ABC
重心，求线段GP 的取值范围.
2．（2023 下·江苏盐城·高一统考期中）如图所示，在ABC
中，
Z
iP i
在线段BC 上，满足
i
i
iCP
PB
，
O 是线段
i
AP 的中点.
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(1)当
3
i
时，过点O 的直线与边AB，AC 分别交于点E，F，设AE
AB
，
R
,
AF
AC
①求2
的最小值；
②设
AEF
△
的面积为
1S ，ABC
的面积为
2
S ，求
1
2
S
S 的最小值.
(2)若ABC
的面积为
3 ，
π
3
A
，且
1P ，
2P ，，
kP ，，
1
nP 是线段BC 的n 等分点，其中1
1
k
n
，
n、k
N ，
2
n
，求
1
2
2023
AB
AP
AP
AP
AC
的最小值.
3．（2023 下·四川广元·高一广元中学校考期中）已知H 是ABC
内的一点，
1
1
4
3
AH
AB
AC
．
(1)若H 是ABC
的外心，求∠BAC；
(2)若H 是ABC
的垂心，求∠BAC 的余弦值．
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一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知ABC
中，
1,
2,
3
AC
AB
BC
，在线段AB 上取一点M ，连接CM ，
如图①所示．将
ACM
△
沿直线CM 折起，使得点A 到达A的位置，此时BCM
内部存在一点N ，使得A N
平面
7
,
3
BCM NC
，如图②所示，则A M
的值可能为（
）
A．2
5
B．3
5
C．4
5
D．1
2．（2023·全国·模拟预测）在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，
2
AB
AC
，且
π
3
BAC
．若
3
PA
BC
，
则当三棱锥
P
ABC 的体积最大时，ABC
的面积为（
）
A．
3
B．2 3
3
C．2 3
27
D．2 3
9
3．（2023 上·山东德州·高三校考阶段练习）已知ABC
中，角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，D 是AB
上的四等分点（靠近点A）且
1
CD ，
sin
sin
sin
a
b
A
c
b
C
B
，则
3
a
b
的最大值是（
）
A．8
2
3
B．8 3
3
C．2 3
D．4 3
4．（2023 下·山西朔州·高一校联考阶段练习）在斜三角形ABC 中，角
, ,
A B C 的对边分别为
2
2
2
, , ,
4,4 6 sin2
3
sin
a b c b
a
C
a
b
c
B
，点O满足2
0
OA
OB
OC
，且
1
cos
4
CAO
，则ABC
的
面积为（
）
A．2 15
B．4 15
C．15
D．3 15
2
5．（2023 下·湖南岳阳·高一校考阶段练习）ABC
中，
π
sin
cos 2
2
B
A
，则AC
BC
AB
的取值范围是（
）
A．
1
1 2
，
B．1 1
3 2
，
C．1 2
2 3
，
D．1 2
3 3
，
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6．（2023 下·山东菏泽·高一统考期末）已知ABC
是锐角三角形，若
2
2
sin
sin
sin sin
A
B
B
C
，则2
a
b 的取值
范围是（
）
A．
0,1
B．
2 ,1
2
C．
3 ,1
2
D．
2
3
,
2
2
7．（2023 下·山东济南·高一统考期末）已知锐角ABC
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
B
，
2
c
，则ABC
的周长的取值范围为（
）
A．
3
3,2
2 3
B．
3
3,4
2 3
C．
3
3,6
2 3
D．
3
3,
二、多选题
8．（2023 上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）在ABC
中，角A，B，C 的对边分别
为a，b，c，下列四个命题中，正确的有（
）
A．当
5,
7,
60
a
b
A
时，满足条件的三角形共有1 个
B．若ABC
是钝角三角形，则tan
tan
1
A
C
C．若
2
2
tan
tan
a
B
b
A
，则a
b
D．当
2,sin
2sin ,
2
a
B
C A
C
时，ABC
的周长为2
2 3
9．（2023 上·全国·高三专题练习）已知ABC
中，内角A ，B ，C 满足
π
sin
cos
2
A
C
B
，则下列不成立
的是（
）
A．cos2
cos2
cos2
C
B
A
B．sin
sin
2
cos
cos
C
B
B
C
C．
cos
b
a
C
D．
2
2
2
sin
sin
sin
C
B
A
三、填空题
10．（2023 上·河南·高三校联考阶段练习）若锐角ABC
的内角
,
,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，其外接圆的
半径为
3 ，且
cos
cos
2 3 sin cos
a
B
C
a
A
c
B
A
，则
2
2
b
a
b
的取值范围为
.
11．（2023 上·湖北宜昌·高二宜昌市一中校考期中）如图，已知ABC
为等边三角形，点G 是ABC
的重
心.过点G 的直线l 与线段AB 交于点D，与线段AC 交于点
.
E 设AD
AB
，AE
AC
，且
0
设
ADE
的周长为
1c ，ABC
的周长为
2c ，设t
，记
1
2
c
f t
t
c
，则1
1
，
f t 的值域
为
.
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12．（2023 上·湖南岳阳·高二校联考阶段练习）在锐角ABC
中，角
,
,
A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若
cos
cos
2 sin
a
B
b
A
c
C
，则C
，
1
1
tan
tan
A
B
的取值范围为
.
13．（2023 上·安徽铜陵·高三统考阶段练习）在锐角ABC
中，内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ．若
sin
sin
sin
a
A
b
B
C
，则tan tan
A
B 的取值范围为
．
四、解答题
14．（2023 上·上海黄浦·高三统考期中）某公园的一个角形区域AOB 如图所示，其中
2π
3
AOB
．现拟用
长度为100 米的隔离档板（折线DCE ）与部分围墙（折线DOE）围成一个花卉育苗区ODCE ，要求满足
OD
OC
OE
．
(1)设
π
π
π
3
3
3
DOC
，试用表示OD ；
(2)为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计？请说明理由．
15．（2023 上·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）已知函数
sin
2cos
f x
x
x
.
(1)若
0x 为函数
f
x 一个零点，求
0
cos2x .
(2)锐角ABC
中，角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，
cos
0
f
A
A
，BC 上的高为2，求ABC
面积
范围.
16．（2023 上·山东青岛·高三统考期中）记ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知
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sin2
cos
cos
2
B
A
A
B
．
(1)若
π
3
A
，求C；
(2)若
2
2
2
b
a
c
，且
2
c
，求
2
2
2a
b
的最小值．
17．（2023 上·江苏连云港·高三统考阶段练习）在ABC
中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
2
b
c a
c
.
(1)若
π
3
B
，求a
c 的值；
(2)若ABC
是锐角三角形，求
2
3sin
2cos
B
C
的取值范围.
18．（2023 下·江苏南京·高一校联考阶段练习）如图，已知ABC
是边长为2 的正三角形，点P 在边BC 上，
且3BP
BC
，点Q 为线段AP 上一点．
(1)若
1
15
AQ
AB
BC
，求实数的值；
(2)求QA QC
的最小值；
(3)求QPC
周长的取值范围．
19．（2023 下·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如
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图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似
“冰淇淋”般的凉爽感，已知
π
4
AOB
，弓形花园的弦长
2 2
AB
，记弓形花园的顶点为
π
,
4
M
MAB
MBA
，设
π π
,
4 2
OBA
.
(1)将
,
OA OB 用含有的关系式表示出来；
(2)该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计
,
OA OB 的长度，才使得喷泉M 与山
庄O的距离的值最大？
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