专题03
不等式与不等关系压轴题
1.两个实数比较大小的方法
(1).作差法(a，b∈R)
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
0
0
0
(2)作商法（
0
a
，
0
b
）
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
1
1
1
2.不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
a.
(2)传递性：a>b，b>c⇒a
c.
(3)可加性：a>b⇔a＋c
b＋c；
a>b，c>d⇒a＋c
b＋d.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac
bc；
a>b，c<0⇒ac
bc；
a>b>0，c>d>0⇒ac
bd.
(5)可方性：a>b>0，n∈N*⇒an
bn；
a>b>0，n∈N*⇒n a____n b.
(6)倒数性质：a>b，ab>0⇒1
a____1
b；
1
a<1
b，ab>0⇒a____b.
题型一
不等式的性质
例1.（1）（多选题）对于实数a ，b，c，下列命题是真命题的是（
）
A．若a
b
，c
d
，则a
c
b
d
B．若
2
2
ac
bc
，则a
b
C．若
0
a
b
，则
2
2
a
ab
b
D．若a
b
，则ac
bc
（2）．已知2
5,0
1
a
b
a
b
，某同学求出了如下结论：①1
3
a
；②1
2
b
；③1
5
2
2
b
；
④4
2
2
a
b
；⑤3
2
1
a
b
；⑥1
2
4
a
b
；，则下列判断中正确的是（
）
A．①③④
B．①②④
C．①②⑤
D．①③⑥
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练习题：
（1）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（
）
A．若a
b
，则
2
2
ac
bc
B．若a
b
，则
2
2
a
b
C．若a
b
，则
|
|
|
|
a a
b b
D．若
0
a
b
c
，则
b
c
a
b
a
c
．
（2）．下列说法中，错误的是（
）
A．若
0,
0
a
b
c
d
，则一定有a
b
c
d
B．若
2
2
a
b
c
c
，则a
b
C．若
0,
0
b
a
m
，则a
m
a
b
m
b
D．若
,
a
b c
d
，则a
c
b
d
（3）．已知
0
a
b
c
，则（
）
A．2a
b
c
B．
a b
c
b a
c
C．
1
1
a
c
b
c
D．
3
3
a
c
b
c
题型二
比较大小
例2.（1）设
1 ,
7
5,
6
2
2
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小顺序是（
）
A．a
b
c
B．c
a
b
C．a
c
b
D．b
c
a
（2）．
2
1
A
a
，
1
B
a
，
1
1
C
a
，
1
1
D
a
为四个互不相等的实数.若A､B､C､D 中C 最大，求实数a
的取值范围，并求出A､B､C､D 中最小的数.
（3）．（1）已知
0
a
b
，试比较
2
2
2
2
a
b
a
b
与a
b
a
b
的大小；
（2）证明：
3
2
4
2
2
1
a
a
a
．
练习题：
（1）．已知
1
1
1
1
0,
,
,
xz
xy
yz
x
y
z
a
b
c
z
x
y
，则必有（
）
A．a
c
b
B．b
c
且a
c
C．b
c
a
D．a
b
且a
c
（2）．若
0
a
b
c
，，
，且
2
2
2
4
12
a
ab
ac
bc
，则a
b
c
的最小值是.
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A．2 3
B．3
C．2
D．
3
(3)．甲、乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半
路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若a
b
¹
，试判断哪辆车先到达B 地．
（4）设实数a ，b ，c 满足
1
a
b
，
1
c ，则下列不等式中不成立的是（
）
A．b
a
bc
a
a
b
ac
B．1
a
bc
b
a
b
ac
C．1
a
bc
c
c
c
b
a
D．
1
a
bc
ab
b
ac
ab
题型三创新提升能力题
1．集合
*
{
, ,
|
S
x y z
x
y
z
N
、、
，且x
y
z
、y
z
x
、z
x
y
恰有一个成立}，若
, ,
x y z
S
且
, ,
z w x
S
,则下列选项正确的是
A．
, ,
y z w
S
,
, ,
x y w
S
B．
, ,
y z w
S
,
, ,
x y w
S
C．
, ,
y z w
S
,
, ,
x y w
S
D．
, ,
y z w
S
,
, ,
x y w
S
2．已知实数a，b，c.
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
3．若实数x，y，m 满足|
| |
|
x
m
y
m
，则称x 比y 接近m，
（1）若
2
3
1
x 比3 接近1，求x 的取值范围；
（2）证明：“x 比y 接近m”是“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有
2
2
a b
ab
比
3
3
a
b 接近2ab ab .
4．已知函数
2
0
1
1
x
f x
x
x
，
，.
（1）设
1
2
0
1
x
x
，
，，证明:
1
2
1
2
0
x
x
f x
f x
≥；
（2）设
0
1
x
，，证明:
2
2
3
9
1
1
10
3
x
x
x
x
≥
；
（3）设
1
2
3
x
x
x
，
，都是正数，且
1
2
3
1
x
x
x
，求
2
2
2
3
3
1
1
2
2
2
2
2
1
2
3
3
3
3
1
1
1
x
x
x
x
x
x
u
x
x
x
的最小值.
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5．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板
的钉子长度后一次为前一次的1
n
*
n
N
｡已知一个铁钉受击3 次后全部进入木板，且第一次受击后进入木
板部分的铁钉长度是钉长的3
5 ，请从这个实事中提炼出一个不等式组是
.
1．已知,
,
a b
R
则下列命题中真命题的个数是（
）
①若
2
2
ac
bc
，则a
b
；②若a
b
¹
，则
2
b
a
a
b
；
③若
1
a
b
，则
1
1
b
b
a
a
；④若
0
a
b
c
，则1
1
1
a
b
c
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列说法正确的是（
）
A．
2
2
a
b
ac
bc
B．
2
2
a
b
a
b
C．
3
3
a
b
a
b
D．
2
2
a
b
a
b
3．已知ABC
的三边长分别为a 、b 、c ，有以下4 个命题：
（1）以
a 、b 、
c 为边长的三角形一定存在；
（2）以
2
a 、
2
b 、
2c 为边长的三角形一定存在；
（3）以
2
a
b
、
2
b
c
、
2
c
a
为边长的三角形一定存在；
（4）以ab 、bc 、ca 为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．（多选题）已知a，b，c，d R ，则下列命题为假命题的是（
)
A．若
,
a
b c
d
，则ac
bd
B．若a
b
，则
2
2
ac
bc
C．若
0
a
b
，则(
)
0
a
b c
D．若a
b
，则a
c
b
c
5．若关于x 的不等式
1
2
2
2
a
a
x
只有一个整数解2，则实数a 的取值范围为
．
6．已知
2
2
1
1
1
0,
1
,
1
,
,
2
1
1
a
A
a
B
a C
D
a
a
，则
, ,
,
A B C D 的大小关系是
．(用“”连接)
7．已知1
1
x
y
，1
2
x
y
，则3x
y
的取值范围是
8．设x，y 为实数，满足
2
3
8
xy
，
2
4
9
x
y
，则
3
x
y 的最小值是
.
9．证明命题：“若在ABC
中a
b
c
、、分别为角、、
A
B
C 所对的边长，则1
1
1
c
a
b
c
a
b
”
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10．（1）已知x≤1，比较3x3 与3x2－x＋1 的大小．
（2）已知a，b，c 是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ca，试比较p 与q 的大小．
11．已知集合
1 1
100,
M
k
k
k
N
且
，
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
，其中n
N ，且
2
n
．若A
M
，且对集
合A 中的任意两个元素
,
,
i
j
a a i
j
，都有
1
30
i
j
a
a
，则称集合A 具有性质P．
(1)判断集合1 1 1 1 1
,
, ,
,
3 4 5 6 7
是否具有性质P；并另外写出一个具有性质P 且含5 个元素的集合A；
(2)若集合
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
具有性质P．
①求证：
i
j
a
a
的最大值不小于
1
30
n ；
②求n 的最大值．
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