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相似【章节复习】压轴题-一线三垂直 题集C15
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（1 ）
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（2 ）
1. 问题背景：
折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等
分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的
精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定
理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下（如图1）：
图
操作：將正方形
对折，使点
与点
重合，点
与点
重合．再将正方形
展开，得到
折痕
．
操作：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点
与点
重合，边
翻折至
的位置，得到折痕
，
与
交于点
．则
即为
的三等分点，即
．
解决问题：
在图中，若
与
交于点
，连接
．求证：四边形
是菱形．
请在图中证明
．
发现感悟：若
为正方形纸片
的边
上的任意一点，重复“问题背景”中操作的折
纸过程，请你思考并解决如下问题：
如图．若
．则
．
图
如图，若
，则
．
2
3
图
根据问题（），（），（）给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把
你的结论写出来，不要求证明．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，矩形
，
是
上的动点（不与
、
重合），以
为顶点构造直角，与
、
分别
交于点
、
，
图
当
、
、
三点在如图所示的位置时，求证：
．
当
、
、
三点都在延长线上时，如图的两种情况，（）中的结论还成立吗？如果成立，
任选一种证明；如果变化，请说明理由．
图2
在（）中，若
运动到
的中点，连接
，求证：
．
3. 回答下列问题：
3
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
如图，在
中，
，
于点
．
如果
，
，那么
．
如果以
的长为边长作一个正方形，其面积为
，以
，
的长为邻边长作一个
矩形，其面积为
，则
（填“
”、“
”或“
”）．
基于上述思考，小泽进行了如下探究：
如图，点
在线段
上，正方形
，
和
，其面积比为
，
连接
，
，求证
．
如图，点
在线段
上，点
是线段
的黄金分割点，正方形
和矩形
的面积相等，连接
交
于点
，连接
交
延长线于点
，当
时，直
接写出线段
的长为 ．
