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1
抛物线与线段最值（1）将军饮马【题集A】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图所示，直线
与轴交于点
，与轴交于点
，抛物线
经
过点
，
．
x
y
O
图
求抛物线的解析式．
点
在抛物线的对称轴上，求
的最小值？
【答案】（1 ）
（2 ）
．
.
将
代入
，
．
将
和
代入
，
，
抛物线解析式为
．
做点
关于抛物线的对称轴直线的对称点
，连
，交直线于点
．
x
y
O
连
，此时
的值最小．
抛物线对称轴位置线
，由勾股定理得
，
的最小值为 .
2
【标注】【能力】运算能力
【方法】待定系数法
【知识点】二次函数一般式
【知识点】二次函数与轴对称问题
A.
B.
C.
或
D. 以上都不正确
2.
图
【解析】
如图，已知抛物线
的对称轴为
，过其顶点
的一条直线
与该
抛物线的另一个交点为
．要在坐标轴上找一点
，使得
的周长最小，则点
的坐
标为（ ）．
【答案】A
如图，
∵抛物线
的对称轴为
，点
是抛物线上的
一点，
∴
，
解得
．
∴该抛物线的解析式为
，
∴
．
∵
的周长
，且
是定值，所以只需
最小．
如图，过点
作关于轴对称的点
，连接
，
与轴的交点即为所求的点
．则
．
设直线
的解析式为：
（
），则
，
解得
，
故该直线的解析式为
．
当
时，
，即
．
3
图
【标注】
同理，如图，过点
作关于轴对称的点
，连接
，则只需
与轴的交点即为所求的
点
．
如果点
在轴上，则三角形
的周长
．如果点
在
轴上，则三角形
的周长
．
所以点
在
时，三角形
的周长最小．
综上所述，符合条件的点
的坐标是
．
故选：
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过
、
、
三
点，抛物线的解析式：
，若点
是该抛物线对称轴上的一点，求
的最小
值（ ）．
【答案】C
．
的最小值为
．
x
y
O
图
x
y
O
图
4
【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，抛物线
与轴交于两点
，
．
求，的值．
观察函数的图象，直接写出当取何值时，
．
设抛物线交轴于点
，在该抛物线的对称轴上是否存在点
，使得
的周长最小？若存
在，求出
点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
当
或
时，
．
点
的坐标为
．
∵抛物线
与轴交于两点
，
，
∴
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为
．
由图象可知：当
或
时，
．
在该抛物线的对称轴上存在点
，使得
的周长最小，理由如下：
∵
长为定值，
∴要使
的周长最小，只需
最小，
∵点
关于对称轴
对称点为
，
∴
为直线
与对称轴
的交点，
令
，得
，
∴
，
设直线
的解析式为
，
把点
代入得：
，解得：
，
∴直线
的解析式为
，
5
【标注】
当
时，
，
∴点
的坐标为
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
备用图
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
如图，抛物线
与轴交于点
、
，与轴交于点
，点
是抛物线的顶点，连接
．在抛物线的对称轴上求一点
，使点
到点
的距离与到点
的距离之和最小，此时点
的
坐标为（ ）．
【答案】B
如图1
图
连结
，交对称轴于点
，此时
为所求点，使得
达到最小值．
当
时，
．∴
．
6
【标注】
当
时，
，
解得：
，
，
∴
．
设
所在直线的解析式为：
，
将
点坐标代入函数解析式，得
，
∴
，
∴
所在直线的解析式为：
，
当
时，
；
∴
.
【知识点】二次函数与轴对称问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，抛物线
（
）经过梯形
的四个顶点，梯形的底
在轴上，其中
,
．
x
y
O
求抛物线的解析式.
点
为轴上任意一点，当点
到
、
两点的距离之和为最小时，求此时点
的坐标.
点
为轴上任意一点，当点
到
、
两点的距离之差为最大时，求此时点
的坐标.
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
因为点
、
均在抛物线上，
故点
、
的坐标适合抛物线方程
∴
解之得：
；
故
为所求．
连接
，交轴于点
，
7
（3 ）
【标注】
则点
就是所求作的点设
的解析式为
，
则有
，
解得
，
故
的解析式为
；
令
则
，
故
．
x
y
O
连接
，交轴于点
，则点
就是所求作的点.
设
的解析式为，
则有
，
解得
，
故
的解析式为
；
令
，则
，
故
．
x
y
O
【知识点】二次函数一般式
7. 如图，抛物线解析式为
．
8
x
y
O
（1 ）
x
y
O
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
点
为抛物线的顶点，在抛物线上找点
使得
，求出所有的点
．
在抛物线的对称轴上找一点
，使得
最大，求
点坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，
，
．
．
双轨平行线，
，
，
，
．
略．
【知识点】二次函数与轴对称问题
，
，
，
，
