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1
抛物线与线段最值（1）将军饮马【题集B】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知抛物线
的顶点坐标为
，且与轴交于点
，与轴交于
、
两点．（点
在点
的左边）
求抛物线的解析式及
、
两点的坐标．
在（）中抛物线的对称轴上是否存在一点
，使
的值最小，若存在，求
的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，
．
．
由题意，设抛物线的解析式为
，
∵抛物线经过
，
，
解得：
，
∴
，即：
，
当
时，
，
解得：
或
，
∴
，
．
存在， 如图， 由（）知：抛物线的对称轴为直线
，
因为
、
两点关于对称，连接
交于点
，则
，
所以
的值最小，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
的最小值为
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
2. 如图，抛物线
与轴交于
，
两点，与轴交于点
，点
是抛物线对称轴上的一
个动点，若使
的周长最小，则点
的坐标为 ．
2
【解析】
【标注】
x
y
O
【答案】
令
，则
，
解得
，
，
令
，则
，
∴
，
，
，
由题意得，点
与点
关于抛物线的对称轴对称，
连接
，则
与抛物线对称轴的交点是点
的位置，
设直线
解析式为
，把
，
代入得
解得：
，
则直线
的解析式为
，
∵抛物线
的对称轴
，
把
代入
中得
，
故点
的坐标为：
．
【知识点】二次函数与线段和差问题
（1 ）
3. 如图，已知抛物线
的对称轴为直线
，且经
、
两
点．
x
y
O
求抛物线的解析式．
3
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
在抛物线的对称轴
上，是否存在点
，使它到点
的距离与到点
的距离之和最小，
如果存在求出点
的坐标，如果不存在请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
根据题意得：
，
解得：
，
则二次函数的解析式是
．
存在．
x
y
O
设抛物线与轴的另一个交点是
，由抛物线的对称性得
与对称轴的交点就是
．
∵
点的坐标是
，
设直线
的解析式是
，则
，
解得
，
∴直线
的解析式是
．
当
时，
，
∴点
的坐标是
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴正半轴交于
，
两点（点
在点
左
侧），与轴交于点
．
4
x
y
O
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
利用直尺和圆规，作出抛物线
的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法）．
若
是等腰直角三角形，且其腰长为，求抛物线的解析式．
在（2）的条件下，点
为抛物线对称轴上一点，则
的最小值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
作图见解析．
．
作图如下，直线
即所求．
x
y
O
当
时，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
将
代入解析式得：
，
解得
，
则抛物线的解析式为：
．
∵抛物线交轴于
、
两点，
∴
，
∴
，
最小值即为线段
，（两点之间线段最短）
又∵在
中，
，
∴
最小值为
．
5
【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，已知抛物线
与轴交于
、
两点，与交于点
．
求抛物线的解析式及顶点
坐标．
在抛物线的对称轴上找到点
，使得
的周长最小，并求出点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
抛物线的解析式为
，顶点
为
．
∵抛物线
，
、
、
三点，
∴
，解得
．
∴抛物线的解析式为
，顶点
为
．
∵点
、
关于抛物线的对称轴对称，
∴连结
与抛物线对称轴交于一点，即为所求点
，为
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
6. 如图，已知
与轴交于
，
两点，与轴交于
点，
点为
点关于对称轴的对称
点．在抛物线的对称轴上存在一点
，使
有最大值，则这个最大值为 ．
6
x
y
O
【标注】
【答案】
【知识点】二次函数与轴对称问题
x
y
O
7.
【标注】
如图所示，抛物线
的顶点坐标为点
，且抛物线与轴交于点
．若
点
是轴上任意一点，则当
最大时，求点
的坐标，并求此时的最大值．
【答案】
；
的最大值为
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
