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抛物线与线段最值（1）将军饮马【题集C】
1.
【解析】
如图，已知抛物线
的对称轴为
，过其顶点
的一条直线
与该
抛物线的另一个交点为
，要在坐标轴上找一点
，使得
的周长最小，则点
的坐
标为 ．
【答案】
∵抛物线
的对称轴为
，点
是抛物线上的一点，
∴
，解得
，
∴该抛物线的解析式为
，
∴
．
∵
的周长
，且
是定值，
∴只需
最小，
如图，过点
作关于轴对称的点
，连接
，
与轴的交点即为所求的点
，则
，
设直线
的解析式为：
（
），
则
，解得
，
故该直线的解析式为
，
当
时，
，即
．
2
【标注】
图
同理，如图，过点
作关于轴对称的点
，连接
，则只需
与轴的交点即为所求的
点
，
如果点
在轴上，则三角形
的周长
，
如果点
在轴上，则三角形
的周长
，
所以点
在
时，三角形
的周长最小．
图
综上所述，符合条件的点
的坐标是
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
2. 如图，已知抛物线
与轴交于点
、
，与轴交于点
，且点
在点
的左侧．
3
（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
若抛物线过点
，求实数的值．
在（）的条件下，解答下列问题．
求出
的面积．
在抛物线的对称轴上找一点
，使
的值最小，直接写出点
的坐标．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
．
将
代入抛物线解析式得：
，
解得：
．
由（）抛物线解析式
，
当
时，得：
，
解得：
，
，
∵点
在点
的左侧，
∴
，
，
当
时，得：
，即
，
∴
．
由抛物线解析式
，得对称轴为直线
，
4
【标注】
根据
与
关于抛物线对称轴直线
对称，连接
，与对称轴交于点
，即为所
求，
设直线
解析式为
，
将
与
代入得：
，
解得：
，
∴直线
解析式为
，
将
代入得：
，
则
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
x
y
O
3.
x
y
O
【解析】
如图抛物线
与轴交于
，
两点，与轴交于点
，点
是抛物线对称轴上任意一
点，若点
、
、
分别是
、
、
的中点，连接
，
，则
的最小值
为 ．
【答案】
连接
，交对称轴于点
，
则此时
最小，
∵点
、
、
分别是
、
、
的中点，
∴
，
，
∵抛物线
与轴交于
，
两点，与轴交于点
，
∴
解得：
，
，
时，
，
故
，
则
，可得：
，
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【标注】
故
的最小值为：
．
故答案为：
．
【知识点】二次函数与线段和差问题
x
y
O
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
如图，已知抛物线
经过点
和
．
求出抛物线的解析式．
写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标．
点
与点
均在抛物线上（其中
），且这两点关于抛物线对称轴对称，求
的值及点
的坐标．
在满足
的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点
，使得
的周长最小．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
抛物线的解析式为：
对称轴方程为
，顶点坐标
．
，
．
点
的坐标为
时能够使得
的周长最小．
依题意有
，
．
抛物线的解析式为：
．
把
配方得，
对称轴方程为
顶点坐标
．
由点
在抛物线上，有
即
，
或
（舍去）
，
点
，
均在抛物线上，且关于对称轴
对称
．
连接
，
，
，
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【标注】
x
y
O
直线
与对称轴
相交于点
，
由于
，
两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点
，能够使得
的周长最小
设直线
的解析式
．
有
，
．
直线
的解析式为：
．
设点
，
则有
．
此时点
能够使得
的周长最小．
【知识点】点在二次函数图象上
【知识点】二次函数与轴对称问题
【知识点】二次函数一般式
．
5.
【解析】
抛物线
与轴交于点
，且顶点为
，若
是轴上任意一点，则当
最
大时，点
的坐标为 ．
【答案】
如图，作
关于轴对称点
，则
，
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【标注】
P
连接
交轴于
，
配方得：
,顶点坐标
，
直线
解析式为：
当
时，
，
．
故答案为：
．
【知识点】二次函数与轴对称问题
