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专题04 空间中的点、直线、平面与空间向量八大题型
题型一：平面的法向量及其求法
题型二：异面直线所成角
题型三：利用向量方法证明线面平行
题型四：利用向量方法证明面面平行
题型五：用向量方法证明线线垂直
题型六：利用向量方法证明线面垂直
题型七：用向量方法证明面面垂直
题型八：空间向量中的平行，垂直动点问题
题型一：平面的法向量及其求法
1．在空间直角坐标系
中，已知点
，则下列向量可以作为平面
的一
个法向量的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．已知点
、
、
在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
，
，则平面
的一个法向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知点
，则平面
的法向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，写出平面
的一个法向量
.
题型二：异面直线所成角
1．在正方体
中，已知为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．直三棱柱
中，
，
，则
与
所成角为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．在长方体
中，已知
，为
的中点，则直线
与
所成角的
余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在正方体
中，点
分别是
的一个四等分点，且
，
求
与
夹角的余弦值．
5．如图，三棱柱
中，
为
中点，
．设
，
，
．
(1)试用
表示向量
；
；
(2)若
，
，求异面直线
与
所成角的余弦值．
题型三：利用向量方法证明线面平行
6．如图，正四棱柱
中，
，
，点M，N 分别是棱
，
的中点．
(1)求证：直线
平面
；
7．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M，N 分别在对角线BD，AE 上，且
，
. 用向量方法证明：
平面
.
8．如图，
平面
，
，
，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
9．如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
，为棱
的中点．
(1)求证：
平面
；
题型四：利用向量方法证明面面平行
10．如图，在长方体
中，
，
，
.求证：平面
平面
.
11．如图所示，
为矩形，
平面
，
，
，
，分别是
，
，
的中点．
求证：
(1)
平面
；
(2)平面
平面
．
12．如图，在多面体
中，四边形
为平行四边形，且
平面
，且
.点
分别为线段
上的动点，满足
.
(1)证明：直线
平面
；
题型五：用向量方法证明线线垂直
13．在四棱锥
中，
，
，四边形
为矩形，在
上，且
，
为
的中点，平面
交
于点
．求证：
.
14．如图，三棱台
中，平面
⊥平面
，
，
.证明：
.
15．已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，
分别为
和
的中点，
为棱
上的点，
， 证明：
.
16．在棱长为1 的正方体
中，
分别是
的中点，
在棱
上，且
，
为
的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求证：
；
(2)求
与
所成的角的余弦值；
题型六：利用向量方法证明线面垂直
17．如图，正方形
和四边形
所在的平面互相垂直，
，
，
，
．求证：
(1)
平面
；
(2)
平面
．
18．已知正方体
的棱长为1，在棱
上运动，
在线段
上运动，直线
与平
面
交于点
．
(1)当E , F为中点时，证明：
平面
；
19．如图在平行六面体
中，
，
．
(1)求证：直线
平面
；
(2)求直线
和
夹角的余弦值．
20．如图，在棱长为2 的正方体
中，
为
的中点，
为
的中点，为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值．
题型七：利用向量方法证明面面垂直
21．如图，四边形
为正方形，
平面
，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)证明：
平面
.
22．如图所示，在棱长均相等的平行六面体
中
分别为线段
的中点．
(1)设
，请以向量
表示
；
(2)求证：平面
平面
．
23．在正三棱锥
中，三条侧棱两两互相垂直，G 是
的重心，E，F 分别为
上的点，
且
．求证：平面
平面
.
24．已知：在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
平面
，点M 为PD 中点，
.求证：平面
平面
.（注：必须用向量法做，否则不得分）
题型八：空间向量中的平行，垂直动点问题
25．如图，在多面体
中，四边形
是菱形，
平面
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)线段
上是否存在点，使得
∥平面
？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
26．在
中，
，点
分别为边
的中点，将
沿
折起，使得
平面
平面
.
(1)求证：
；
(2)在平面
内是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，指出点
的位置；若不存在，说
明理由.
27．平面上两个等腰直角
和
，
既是
的斜边又是
的直角边，沿
边折叠使得
平面
平面
，
为斜边
的中点．
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
28．如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形
所在的平面互相垂直，已知
，
.
(1)求证：
；
(2)在线段BE 上是否存在一点P，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说
明理由.
29．已知在四棱锥
中，底面
是矩形，且
，
，
平面
，、
分别
是线段
、
的中点.
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
30．如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，
平面ABCD，
平面ABCD，且
，E
为BC 的中点.
(1)证明：
平面ABCD；
(2)在线段AN 上是否存在点S，使得
平面AMN?如果存在，求出线段AS 的长度；若不存在，请说明理
由.
31．如图，在正方体
中，
分别是
的中点．
(1)用空间向量法证明：
平面
；
(2)在直线
上是否存在点，使得
平面
？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由．
32．三棱锥
中，
平面
，
，
，并且
是直角．
(1)求二面角
所成角的余弦值；
(2)若
，
，
上各取一点，
，设
(
)，当为何值时，平面
平面
．
