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专题04 空间中的点、直线、平面与空间向量八大题型
题型一：平面的法向量及其求法
题型二：异面直线所成角
题型三：利用向量方法证明线面平行
题型四：利用向量方法证明面面平行
题型五：用向量方法证明线线垂直
题型六：利用向量方法证明线面垂直
题型七：用向量方法证明面面垂直
题型八：空间向量中的平行，垂直动点问题
题型一：平面的法向量及其求法
1．在空间直角坐标系
中，已知点
，则下列向量可以作为平面
的一
个法向量的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
和
，然后求出平面
的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可.
【详解】因为
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
对于A，因为
，所以此向量与
不共线，所以此向量不是平面
的法向量，所以A 错误，
对于B，因为
，所以此向量与
共线，所以此向量是平面
的法向量，所以B 正确，
对于C，因为
，所以此向量与
不共线，所以此向量不是平面
的法向量，所以C 错误，
对于D，因为
，所以此向量与
不共线，所以此向量不是平面
的法向量，所以D 错误.
故选：B
2．已知点
、
、
在平面
内，则下列向量为平面
的法向量的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设平面
的法向量为
，根据法向量的定义可得出
，利用赋值法可得出平面
的一个法向量的坐标.
【详解】设平面
的法向量为
，由题意可得
，
，
则
，取
，可得
，
故选：B.
3．已知向量
，
，则平面
的一个法向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先设平面
的一个法向量为
，结合法向量的定义得出
应满足的条件，进而判
断即可.
【详解】设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，即
，
所以满足上述条件的只有A 符合.
故选：A.
4．已知点
，则平面
的法向量
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意求出
、
，设
，利用法向量与平面垂直的坐标表示即可求解.
【详解】根据已知有
，
，设
，
因为
，
，所以
，设
，则
，
，
所以
.
故选：A
5．已知
，写出平面
的一个法向量
.
【答案】
（答案不唯一，与
共线的非零向量）
【分析】设出向量
的坐标，再利用平面法向量的意义列式计算即得.
【详解】设
，则
，
故
，取
，得
，
所以平面
的一个法向量
.
故答案为：
.
题型二：异面直线所成角
1．在正方体
中，已知
为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体
的边长为2，写出点的坐标，利用异面直线夹角
余弦公式进行求解
【详解】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设正方体
的边长为2，则
，
故
，
故异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：B
2．直三棱柱
中，
，
，则
与
所成角为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算和向量夹角公式，即可求解.
【详解】根据题意，以
为原点，以
为
轴，以
为
轴，以
为
轴，建立空间直角坐标系，如
图所示，令
，
则
，
，
，
，所以
，
，
设
与
所成角为
，则
，所以
与
所成角为
.
故选：C.
3．在长方体
中，已知
，
为
的中点，则直线
与
所成角的
余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，
，
，
所以直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：C
4．如图，在正方体
中，点
分别是
的一个四等分点，且
，
求
与
夹角的余弦值．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求解.
【详解】设正方体的棱长为1，分别以
为单位正交基底建立空间直角坐标系
，
则
，
所以
．
，
，
．
所以
．
因此
与
夹角的余弦值是
．
5．如图，三棱柱
中，
为
中点，
．设
，
，
．
(1)试用
表示向量
；
；
(2)若
，
，求异面直线
与
所成角的余弦值．
【答案】(1)
；
；
(2)
.
【分析】（1）结合图形，根据空间向量的加减数乘运算，即可求解；
（2）由题知
，进而根据向量模的公式得
，
，进而得
，即可求解.
【详解】（1）因为D 为
中点，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
.
（2）因为
，
，
所以
，
，
，
所以
，
又因为
，
所以
，
，
所以
，
所以异面直线AE 与
所成角的余弦值为
．
题型三：利用向量方法证明线面平行
6．如图，正四棱柱
中，
，
，点M，N 分别是棱
，
的中点．
(1)求证：直线
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）如图所示，以D 为坐标原点，
，
，
为x，y，z 轴正方形建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
设
，解得
，
，则平面
的一个法向量为
，
则
，得
，
又直线
不在平面
内，则直线
平面
．
7．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M，N 分别在对角线BD，AE 上，且
，
. 用向量方法证明：
平面
.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，求得
，
，再结合向量的共面定理，得到
共面，又
平面
，得
平面
.
【详解】因为
在
上，且
，
所以
.
同理
.
所以
，
又
与
不共线，则
共面，
又
平面
，得
平面
.
8．如图，
平面
，
，
，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）因为
平面
，
平面
，
所以
，因为
，
，
､
平面
，所以
平面
，
可以建立以
为原点，分别以
，
，
的方向为
轴､
轴､
轴正方向的空间直角坐标系如图，
可得
，
，
，
，
.
设
，则
.
依题意，
是平面
的法向量，
又
，可得
，则
，
又因为直线
不在平面
，所以
平面
.
9．如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
，
为棱
的中点．
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）因为
底面
，
底面
，所以
，
又因为
平面
，
所以
平面
，即
为平面
的一个法向量，
如图以点
为原点，
，
，
分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，
可得
，
，
，
，
，
由
为棱
的中点，得
，
向量
，
，故
，
又
平面
，所以
平面
；
题型四：利用向量方法证明面面平行
10．如图，在长方体
中，
，
，
.求证：平面
平面
.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，以D 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面
与平面
的法向量，由法
向量平行，即可证明面面平行；
【详解】以D 为原点，
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
.
取
，则
，
，
所以平面
的一个法向量为
.
设平面
的法向量为
，
则
.
取
，则
，
，
所以平面
的一个法向量为
.
因为
，即
，
所以平面
平面
.
11．如图所示，
为矩形，
平面
，
，
，
，
分别是
，
，
的中点．
求证：
(1)
平面
；
(2)平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可证得
两两垂直，所以以
为原点，分别以
，
，
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明；
（2）证明
平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论.
【详解】（1）证明：因为
平面
，
平面
，
所以
，
因为四边形
为矩形，所以
，
所以
两两垂直，
所以以
为原点，分别以
，
，
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设
，
，
.
则
，因为
，
，
分别是
，
，
的中点，
所以
，
，
，
所以
.
因为平面
的一个法向量为
，
所以
，即
.
又因为
平面
，所以
平面
.
（2）因为
，
所以
，所以
，
又
平面
，所以
平面
.
又因为
，
平面
，
所以平面
平面
.
12．如图，在多面体
中，四边形
为平行四边形，且
平面
，且
.点
分别为线段
上的动点，满足
.
(1)证明：直线
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）如图，以
为原点，分别以
方向为
轴建立坐标系.
.
.
设平面
的法向量为
，
则由
，取
得
.
因为
，所以
解得
.
所以
，且
平面
，所以
平面
题型五：用向量方法证明线线垂直
13．在四棱锥
中，
，
，四边形
为矩形，
在
上，且
，
为
的中点，平面
交
于点
．求证：
.
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形的边长，结合勾股定理可建立空间直角坐标系，理由向量证明线面垂直即可求证，
【详解】如图，
由
可得
，
由于
，故
，
又
，故
，
可得：
故
，故
，
结合底面为矩形，故
，
故
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
，
，
，
由
，
又
，
两式联立解得：
，
所以
则
，
故
，
因此
平面
，
故
平面
，
平面
，
故
14．如图，三棱台
中，平面
⊥平面
，
，
.证明：
.
【答案】证明见解析
【分析】法一：利用面面垂直的性质及线面垂直的判断和性质定理即可证明；法二：利用空间向量即可证
明；法三：利用三余弦定理法证明.
【详解】法一：几何证法
作
交
于
，连接
，
因为平面
平面
，而平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，即有
，
因为
，所以
，所以
，
在
中，
，
即有
，所以
，
由棱台的定义可知，
，所以
，
又
平面
，而
平面
，则有
，
，
而
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，所以
.
法二：空间向量坐标系方法
作
交
于
，
因为平面
平面
，而平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，以
为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设OC=1，因为
，
，
所以
，所以
，
所以
，
，
所以
，
所以
，即
，
又因为棱台中
，所以
.
法三：三余弦定理法
因为平面
平面
，
所以
，
所以
，又因为
，
所以
，
所以
，所以
，即
，
又因为
，所以
.
15．已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，
分别为
和
的中点，
为棱
上的点，
， 证明：
.
【答案】证明见解析
【分析】方法一：几何法，根据线面垂直的判定定理和性质定理证明；方法二：空间向量法，利用向量垂
直的坐标表示证明；方法三：利用向量的四则运算和数量积的运算律证明.
【详解】方法一：几何法
因为
，
，所以
，
又因为
，
，所以
平面
，
又因为
，构造正方体
，如图所示，
过
作
的平行线分别与
交于其中点
，连接
，
因为
分别为
和
的中点，所以
是
的中点，
由于
，故
≌
，则
,
又因为
，所以
，
又因为
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
.
方法二：空间向量法
因为三棱柱
是直三棱柱，所以
底面
，
底面
，
所以
，
因为
，
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
所以
两两垂直，
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图，
所以
，
，
由题设
（
），
因为
，
所以
，所以
，则
.
方法三：利用向量四则运算和数量积的运算律求解
因为
，
，所以
，
故
，
，
所以
，
所以
，则
．
16．在棱长为1 的正方体
中，
分别是
的中点，
在棱
上，且
，
为
的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求证：
；
(2)求
与
所成的角的余弦值；
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用正方体三条相互垂直直线建立空间直角坐标系，写出点的坐标即可得到向量坐标，利
用向量的数量积为0 时，向量垂直即得证；
（2）利用点的坐标求出向量坐标，由向量数量积与向量模长求得向量夹角的余弦值.
【详解】（1）如图：以点
为坐标原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，
∴
，
，
，
∵
分别是
的中点
∴
∴
，
∴
∴
（2）∵
，∴
，
∴
由（1）知：
，
设
与
所成的角为
∴
∴
与
所成的角的余弦值为
题型六：利用向量方法证明线面垂直
17．如图，正方形
和四边形
所在的平面互相垂直，
，
，
，
．求证：
(1)
平面
；
(2)
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设
与
交于点
．连接
，则可证明四边形
为平行四边形，于是
，
故而
平面
；
（2）以
为原点建立空间坐标系，求出
，
，
的坐标，通过计算
，
得出
，
，故而
平面
．
【详解】（1）设
与
交于点
，连接
，如图所示．
因为
，且
，
，
即
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
．
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）因为正方形
和四边形
所在的平面互相垂直，两平面的交线为
，且
，所以
平面
．
如图，以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系．
则
，
，
，
，
．
所以
，
，
．
所以
，
，
所以
，
，
即
，
．
又
，且
平面
，
平面
，
所以
平面
．
18．已知正方体
的棱长为1，
在棱
上运动，
在线段
上运动，直线
与平面
交于点
．
(1)当E , F为中点时，证明：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）以
为坐标原点，
方向为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
设
，
当E，F 为中点时，
，有
，
所以
，
，
，有
，
，
所以
，又
平面
，
所以
平面
．
19．如图在平行六面体
中，
，
．
(1)求证：直线
平面
；
(2)求直线
和
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设
，
，
，则
为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得
出
，
，
，再根据向量的数量积运算得出
，
，从而得出
，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线
平面
；
（2）根据空间向量的线性运算得出
，再根据向量的数量积运算求得
和
，
，最后根据异面直线的夹角公式
，即可求出直线
和
夹角的余弦
值.
【详解】（1）设
，
，
，
则
为空间的一个基底，且
，
，
，
因为
，
，
则
，
，
可得
，
，
即
，且
，
平面
，
所以
平面
.
（2）由（1）得
，
则
，
，即
，
则
，即
，
设
与
的夹角为
，则
，
所以直线
和
夹角的余弦值为
.
20．如图，在棱长为2 的正方体
中，
为
的中点，
为
的中点，
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量证明即可.
（2）用线线角的向量求解公式处理即可.
【详解】（1）如图以
为原点，建立空间直角坐标系，
易得
，
,
,
,
,
,
,
，设面
的法向量
，连接
，则
，
，令
，解得
，
，故
，
，则
与
平行，可得
平面
.
（2）易知
，
，
，
，故
，
，设异面直线
与
所成角为
，故
题型七：利用向量方法证明面面垂直
21．如图，四边形
为正方形，
平面
，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)证明：
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，利用坐标结合面面垂直的判定定理证明即可.
（2）利用空间向量的坐标运算可得
为平面
的一个法向量，又
,且
平面
，即可
证明.
【详解】（1）由题意易知
两两互相垂直.
如图，以D 为坐标原点，
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，
建立空间直角坐标系
.设
.
依题意有
,
则
,
所以
,
，
即
,
又
,
平面
,
故
平面
.又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）根据题意，有
,
则
,
故
又
不共线，所以
为平面
的一个法向量.
又因为
,且
即
,且
平面
，
故有
平面
.
22．如图所示，在棱长均相等的平行六面体
中
分别为线段
的中点．
(1)设
，请以向量
表示
；
(2)求证：平面
平面
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意直接分解向量即可.
（2）由向量的数量积公式得
，结合菱形性质线面、面面垂直的判定定理即可得证.
【详解】（1）
.
（2）∵
∴
，
又∵
，
∴
，即
，
∵底面菱形中，
，且
，
平面
.
所以
平面
．
又
平面
．
∴平面
平面
．
23．在正三棱锥
中，三条侧棱两两互相垂直，G 是
的重心，E，F 分别为
上的点，且
．求证：平面
平面
.
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，由向量法证明直线平行，再结合线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明．
【详解】如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以
所在直线分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角
坐标系.令
，
则
于是
，
，故
，∴
.
∵
平面
，
∴
平面
，∴
平面
.
又
平面
，
∴平面
平面
.
24．已知：在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
平面
，点M 为PD 中点，
.求证：平面
平面
.（注：必须用向量法做，否则不得分）
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面
和平面
.的法向量，计算二者的数量
积，即可证明结论.
【详解】证明：在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
平面
，
以A 为坐标原点，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，
，则
，
故
,
设平面
的法向量为
，则
,
令
，则
，
，
设平面
的法向量为
，则
,
令
，则
，
则
，
故平面
平面
.
题型八：空间向量中的平行，垂直动点问题
25．如图，在多面体
中，四边形
是菱形，
平面
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)线段
上是否存在点
，使得
∥平面
？若存在，指出点
的位置并证明；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点
，当
与
重合时，使得
∥平面
.
【分析】（1）连接
交于点
，则由四边形
为菱形，得
，由
平面
，得
，再利用线面垂直的判定定理可结论；
（2）由题意可证得
两两垂直，则以
为原点，
所在的直线分别为
建立空
间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：连接
交于点
，
因为四边形
为菱形，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
；
（2）解：取
的中点
，连接
，
因为四边形
为菱形，
，所以
为等边三角形，
所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
所以
两两垂直，
所以以
为原点，
所在的直线分别为
建立空间直角坐标系，
设
，则
，
所以
，
假设存在点
，使得
∥平面
，
设
，则
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
由
，得
，
此时
与
重合，
平面
，
所以存在点
，当
与
重合时，使得
∥平面
.
26．在
中，
，点
分别为边
的中点，将
沿
折起，使得
平面
平面
.
(1)求证：
；
(2)在平面
内是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，指出点
的位置；若不存在，说
明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点
，
点在直线
（
点在直线
上且
）上
【分析】（1）利用已知可得
，结合面面垂直可得
平面
，可证结论.
（2）以点
为原点，以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系
，求得平面
的一个法向量，若
，求得平面
的一个法向量，可判断此情况不成立，若
与
不
共线，设
，连接
，利用
，可求得结论.
【详解】（1）在
中，
点D、E 分别为边AC、AB 的中点，
且
.
又
平面
平面
，平面
平面
平面
，
平面
.
又
平面
.
（2）由（1）知，
.
以点
为原点，以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系
.
则
.
，
设
为平面
的一个法向量，
则
，取
，则
.
假设在平面
内存在点
，使得平面
平面
.连接
.
若
，则设
.设平面
的一个法向量为
.
由
，取
，则
.
平面
的法向量
.由
知，此情况不成立.
若
与
不共线，设
，连接
.
设
，则
.
当
，即
时，
.
又
平面
，即平面
平面
，也即平面
平面
.
所以在平面
内存在点
，当
点在直线
（
点在直线
上且
）上时，
平面
平面
.
27．平面上两个等腰直角
和
，
既是
的斜边又是
的直角边，沿
边折叠使得
平面
平面
，
为斜边
的中点．
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）取
中点
，连接
，依题意可得
、
即可证明
平面
，
从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
、平面
的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为
求解即可.
【详解】（1）取
中点
，连接
，如图，
又
为
的中点，
，由
，则
，
又
为等腰直角三角形，
，
，
，又
，
平面
，
平面
，又
平面
，
（2）
平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
平面
，
平面
，故
，
故以
为原点，
为
、
、
轴正方向的空间直角坐标系，设
，
，
则
，
，
，
若存在
使得平面
平面
，且
，
，
则
，解得
，
，
则
，
，
设
为平面
的一个法向量，则
，
令
，即
，
设
是平面
的一个法向量，则
，
令
，则
，
，可得
．
存在
使得平面
平面
，此时
28．如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形
所在的平面互相垂直，已知
，
.
(1)求证：
；
(2)在线段BE 上是否存在一点P，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说
明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得
平面
，再由其性质定理即可证明；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
证明：∵平面
平面
，平面
，
，
平面
，∴
平面
.
∵
平面
，∴
，
过A 作
于H，
则
，
∴
，∴
，∴
.
∵
，
平面
，
∴
平面
.
∵
平面
，∴
.
（2）
存在.理由：由（1）知，
两两垂直，
以A 为坐标原点，
的方向分别为
轴、
轴、
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
假设在线段BE 上存在一点P 满足题意，则易知点P 不与点B，E 重合，
设
，则
，
由
，可求得
.
设平面PAC 的一个法向量为
，则
，
由
，
可得
，
即
，令
，则
，所以
为平面PAC 的一个法向量.
又
，
设平面BCEF 的一个法向量为
，
则
，可得
，
所以
为平面BCEF 的一个法向量.
当
，即
时，平面
平面
，故存在满足题意的P，
此时
.
29．已知在四棱锥
中，底面
是矩形，且
，
，
平面
，
、
分别
是线段
、
的中点.
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点
，为
的四等分点（靠近
）.
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）求出平面
的法向量，设出点
的坐标，利用线面平行的向量表示求解即得.
【详解】（1）在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，则直线
两两垂
直，
以点
原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系
，
则
，令
，
于是
，
因此
，即
，
所以
.
（2）由（1）知，
，假定存在点
满足条件，
设
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，
要
平面
，显然
平面
，则只需
，即
，解得
，
所以在线段
上存在点
，使得
平面
，点
为靠近点
的线段
的四等分点.
30．如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，
平面ABCD，
平面ABCD，且
，E
为BC 的中点.
(1)证明：
平面ABCD；
(2)在线段AN 上是否存在点S，使得
平面AMN?如果存在，求出线段AS 的长度；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由
平面
，
平面ABCD，所以
，因为
，所以四边形
MDBN 为平行四边形，所以
可证明结论.
（2）建系，设
，由
平面AMN，解出
，再由向量的模长公式计算长度.
【详解】（1）证明：连接BD，如图(1).
因为
平面
，
平面ABCD，
所以
.
因为
，
所以四边形MDBN 为平行四边形.
所以
.
又
平面
，
平面ABCD，所以
平面ABCD.
（2）由题意知DM，DC，DA 两两垂直.
以点D 为原点，DA，DC，DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图(2)的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
假设在线段AN 上存在点S，使得
平面AMN，连接AE.
易知
，
，
.
设
，
，
则
.
由
平面AMN，得
即
解得
.
此时
，所以
.
故在线段AN 上存在点S，使得
平面AMN，此时线段AS 的长度为
.
31．如图，在正方体
中，
分别是
的中点．
(1)用空间向量法证明：
平面
；
(2)在直线
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，请指出
的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
在
的延长线上，且
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据共线求证，
（2）根据法向量与直线的方向向量垂直即可求解.
【详解】（1）证明：以
为原点，
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，
则
，
，
．
设平面
的法向量为
，
则
取
，则
，得
，
平面
．
（2）存在点
，使得
平面
，
在
的延长线上，且
．
由题意得
，
设
，则
，
平面
，得
．
32．三棱锥
中，
平面
，
，
，并且
是直角．
(1)求二面角
所成角的余弦值；
(2)若
，
，
上各取一点
，
，设
(
)，当
为何值时，平面
平面
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得二面角的平面角，由余弦定理求出结果；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由面面垂直的等价条件求出结果.
【详解】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
，
又平面
平面
,且
平面
,
平面
所以
即为二面角
的平面角，
设
，因为
是直角，所以
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，
所以在
中，由余弦定理知
,
又
，
所以二面角
所成角的余弦值为
.
（2）设
，因为
，
，
，
所以
与
全等，故
，
又因为
，所以
为等边三角形，所以
，
则
，所以
分别以
，
，
为
轴，
轴，
轴建立直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，取
，则
，
，所以
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，取
，则
，
，所以
，
若平面
平面
，则
，即
，解得
，
所以当
时平面
平面
.
