文档文本内容
专题 1.5 充分条件、必要条件
教学目标
1、理解充分条件、必要条件的意义；
2、会判断充分条件和必要条件
3、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；
4、会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；
5、能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明。
教学重难点
重点： 充分条件与必要条件以及充要条件概念的概念的理解；
难点：充分条件、必要条件的判断方法；会证明充要条件的关系。
知识点01 充分条件与必要条件
一般地,“若
,则
”为真命题,就说
是
的充分条件,
是
的必要条件.记作：
在逻辑推理中“
”的几种说法
(1)“如果
,那么
”为真命题.
(2)
是
的充分条件.
(3)
是
的必要条件.
(4)
的必要条件是
.
(5)
的充分条件是
.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
【即学即练】下列用符号“
”“
”表示正确的是（ ）
A．两直线平行
同位角相等
B．n 是4 的倍数
是偶数
C．
是偶数
是偶数
D．四边形对角线互相平分
四边形是矩形
【答案】A
【详解】由两直线平行得同位角相等，故A 正确：由n 是4 的倍数得n 是偶数，故B 错误；由
是偶数
得不到a，b 是偶数，如
，
，故C 错误；由四边形对角线互相平分得四边形是平行四边形，故D
错误．
知识点02 充分条件、必要条件 与充要条件的概念
（1）若
，则
是
的充分条件，
是
的必要条件；
（2）若
且
，则
是
的充分不必要条件；
（3）若
且
，则
是
的必要不充分条件；
（4） 若
，则
是
的充要条件；
（5）若
且
，则
是
的既不充分也不必要条件.
【即学即练】设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
，得
，由
，得
．当
时，不一定有
；当
时，一定有
．故“
”是“
”的必要不充分条件．
知识点03 从集合的角度理解充分与必要条件
若
以集合
的形式出现，
以集合
的形式出现，即
：
，
：
，则
（1）若
，则
是
的充分条件；
（2）若
，则
是
的必要条件；
（3）若
，则
是
的充分不必要条件；
（4）若
，则
是
的必要不充分条件；
（5）若
，则
是
的充要条件；
（6）若
且
，则
是
的既不充分也不必要条件.
【即学即练】已知集合
，以下判断正确的是（ ）
A．
是
的充分条件
B．
是
的既不充分也不必要条件
C．
是
的必要条件
D．
是
的充要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误.
【详解】对于A，当
时，
成立，
不成立，所以
不是
的充分条件，故A 错误；
对于B，因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
是
的充分条件，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，当
时，
成立，但
不成立，所以
不是
的必要条件，故C 错误；
对于D，因为
，
，所以
，所以
，所以
是
的充分条件，
由
，可得
，所以
，所以
是
的必要条件，
所以
是
的充要条件，故D 正确.
故选：D.
知识点04 充分性必要性高考高频考点结构
（1）
是
的充分不必要条件
且
（注意标志性词：“是”，此时
与
正常顺序）
（2）
的充分不必要条件是
且
（注意标志性词：“的”，此时
与
倒装顺序）
【即学即练】命题“
”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据命题的真假可得参数
的取值范围，进而确定其必要不充分条件.
【详解】命题的否定为：“
”
若该命题为真命题得
，所以
，
所以
为该命题的一个必要不充分条件，
故选：C.
题型01 充分条件、必要条件的判断
【典例1】设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
，得
，因为
不能推出
，但
可以推出
，所以
“
”是“
”的必要不充分条件.
【变式1】已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】若
，显然
所以“
”不是“
”的充分条件；
若
，显然
，所以“
”不是“
”的必要条件；
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【变式2】“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】由
可得
，
故“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A
【变式3】已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由
，得
或
，则
不一定成立，如
；
由
，得
且
，则
必成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
题型02 根据充分性，必要性求参数
【典例1】已知命题
，
，设
为假命题时实数
的取值范围为集合
．
(1)求集合
；
(2)设非空集合
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式
求解出
为真命题时
的范围，再根据补集思想求得结果；
（2）分析条件得到
⫋
，列出不等式组求解出结果.
【详解】（1）当
为真命题时，即“
，
”为真命题，
所以
，所以
或
，
所以若
为假命题，则
的范围是
，
所以
.
（2）因为
是
的必要不充分条件，所以
⫋
，
因为
时，若
⫋
，只需
，解得
，
经检验，
和
时满足条件，
综上所述，
的取值范围是
.
【变式1】已知集合
，集合
，且
是
的充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可得
，据此可得答案.
【详解】因
是
的充分条件，则
，故
，
则
.
故选：D
【变式2】（多选）集合
，
，若“
”是“
”的充分不必要条
件，则
可以是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】BCD
【分析】由题可得
是
的真子集，进而即得.
【详解】
，
由“
”是“
”的充分不必要条件，可得：
是
的真子集，
所以
，
故选：BCD
【变式3】（多选）若“
或
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的值可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据必要不充分条件的定义可得推出关系，由此可构造不等式求得结果.
【详解】由必要不充分条件定义可知：
或
，
或
，
或
，
或
，
实数
的值可以是
，
和.
故选：ABD.
【变式4】已知集合
，
．
(1)若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；
(2)若“
”是“
”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）因为“
”是“
”的必要不充分条件，可得A 是B 的真子集，则满足
，解得
，所以实数a 的取值范围为
．
（2）因为“
”是“
”的充分不必要条件，可得B 是A 的真子集．①当
，即
时，此时
，符合题意；②当
，即
时，则满足
，即
，解得
．
综上可得，实数a 的取值范围为
．
题型03 探索命题为真的充要条件
【典例1】已知集合
．
(1)若“
”是“
”的充分条件，求实数a 的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得“
”是“
”的充要条件？若存在，求出a 的值；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】解：（1）因为
，所以
．因为“
”是“
”的充分条
件，所以
解得
，所以实数a 的取值范围是
．
（2）因为
，若“
”是“
”的充要条件，则
解得
故a
不存在．
【变式1】已知
，
，若
是
的充要条件，则实数
．
【答案】5
【分析】根据充要条件列出等式求解即可.
【详解】因为
，又
，
是
的充要条件，
所以
，解得实数
．
故答案为：5
【变式2】关于x 的不等式|2x－3|＞a 的解集为R 的充要条件是 ．
【答案】a＜0
【分析】根据
得到a＜0.
【详解】由题意知
恒成立．
因为
，所以 a＜0.
故答案为：a＜0.
【变式3】
不等式
恒成立的充要条件是 ;
【答案】
【解析】先根据一元二次不等式恒成立得
，再根据充要条件概念即可得答案.
【详解】当
时，即
，当
时，
，不等式恒成立，满足条件,
时，不满足条件；
当
时，由一元二次不等式恒成立得：
，
解得：
或
.
综上：
.
所以,
不等式
恒成立的充要条件是
【点睛】本题考查充要条件的求解，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.
【变式4】已知集合
，集合
．
(1)若
是
成立的一个充分不必要条件，求实数
的取值范围；
(2)若
是
成立的充要条件，求实数
的值．
【答案】(1)
．
(2)2
【分析】（1）由题意
是B 的真子集，构造不等式即可求解；
（2）由题意得到
，进而可求解.
【详解】（1）由题意 A 是B 的真子集，所以
，即
，
所以实数
的取值范围为
.
（2）因为
是
成立的充要条件，所以
,
所以
，即
．即实数
的值为2．
题型04 易错题型：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
【典例1】若“
或
”是“
”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为
．
【答案】
【详解】由必要不充分条件的定义可知
或
，
或
，所
以
或
，即
或
．
【典例2】已知集合
，
或
(1)当
时，求
；
(2)若
，
或
，且p 的必要不充分条件是q，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）分别求出
，
，再根据集合的交集运算即可；
（2）由于
是
的必要不充分条件，可知
是
的真子集，再根据集合关系求出
的范围即可．
【详解】（1）
，
当
时，
或
．
．
（2）因为
，
或
．
是
的必要不充分条件，所以
或
，
所以
或
．
【变式1】命题
，
，若
的一个充分不必要条件是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解.
【详解】由条件可知，集合
是集合
的真子集，
所以
.
故选：D
【变式2】（多选）命题“存在
，使得
”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项.
【详解】存在
，使得
为真时，
当
时，
显然成立；
当
时，有
，解得
，
当
时，存在
，使得
；
所以存在
，使得
为真时，
，
命题“存在
，使得
”为假命题时
，
时，
不一定成立，不合题意；
时，
不一定成立，不合题意；
时，
必成立，反之
时，推不出
，符合题意；
时，
必成立，反之
时，推不出
，符合题意；
命题“存在
，使得
”为假命题的一个充分不必要条件是
；
故选：CD.
【变式3】已知集合
，
．若P 的充分条件为Q，则实数
m 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题干条件可知Q 是P 的子集，可分为当
为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即
得答案.
【详解】由已知，P 的充分条件为Q，则Q 是P 的子集，
当
时，即
时，
，满足题意；
当
，即
时，由题意得
，解得
，
综上，m 的取值范围是
．
1．已知集合
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由
，可得
，又
，所以
，
由
，得
，
因此“
”是“
”的充要条件．
故选：A
2．已知
和
，且p 是q 的必要条件，则实数m 的值为（ ）
A．0
B．2 或
C．
或
D．0 或
或
【答案】D
【详解】解法1
．因为p 是q 的必要条件，所以
．当
，即
时，符合题意；当
时，由
，得
或
，解得
或
．综上所述，m 的值为0 或
或
．
解法2（代入法）
，当
时，
，符合题意；当
时，
；当
时，
，均满足题意．
3．已知
，
，若
是
的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，即
．
4．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解出两不等式的解集，并根据其包含关系判断即可.
【详解】易知不等式
的解集为
，
不等式
的解集也为
，
所以“
”是“
”的充分必要条件.
故选：C
5．若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，当
时，
，即
，解得
，故此时
符合题意．当
时，
，所以
，故
符合题意．由
得
，由题可知
是
的子集，所以
．
6．使不等式
成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解不等式
可得
，结合充分条件及必要条件的定义判断结论.
【详解】解不等式
，可得
，
所以不等式
成立的一个充分不必要条件必须为
的非空真子集，
所以可以排除选项A，B，C，
因为由
可推得
，由
不能推得
，
所以使不等式
成立的一个充分不必要条件为
．
故选：D．
7．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】直接利用绝对值不等式的解法以及充分性和必要性判断结果．
【详解】由于
，整理得
，故
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，故A 正确．
故选：A.
8．（多选）一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】由题意得
解得
．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D 符合题
意．
9．使得
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由
得到
或
，再结合充分不必要条件的概念即可求解；
【详解】由
解得
或
，
各选项中，BCD 对于的集合均为不等式解集的真子集，
所以使得
成立的一个充分不必要条件有BCD 三个选项，
故选：BCD.
10．已知集合
，
．若“
”是“
”的充分不必要条件，
则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】
．因为
，所以集合
不是空集，即
，解
得
．由题意知集合A 是集合
的真子集，即
或
，解得
或
．综上所述，
实数a 的取值范围为
．
11．设全集
，集合
，集合
，其中
.
(1)当
时，求
；
(2)若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式，得到
，
，利用交集概念求出答案；
（2）求出
，得到
为
的真子集，从而得到不等式，求出答案.
【详解】（1）由
得：
，解得：
，即
，
当
时，
，
解得：
，即
；
故
；
（2）由（1）知：
；
由
得：
，
即
，
因为“
”是“
”的必要不充分条件，所以
为
的真子集.
或
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
12．设
实数
满足
，
：实数
满足
.
(1)若
，且
都为真命题，求
的取值范围；
(2)若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可.
(2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知
所代表的范围是
所代表的范围的真子集，列出不等式组，
进而即得.
【详解】（1）
时，
，
，
即
，
由
得
，解得
又
，
而
，
都为真命题，所以
；
（2）
，
，
由
是
的充分不必要条件，则
等号不同时成立，又因为
，
所以
.
13．已知集合
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)设命题
，命题
，若
是
成立的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
．
【分析】（1）先解分式不等式得集合
，再利用集合的并集定义求解；
（2）由
推出
，对集合
是否为
分类讨论，求解即得；
（3）由必要不充分条件可得
是
的真子集，列出不等式组，求解即得.
【详解】（1）由不等式
移项可得
，通分得到
．
即
，解得
，故
．
当
时，
，则
.
（2）由
，可得
，
因为
，
当
时，
，解得
，满足题意；
当
时，则
，解得
，
综上，
，故实数
的取值范围为
.
（3）由题意可得，
是
的充分不必要条件，故
是
的真子集，
又
，
，
则
，解得
，故实数
的取值范围是
．
14．已知全集
，集合
，集合
.
(1)当
时，求
；
(2)设命题
，
，若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）当
时，求出集合
、
，利用补集和交集的定义可求得集合
；
（2）分析可知，
是
的真子集，根据集合的包含关系可得出实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
且
，
则
或
，故
或
.
（2）因为
是
的充分不必要条件，则
是
的真子集，且
，
，
故
，即实数
的取值范围是
.
