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1
辅助圆思想 题集【A】最值问题
1. 定义法确定圆的轨迹
A.
B.
C.
D.
1. 如图，已知
是⊙
外一点，
是⊙
上的动点，线段
的中点为
，连接
，
．若⊙
的半
径为，
，则线段
的最小值是（ ）．
2. 如图，已知线段
，
，以
为圆心
为半径作⊙
，点
为⊙
上任意一点，连结
，取
中点
，连接
，则
的最大值为 ．
3. 如图，
，
是正方形
的边
上两个动点，满足
．连接
交
于
，连接
交
于点
．若正方形的边长为，则线段
长度的最小值是 ．
4. 如图，矩形
中，
，
，点
是边
上一动点，
为
的中点，
是
上一
点，且满足
，连接
，当点
在
上运动的过程中，
长的最小值为 ．
2
旋转
（1 ）
（2 ）
1. 阅读材料
如图，若点
是⊙
外的一点，线段
交⊙
于点
，则
长是点
与⊙
上各点之间的最短距
离．
图
图
证明：延长
交⊙
于点
，显然
．
如图，在⊙
上任取一点
（与点
，
不重合），连结
，
．
∵
，
且
，
，
∴
，
∴
长是点
与⊙
上各点之间的最短距离．
由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．
请用上述真命题解决下列问题．
如图，在
中，
，
，以
为直径的半圆交
于
，
是
上的一个动点，连接
，则
长的最小值是 ．
图
如图，在边长为的菱形
中，
，
是
边的中点，点
是
边上一动
点，将
沿
所在的直线翻折得到
，连接
，①求线段
的长度；②
求线段
长的最小值．
图
2.
3
（1 ）
（2 ）
如图所示，正六边形
的边长为，点
从
点出发沿
运动至点
，点
是点
关于直线
对称的点．
点
从点
运动至
过程中，下列说法正确的有 ．（填序号）
①当点
运动到
时，线段
长为
．
②点
沿直线从
运动到
．
③点
沿圆弧从
运动到
．
点
从点
运动至
的过程中，点
到
的距离的最小值是 ．
3. 如图，正方形
中，
，以
为圆心，
长为半径画
，点
在
上移动，连接
，并将
绕点
逆时针旋转
至
，连接
．在点
移动的过程中，
长度的最小值
为
．
4. 如图，正方形
的边长为
，正方形
的边长为
．如果正方形
绕点
旋转，
那么
、
两点之间的最小距离是
．
5. 如图，正方形
与正方形
的边
、
在一条直线上，正方形
以
点
为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点
重合，其它顶点均
不重合，连接
、
．
4
（1 ）
（2 ）
图
当正方形
旋转至如图所示的位置时，求证：
．
当点
在直线
上时，连接
，直接写出
的度数．
图
2. 对角互补确定圆的轨迹
1. 如图，正方形
边长为，点
、
分别是边
、
上的点，
，连接
、
交
于点
，则
的最小值 ．
A.
B.
C.
D.
2. 如图，定长弦
在以
为直径的⊙
上滑动（点
、
与点
、
不重合），
是
的中点，过
点
作
于点
，若
，
，
，则的最大值是 ．
3. 如图，
为直径，
，
，
为圆上两个动点，
为
中点，
于
，当
，
在
圆上运动时保持
，则
的长（ ）．
5
A. 随
，
的运动位置而变化，且最大值为
B. 随
，
的运动位置而变化，且最小值为
C. 随
，
的运动位置长度保持不变，等于
D. 随
，
的运动位置而变化，没有最值
3. 定弦定角确定圆的轨迹
1. 如图，⊙
的直径为，
为⊙
上一个定点，
，动点
从
点出发沿半圆弧
向
点
运动（点
与点
在直径
的异侧），当
点到达
点时运动停止，在运动过程中，过点
作
的
垂线
交
的延长线于
点．在点
的运动过程中，线段
长度的最大值为 ．
2. 如图，在
中，
，
，
，在线段
上有一动点
（
不与
重
合），以
为直径作⊙
交
于
点，连
，则
的最小值为 ．
图
（1 ）
（2 ）
3. 解答下列各题．
如图，已知
中，
，
，则
．
如图，在平面直角坐标系
中，点
在轴上运动，点
在轴上运动，且
，求
的面积的最大值．
6
图
（3 ）如图，⊙
的半径为，弦
，点
为优弧
上一动点，
交射线
于
点
，请问，
的周长存在最大值还是最小值？若存在，求出相应的最值；若不存
在，说明理由．
图
