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巧解分式方程 题集【A】
1. 分离常数法
1.
【解析】
【标注】
已知正整数、满足
，求所有符合要求的的值．
【答案】符合要求的的值为，，．
，
∵、均为正整数，
∴
，，，
，
∴
（舍），，，，
∴符合要求的的值为，，．
【知识点】解可化为一元一次方程的分式方程
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
解方程：
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
，
，
，
，
把
代入到
，
∴
是原方程的解．
2
（2 ）
【标注】
方程可化为
，
，
，
，
把
代入到
，
∴
是原方程的解．
【知识点】解可化为一元一次方程的分式方程
2. 裂项法
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
1
（3 ）
【解析】
解答下列问题：
观察下面的变形规律：
，
，
，…，
则当为正整数时，请你猜想
．
若
为正整数，我们把
称为单位分数，试把
分解成两个单位分数之和．
对于正整数、定义一种新运算“*”；
等于由开始的连续个正整数之和的倒数，比
如，
．
若
等于
，求的值．
计算：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
．
．
．
由规律可得：
．
．
由题意可得：
，
∴
，
解得
．
3
2
【标注】
∵
，
∴原式
，
．
【知识点】定义新运算
2.
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】
．
，
，
，
，
，
经检验：
为原分式方程的解．
【知识点】解可化为一元一次方程的分式方程
3.
【解析】
【标注】
分式方程
的的值为 ．
【答案】
将分式方程变形为
．
整理得
，方程两边都乘以
，得
，解得
．
经检验，
是原分式方程的解．
【知识点】解可化为一元一次方程的分式方程
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3. 换元法
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元
法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问
题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，复杂问题简单化，变得容易处
理．
例如：在分解因式
时，可以令
，则：
原式
．
根据上述知识，请用换元法解决如下问题：
因式分解：
；
解方程组：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
设
，
则原式
．
设
，
，
则原方程化为
，解得
，
故
，解得
．
【知识点】换元法解分式方程
2.
【解析】
【标注】
用换元法解方程
时，可设
，则原方程可化
为 ．
【答案】
换元可得
．
【知识点】换元法解分式方程
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3.
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】原方程的解为
．
设
，那么
．
则原方程可化为
，
解得
，
．
解
，得
．
解
，无解．
经检验，
为原方程的解．
【知识点】换元法解分式方程
【方法】配方法
4.
【解析】
【标注】
解方程
【答案】答案见解析
设
，则原方程可化为
，
即
，解方程得：
，
当
时，有
，即
，此方程无实数根
当
时，有
，即
，解得：
经检验，
是原方程的根，原方程的根式
．
【知识点】换元法解分式方程
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
5. 解下列关于的方程：
．
．
．
．
【答案】（1 ）
．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
（4 ）
．
．
或
．
原方程可化为
检验：当
时，
，
∴原方程的解为
．
原方程可化为
．
检验：当
时，
，
∴原方程的解为
．
原方程可化为
∴
或
检验：当
时，
，
当
时，
，
∴原方程的解为
．
原方程可化为
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【标注】
，
设
，则
∴
或
，
∴
或
，
解得
或
．
检验：当
时，
，当
时，
．
∴原方程的解为
或
．
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
