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1
【章节复习】题集【B】
一、选择
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，在
中，点
、
分
、
边上，
，若
，
，
，则
等于（ ）．
【答案】D
在
中，
∵
，
∴
．又
，
，
，解得
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
2.
【解析】
如图，点
、
分别在
的
、
边上，下列条件中：①
；②
；
③
， 使
与
一定相似的是（ ）．
【答案】C
∵
，
，
∴
，
2
【标注】
∵
，
，
∴
，
∴①③都可以证明
．
【知识点】相似反8字型
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
3.
【解析】
【标注】
张华同学身高为
米，某一时刻他在阳光下的影长为米，与他邻近的一棵树的影长为米，则这棵
树高为（ ）．
【答案】B
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的
太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为
，
则可列比例为，
解得，
，即这棵树高为
米．
【知识点】相似三角形与实际问题
【知识点】比例线段的性质
x
5
y
5
O
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
如图，
缩小后变为
，其中
、
的对应点分别为
、
，点
、
、
、
均在图
中格点上．若线段
上有一点
，则点
在
上的对应点
的坐标为（ ）．
【答案】D
3
【标注】
∵
缩小后变为
，其中
、
的对应点分别为
、
，点
、
、
、
均在图中
格点上，即
点坐标为：
，
点坐标为：
，
点坐标为：
，
点坐标为：
，
∴线段
上有一点
，则点
在
上的对应点
的坐标为：
．
【知识点】位似图形的性质
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
已知两点
，
，且
，则点
的坐标为（ ）．
【答案】D
共边共角型相似．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】相似三角形的判定-预备定理（平行）
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】坐标与距离
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
6. 如图，弦
和
相交于
内一点
，则下列结论中不一定成立的是（ ）．
4
A.
B.
C.
D.
【标注】
【答案】B
【知识点】圆与相似
二、填空
1.
【解析】
【标注】
如果两个相似三角形的面积比是
，那么它们的相似比是 ．
【答案】
∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，面积比为
，
∴相似比为
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
2.
【解析】
如图，在平行四边形
中，点
是边
的中点，
交对角线
于点
，若
，则
．
【答案】
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∵
是边
的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
5
【标注】
∴
．
故答案为：．
【知识点】相似三角形的判定-预备定理（平行）
3.
【解析】
【标注】
如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在
、
的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里
边，已知甲身高
米，乙身高
米，甲的影长是米，则甲、乙同学相距 米．
【答案】
如图所示：
由已知可得：
，
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
∴
，解得
．
∴
∴甲、乙同学相距
．
【知识点】相似三角形与实际问题
4. 如图，在矩形
中，由个面积均为的小正方形组成的模板如图所示放置，则矩形
的
周长为 ．
6
【解析】
【标注】
【答案】
由图知：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
又∵
，
在
中：
，
∴
，
，
∴
，
，
∴矩形
的周长为
．
【知识点】一线三等角相似
5.
【解析】
如图，
是半⊙
的直径，且
．点
是半⊙
上的一个动点（不与点
、
重合），过点
作
，垂足为
．设
，
，则
的最大值等于 ．
【答案】
，
，
7
【标注】
即
．
，
当
时，
最大为．
【知识点】射影定理（双垂直）
6.
【解析】
【标注】
如图，已知图中的每个小方格都是边长为的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若
与
是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
【答案】
连接
，
，易得交点为
，
故答案为：
．
【知识点】确定位似中心
8
7.
【解析】
【标注】
如图，一等腰三角形，底边长是
厘米，底边上的高是
厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均
为厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个．
【答案】
已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是，
所以根据三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为，
则
，
解得
，
所以另一段长为
，
因为
，
所以是第张．
故答案为：．
【知识点】一元一次方程的几何问题
三、解答
（1 ）
（2 ）
1. 如图，正方形
中，
为
上一点，
是
的中点，
，垂足为
，交
的延长
线于点
，交
于点
．
求证：
∽
．
若
，
，求
的长．
9
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
，
∴
，
，
∵
是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
2.
【解析】
已知：如图，
中，
，
，
为
边上一点，
．求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
10
【标注】
∵
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
在方格纸中．
请在方格纸上建立平面直角坐标系，使
，
，并求出
点坐标．
以原点
为位似中心，相似比为，在第一象限内将
放大，画出放大后的图形
．
【答案】（1 ）
（2 ）作图见解析．
如图所示：点
的坐标为
．
如图所示：
11
【标注】【知识点】象限内坐标的特征
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
【解析】
在
中，点
为
上一点，点
为
上一点，且
．
如图，若
，求证：
．
图
如图，若
，求证：
．
图
在（）的条件下，若
，且
，
，直接写出线段
的
长．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
∵
12
（2 ）
（3 ）
，
∴
，
∵
，
∴
．
∴
.
∴
．
∵
，
∴
．
以
点为顶点，
为一边，在
的内部作
，交
于
，
∵
为公共角，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
,
∵
，
,
∴
,
∵
,
∴
．
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
图
过点
作
于
．
图
∵
，
13
【标注】
∴
，
．
∴
．
∵
，
∴设
，则
，
在
上取一点
，使
，
∴
，
∵
，
∵
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，解得
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
，
（1 ）
（2 ）
5.
中，
．取
边的中点
，作
于点
，取
的中点
，连接
，
交
于点
．
如图，如果
，那么
，
．
图
如图，如果
，猜想
的度数和
的值，并证明你的结论．
14
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
如果
，那么
．（用含的表达式表示）
α
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
，
．
结论：
，
．
如图，连接
．
∵
，
，
∴
是等边三角形．
∵
为
的中点，
∴
．
15
（3 ）
【标注】
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
设
，
则
，
．
∵
为
的中点，
∴
，
．
∴
，
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
，
．
又∵
，
，
∴
．
∴
．
．注：写
或其他答案相应给分．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
6. 如图，在梯形
中，已知
，
，
，
，
，在线段
上任取一点
，连接
，做
，交直线
于点
．
若点
与
重合，求
的长．
若点
在线段
上，且
，求
的长．
【答案】（1 ）
．
16
（1 ）
（2 ）
【解析】
（2 ）
．
当
与
重合时，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
．
过点
作
于
，
∵
，
∴
，
∴
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
，
设
，则
，
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
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【标注】
∴
，
∴
，
解得
，
，
∵点
在线段
上，
，
∴
（舍去），即
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
在
中，
，
，
．现有动点
从点
出发，沿
向点
方
向运动，动点
从点
出发，沿线段
向点
方向运动．如果点
的速度是
秒，点
的速度是
秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为秒．
用含的代数式表示
的面积．
当
秒时，
、
两点之间的距离是多少．
当为多少秒时，以点
、
、
为顶点的三角形与
相似．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
秒或
秒时，以点
、
、
为顶点的三角形与
相似．
由题意得
，
，则
，
因此
的面积为
．
当
秒时，
，
，
由勾股定理得
．
分两种情况：
①当
时，
，即
，解得
秒．
②当
时，
，即
，解得
秒．
因此
秒或
秒时，以点
、
、
为顶点的三角形与
相似．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
18
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知锐角
中，边
长为
，高
长为．
如图，矩形
的边
在
边上，其余两个顶点
、
分别在
、
边上，
交
于点
．
①求
的值．
②设
，矩形
的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值．
若
，正方形
的两个顶点在
一边上，另两个顶点分别在
的另
两边上，直接写出正方形
的边长．
【答案】（1 ）
（2 ）
①
．
②
，
．
正方形
的边长为
或
．
①由矩形
可得，
，
，
∴
，
．
∴
．
②∵
，
∴
∴
，
，
∴
．
∵
，
，
，
∴
，
∴
．
∴
．
设正方形的边长为，
①当正方形
的两个顶点在
边上时：
，
19
【标注】
解得
．
②当正方形
的两个顶点在
或
边上时，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
或
边上的高
，
∴
，
解得
．
综上，正方形
的边长是
或
．
【知识点】三角形内接四边形问题
