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1
轴对称【章节复习】题集【A】
一、选择题
A.
B.
C.
或
D. 以上都不对
1.
【解析】
【标注】
等腰三角形的周长为
，其中一边长为
，则该等腰三角形的底边为（ ）．
【答案】C
①若
为腰，则底边
．
②若
为底，则腰长
．
【知识点】已知两边求第三边或周长
A.
B.
C.
或
D.
或
2.
【解析】
【标注】
如果等腰三角形的一个角为
，那么这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）．
【答案】D
该角可能为等腰三角形的顶角或底角，
当为底角时，顶角为
，
故这个等腰三角形的顶角的度数为
或
．
【知识点】已知一角求其余两角
A. ①②③④
B. ②③④
C. ①②③
D. ①②
3.
【解析】
下列三角形：①有两个角等于
，②有一个角等于
的等腰三角形，③三个外角（每个项点处各
取一个外角）都相等的三角形，④有一条边上的高和中线重合的三角形．其中是等边三角形的有（
）．
【答案】C
①有两个角等于
，则第三个角也是
，即是等边三角形．
②有一个角等于
的等腰三角形，则其它两个角也是
，即是等边三角形．
③三个外角都相等，那么它的三个内角也一定相等，即是等边三角形．
2
【标注】
④有一条边上的高和中线重合的三角形，是等腰三角形，不一定是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
如图，在等腰
中，
，
，
，则
等于（ ）．
【答案】C
∵
，
，
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
【知识点】腰上的高与腰的夹角问题
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
如图，在
中，
，
，
，
，
垂直平分
，点
为直
线
上的任一点，则
的最小值是（ ）．
【答案】B
∵
垂直平分
，
3
【标注】
∴点
、
关于
对称，
设
交
于点
，
∴当
与
重合时，
的值最小，最小值等于
的长，
故正确答案为．
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】轴对称的定义
【能力】推理论证能力
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
【标注】
如图，直线表示一条河，点
，
表示两个村庄，想在直线上的某点
处修建一个水泵站向
，
两
村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短
的是（ ）．
【答案】D
作点
关于直线的对称点
，连接
交直线于
，根据两点之间，线段最短，可知选
项
铺设的管道最短．
故选
．
【知识点】线段和的最小值
7.
4
A. ①
B. ②
C. ①和②
D. ①和②和③
【解析】
【标注】
如图，
，
于
，
于
，
与
交于点
．有下列结论：①
≌
；②
≌
；③点
在线段
的垂直平分线上．以上结论正确的有（ ）．
【答案】D
①∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
，
∴
≌
．
②由①得：
≌
，
∴
，
，
又∵
与
交于点
，
∴
，
∴
≌
．
③由①得：
≌
，
∴
，
∴
是等腰三角形，
∵等腰三角形三线合一，
∴点
在线段
的垂直平分线上，
综上，①、②、③结论均正确，故答案选
．
【知识点】多解或多种判定混合
二、填空题
1.
【解析】
若等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为
，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
【答案】
，
，
如图，
5
【标注】
∵一腰上的高与底边的夹角为
，
∴底角
，
∴顶角
．
故答案为：
．如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵
，
，
∴
，
即顶角的度数为
．
如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵
，
，
∴
，
∴
．
故答案为：
，
，
．
【知识点】腰上的高与腰的夹角问题
2. 如图，
中，
，
的垂直平分线交
于
点，若
，
，
的周长等于
．
6
【解析】
【标注】
【答案】
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
的垂直平分线交
于
，
∴
，
∴
，
∴
周长
．
【知识点】已知两边求第三边或周长
3.
【解析】
【标注】
如图，
为等边三角形，
，
，则
．
【答案】
∵
为等边三角形，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】等边三角形的性质
7
三、解答题
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
是
的垂直平分线．
求证：
是等腰三角形．
若
的周长是，
，求
的周长．（用含，的代数式表示）
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵在
中，
，
，
∴
，
又∵
是
的垂直平分线，
∴在
中，
，
∴
，则
，
∴
，
故
是等腰三角形．
由（）知
是等腰三角形，即
，
∴
，
∵
是
的垂直平分线，
∴
，
又∵
的周长是，
∴
，
，
∴
的周长
．
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【能力】推理论证能力
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
已知：如图，在
中，
，
是
的角平分线，
平分
，交
与点
，
．
求
的度数．
如果
，求
的长度．
判断
与
的位置关系： ．
依据是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
垂直 ; 等腰三角形三线合一
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
又∵
，
∴
．
，
依据是等腰三角形三线合一，
证：
，
∴
．
∵
平分
，
9
【标注】
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
回答下列问题：
如图，在
中，点
，
分别是
，
的中点，请你在
边上确定一点
，使
的周长最小（要求：保留作图痕迹，不写作法，但要说明点
是如何确定的）
如图，
内有一顶点
，试在
，
上各找一点
，
，使
得周长最小（要
求：保留作图痕迹，不写作法，但要说明点
，
是如何确定的）
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
画图见解析．
过
作
于
，并延长
值
点，使
，
连
交
于点
，则点
为所求的点，此时
的周长最小．
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（2 ）
【标注】
过
分别作
于
，
于
，并分别延长
至
点，
使
，延长
至
点，使
，
连
交
于点
，交
于点
，则点
，
为所求的点．此时
的周长最小．
【知识点】轴对称的定义
【知识点】轴对称的性质
（1 ）
（2 ）
4. 如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是，点
，
，
．
y
x
作
关于轴对称的
．
在轴上找出点
，使
最小，并直接写出点
的坐标．
【答案】（1 ）画图见解析．
11
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）画图见解析．点
的坐标为
．
如图所示：
y
x
如图所示：点
的坐标为
．
y
x
【知识点】坐标系中的对称-图形的对称
【知识点】坐标系中的对称-点关于坐标轴对称
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
阅读材料：把形如
的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配
方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即
．请根据阅读材料解决下列问
题：
填空：
．
若
，求
的值．
若、、分别是
的三边，且
，试判断
的形状，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
为等边三角形．
．
12
（2 ）
（3 ）
【标注】
，
，
，
解得：
，
，
所以：
．
∵
，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴
为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 已知如图：
中，
，
、
的平分线相较于点
，过点
作
分别交
、
于
、
．
写出线段
与
、
之间的数量关系？（不证明）
若
，其他条件不变，如图，图中线段
与
、
间是否存在（）中数量关
系？请说明理由．
若
中，
，
的平分线与三角形外角
的平分线
交于
，过点
作
交
于
，交
于
，如图，这时图中线段
与
、
间存在什么数量关
系？请说明理由．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
仍然有
．
．
．
仍然有
，理由如下：
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，同理
，
∴
．
，理由如下：
∵
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理可得到
，
∴
．
【知识点】线段和差-不需要分类讨论
【知识点】角分线性质定理
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
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（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知
是等边三角形，点
、
分别在
、
上，且
．
求证：
≌
．
求出
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
是等边三角形，
∴
(等边三角形三边都相等)，
，(等边三角形每个内角是
)．
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∵
≌
(已证)，
∴
(全等三角形的对应角相等)，
∵
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)
∴
，
∴
．
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】SAS
8. 如图，
为等边三角形，
，
，
相交于点
，
于点
，
，
．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
为等边三角形，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
∵
≌
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴在
中，
，
又∵
，
∴
．
16
【标注】【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】30°特殊角的性质应用
【知识点】等边三角形的性质
【能力】推理论证能力
