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1
轴对称【章节复习】题集【B】
一、选择题
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，已知
，点
在边
上，
，点
，
在边
上，
，若
，则
（ ）．
【答案】C
过
作
，交
于点
，
在
中，
，
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
2. 如图，
为
内一点，
平分
，
，垂足为点
，交
于点
，
，
，
，则
的长为（ ）．
2
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】A
∵
平分
，
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
故选：
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
如图，已知：
，点
、
、
…在射线
上，点
、
、
…在射线
上，
、
、
…均为等边三角形，若
，则
的边长为（
）．
O
N
M
【答案】C
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
3
A1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
14
【标注】
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
、
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
，
以此类推：
．
【能力】推理论证能力
【知识点】等边三角形的性质
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
4.
【解析】
【标注】
在平面直角坐标系
中，已知点
，在轴上确定点
，使
为等腰三角形，则符合
条件的点
有（ ）．
【答案】D
分二种情况进行讨论：
当
为等腰三角形的腰时，以
为圆心
为半径的圆弧与轴有两个交点，以
为圆心
为半
径的圆弧与轴有一个交点；
当
为等腰三角形的底时，作线段
的垂直平分线，与轴有一个交点．
∴符合条件的点一共个．
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
5. 已知，如图，
是等边三角形，
，
于
，
交
于点
，下列说法：
①
，②
，③
，④
，其正确的结论有（ ）．
4
A. ①②④
B. ①②③
C. ②③④
D. ①③④
【解析】
【标注】
【答案】D
∵
是等边三角形，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴在
与
中，
，故①正确．
∵
，
∴
，
∴
，故②正确，
，
，
∴
，
∴
，故④正确，
无法判断
，故②错误．
故选
．
【知识点】等边三角形与全等
二、填空题
1. 如图，
，
，
的垂直平分线
交
于点
，则
．
5
【解析】
【标注】
【答案】
∵
，
，
∴
，
∵
的垂直平分线
交
于点
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【能力】推理论证能力
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【知识点】三角形内角和的应用
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
2.
【解析】
如图，
，点
为
内一点，
．点
、
分别在
、
上，则
周长的最小值为 ．
A
O
B
M
N
P
【答案】
过
作关于直线
、
的对称点
、
，
连
、
交
于
点，交
于
点，
6
【标注】
A
O
B
M
N
P
P1
P2
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】轴对称的定义
3.
【解析】
如图，
中，
，
，
于
，
是
的平分线，且交
于
点．如果
，则
的长为 ．
【答案】
∵
中，
，
，
∴
又∵
是
的平分线，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
的等边三角形，则
，
在直角中
，
，则
，
∴
，
∴
．
7
【标注】【知识点】角分线性质定理
【知识点】等边三角形的性质
4.
【解析】
【标注】
为等边三角形，
，
，
分别在边
，
，
上，且
，则
为 三角形．
【答案】等边 或 正
∵
为等边三角形，
∴
，
又
，
∴
，
∴
≌
≌
，
∴
，
即
为等边三角形．
故填等边．
【知识点】等边三角形的判定
三、解答题
1. 如图，在所给网络图（每小格均为边长是的正方形）中完成下列各题：
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
画出格点（顶点均在格点上）关于直线
对称的
．
在
上画出点
，使
最小．
求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
画图见解析．
．
考查将军饮马最值问题，过点
做
的对称点
，连接
，交
于点
．
9
（3 ）
【标注】
对称后面积不变，所以
的面积等于的面积，
．
【知识点】轴对称的性质
【知识点】坐标系中的对称-图形的对称
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
是等边
内的一点，已知
，
，
，
≌
．
求证：
是等边三角形．
若
，试判定
的形状，并说明理由．
当
是等腰三角形时，试求出的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
直角三角形，理由见解析．
或
或
∵
≌
，
∴
，
，
∴
是等边三角形．
∵
∴
10
（3 ）
【标注】
∴
∴
是直角三角形．
∵
，
，
．
①
；
②
，
；
③
，
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知在
中，
于点
，
，点
为
左侧一动点，如图所示，点
在
的延长线上，
交
于
，且
．
B
C
A
E
D
O
F
求证：
．
求证
平分
．
若在
点运动的过程中，始终有
，在此过程中，
的度数否发生变
化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
的度数不变化．
∵
，
，
又∵
，
∴
．
11
（3 ）
【标注】
过点
作
于点
，作
于点
，
B
C
A
E
D
O
M
N
F
则
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∴
平分
．
在
上截取
，连接
．
B
C
A
E
D
O
P
F
∵
，
∴
．
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，即
是等边三角形，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
4. 解答下列问题：
问题发现：
如图，
和
均为等边三角形，点
、
、
在同一直线上，连接
．
12
1
2
（2 ）
1
（1 ）
【解析】
填空：
的度数为 ．
判断线段
、
之间的数量关系，并说明理由．
拓展探究：
如图，
和
均为等腰直角三角形，
，点
、
、
在同
一直线上，
为
中
边上的高，连接
．求
的度数及线段
、
、
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
．
．
∵
和
均为等边三角形，
∴
，
，
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
．
∵
为等边三角形，
∴
．
∵点
、
、
在同一直线上，
∴
．
13
2
（2 ）
【标注】
∴
．
∴
．
∵
≌
，
∴
．
∵
和
均为等腰直角三角形，
∴
，
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∵
为等腰直角三角形，
∴
．
∵点
、
、
在同一直线上，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】对应边
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
5. 已知
为等边三角形，点
为直线
上的一动点（点
不与
、
重合），以
为边作等边
（顶点
、
、
按逆时针方向排列），连接
．
如图，当点
在边
上时，求证：①
；②
．
14
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
如图，当点
在边
的延长线上且其他条件不变时，结论
是否成立？若不
成立，请写出
、
、
之间存在的数量关系，并说明理由．
如图，当点
在边
的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出
、
、
之间存在的数量关系．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
画图见解析．
∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
．
∴
，即
．
在
和
中，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
，
15
（2 ）
（3 ）
∴
．
不成立，
、
、
之间存在的数量关系是：
．
理由：∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
．
∴
，
∴
在
和
中，
∴
≌
∴
∴
，
∴
．
补全图形（如图）
、
、
之间存在数量关系是：
．
理由：∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
．
∴
，
∴
在
和
中
∴
≌
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
16
【标注】【知识点】动点与线段-无数轴
