专题03
不等式与不等关系压轴题
1.两个实数比较大小的方法
(1).作差法(a，b∈R)
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
0
0
0
(2)作商法（
0
a
，
0
b
）
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
1
1
1
2.不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
<
a.
(2)传递性：a>b，b>c⇒a
>
c.
(3)可加性：a>b⇔a＋c
>
b＋c；
a>b，c>d⇒a＋c
>
b＋d.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac
>
bc；
a>b，c<0⇒ac
<
bc；
a>b>0，c>d>0⇒ac
>
bd.
(5)可方性：a>b>0，n∈N*⇒an >
bn；
a>b>0，n∈N*⇒n a__>__n b.
(6)倒数性质：a>b，ab>0⇒1
a
<
1
b；
1
a<1
b，ab>0⇒a
>
b.
题型一
不等式的性质
例1.（1）（多选题）对于实数a ，b，c，下列命题是真命题的是（
）
A．若a
b
，c
d
，则a
c
b
d
B．若
2
2
ac
bc
，则a
b
C．若
0
a
b
，则
2
2
a
ab
b
D．若a
b
，则ac
bc
【答案】ABC
【分析】对于A：利用同向不等式相加可以证明；
对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；
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对于D：取特殊值c=0 即可否定结论.
【详解】对于A：因为c
d
，所以c
d
.
因为a
b
，所以a
c
b
d
.故A 正确；
对于B：因为
2
2
ac
bc
，所以
2
0
c
，所以
2
1
0
c
.
对
2
2
ac
bc
两边同乘以
2
1
c 得到：a
b
.故B 正确.
对于C：因为
0
a
b
，所以
0
a
，对a
b
两边同乘以
0
a
得到：
2
a
ab
，所以
2
a
ab
.
同理可证：
2
ab
b
.所以
2
2
a
ab
b
.故C 正确.
对于D：取c=0，则ac
bc
.故D 错误.
故选：ABC
（2）．已知2
5,0
1
a
b
a
b
，某同学求出了如下结论：①1
3
a
；②1
2
b
；③1
5
2
2
b
；
④4
2
2
a
b
；⑤3
2
1
a
b
；⑥1
2
4
a
b
；，则下列判断中正确的是（
）
A．①③④
B．①②④
C．①②⑤
D．①③⑥
【答案】D
【详解】
1
1
(
)
(
)
2
2
a
a
b
a
b
,
1
5
2
5,1
(
)
2
2
a
b
a
b
,
1
1
0
1,0
(
)
2
2
a
b
a
b
,则1
3
a
，①正
确；
=
b
1
1
(
)
(
)
2
2
a
b
a
b
，
1
5
1
(
)
2
2
a
b
，
1
1
0
(
)
2
2
a
b
，
1
1 (
)
0
2
2 a
b
，则1
5
2
2
b
，③正确；
1
3
2
(
)
(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
，
5
1
<
( + )< 1
2
2 a b
，
3
3
0
(
)
2
2
a
b
，
则
5
1
2
2
2
a
b
，②④⑤错误，
1
3
2
(
)
(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
，
1
5
1
(
)
2
2
a
b
，
3
3
0
(
)
2
2
a
b
，则1
2
4
a
b
⑥正确；判断中正确的是①③⑥，选D.
练习题：
（1）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（
）
A．若a
b
，则
2
2
ac
bc
B．若a
b
，则
2
2
a
b
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C．若a
b
，则
|
|
|
|
a a
b b
D．若
0
a
b
c
，则
b
c
a
b
a
c
．
【答案】C
【分析】ABD 选项，由做差法可判断大小；C 选项，分
0
0
0
,
,
a
b
a
b
a
b
三种情况讨论即
可判断大小.
【详解】A 选项，
2
2
2
0
ac
bc
a
b c
，故A 错误；
B 选项，
2
2
a
b
a
b
a
b
，因不清楚a
b
的正负情况，故B 错误；
C 选项，当
0
a
b
时，
2
2
|
|
|
|
0
a a
b b
a
b
a
b
a
b
；
当
0
a
b
时，
2
2
|
|
|
|
0
a a
b b
a
b
，
当0
a
b
时，
2
2
|
|
|
|
0
a a
b b
a
b
b
a
a
b
，
综上
|
|
|
|
a a
b b
，故C 正确；
D 选项，
0
a b
c
b
c
a
b
a
c
a
b
a
c
，故D 错误.
故选：C
（2）．下列说法中，错误的是（
）
A．若
0,
0
a
b
c
d
，则一定有a
b
c
d
B．若
2
2
a
b
c
c
，则a
b
C．若
0,
0
b
a
m
，则a
m
a
b
m
b
D．若
,
a
b c
d
，则a
c
b
d
【答案】A
【分析】对A 举反例即可判断；对B 和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断.
【详解】对于A，若
2,
1,
2,
1
a
b
c
d
，则a
b
c
d
，故A 错误.
对于B，由
2
2
a
b
c
c
，可知
2
0
c
，所以
2
0
c
，所以a
b
.故B 正确.
对于C，
(
)
(
)
(
)
a
m
a
ab
bm
ab
am
m b
a
b
m
b
b
b
m
b
b
m
，因为
0,
0
b
a
m
，
所以
(
)
0
(
)
m b
a
b
b
m
，所以a
m
a
b
m
b
.故C 正确.
对于D，因为c
d
，所以c
d
.又a
b
，所以a
c
b
d
.故D 正确.
故选：A.
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（3）．已知
0
a
b
c
，则（
）
A．2a
b
c
B．
a b
c
b a
c
C．
1
1
a
c
b
c
D．
3
3
a
c
b
c
【答案】D
【分析】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B.
【详解】解：对于A，因为
0
a
b
c
，所以a
a
b
a
b
c
，即2a
b
c
，故错误；
对于B，取
3
2
1
0
a
b
c
，则
3
4
a b
c
b a
c
，故错误；
对于C，由
0
a
b
c
，得
0
a
c
b
c
，所以
1
1
a
c
b
c
，故错误；
对于D，由
0
a
b
c
，得
0
a
c
b
c
，所以
3
3
a
c
b
c
，故正确.
故选：D.
题型二
比较大小
例2.（1）设
1 ,
7
5,
6
2
2
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小顺序是（
）
A．a
b
c
B．c
a
b
C．a
c
b
D．b
c
a
【答案】C
【分析】将,b c 化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较,a c 大小关系即可.
【详解】
5
7
7
2
5
b
，
6
6
2
2
2
c
，
7
6
2
5
，
2
2
7
5
6
2
，
b
c
.
又
5
25
6
6
0
2
4
a
c
，故a
c
.
则a
c
b
.
故选：C.
（2）．
2
1
A
a
，
1
B
a
，
1
1
C
a
，
1
1
D
a
为四个互不相等的实数.若A､B､C､D 中C 最大，求实数a
的取值范围，并求出A､B､C､D 中最小的数.
【答案】
1,0
，A､B､C､D 中最小的数为D
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【分析】先由A､B､C､D 中C 最大可得
0
C
A
，
0
C
B
，
0
C
D
，从而解出a 的范围，再检验四个
数互不相等并得出最小值．
【详解】由题意得，
2
2
1
1
1
0
1
1
a a
a
C
A
a
a
a
，解得，1
0
a
，
2
1
1
0
1
1
a
C
B
a
a
a
，解得，
1
a 且
0
a
，
1
1
2
0
1
1
1
1
a
C
D
a
a
a
a
，解得，
1
a 或1
0
a
，
综上所述，1
0
a
，
当1
0
a
时，
C 最大，
1
D ，
1
A ，
1
B ，
经检验，A
B
，故四个数互不相等，
故实数a 的取值范围为
1,0
，
A､B､C､D 中最小的数为D.
（3）．（1）已知
0
a
b
，试比较
2
2
2
2
a
b
a
b
与a
b
a
b
的大小；
（2）证明：
3
2
4
2
2
1
a
a
a
．
【答案】（1）
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据给定条件，作出被比较的两个式子的差，判断符号即可得解.
（2）作出所证不等式两边的差，变形并判断符号作答.
【详解】（1）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
2
2
2
2
2
2
2
(
) (
)
2
(
)
(
)
(
)
a
b
a
b
a
b
ab a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
因
0
a
b
，则
2
2
0,
0,2
0,
0
a
b
a
b
ab
a
b
，即
2
2
2
(
)
0
(
)
ab a
b
a
b
a
b
，
所以
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
．
（2）
3
2
4
3
2
2
1
2
(1
)
(
1)(
1)
a
a
a
a
a
a
a
3
2
1 (
1)
a
a
a
3
3
1
(
1)
a
a
a
a
2
(1
) 1
(1
)(1
) (
1)
a
a
a
a
a
a
a
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2
(1
) 1
2
2
(
1)
a
a
a
a
2
2
1
2
2
(
1)
a
a
a
2
2
1
1
2
(
1)
2
2
a
a
，
显然a R ，
2
(
1)
0
a
，当且仅当=1
a
时取等号，又
2
1
1
1
2
2
2
2
a
，
因此
3
2
4
2
2
1
0
a
a
a
，所以
3
2
4
2
2
1
a
a
a
．
练习题：
（1）．已知
1
1
1
1
0,
,
,
xz
xy
yz
x
y
z
a
b
c
z
x
y
，则必有（
）
A．a
c
b
B．b
c
且a
c
C．b
c
a
D．a
b
且a
c
【答案】D
【分析】由
1
0
x
y
z
，得1
1
1
x
y
z
，
0,
0,
0
x
y
x
z
y
z
，再根据作差法变形两两判断即可.
【详解】因为
1
0
x
y
z
，所以1
1
1
x
y
z
，
0,
0,
0
x
y
x
z
y
z
所以
1
1
1
1
,
a
x
b
y
a
x
c
z
z
x
z
y
1
1
0
x
z
a
b
x
y
x
y
z
x
xz
，所以a
b
，
1
1
0
y
z
a
c
x
z
x
z
z
y
yz
，所以a
c
，
1
1
x
y
c
b
z
y
z
y
y
x
yx
符号不能确定，所以,b c 的大小不能确定
所以a
b
且a
c
.
故选：D.
（2）．若
0
a
b
c
，，
，且
2
2
2
4
12
a
ab
ac
bc
，则a
b
c
的最小值是.
A．2 3
B．3
C．2
D．
3
【答案】A
【分析】根据
2
2
2
2
(
)
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
，将
2
2
2
4
12
a
ab
ac
bc
代入，即可求解.
【详解】因为
2
2
2
4
12
a
ab
ac
bc
，
所以
2
2
2
2
12
2
ab
ac
bc
a
bc
．
而
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
2
2
12
2
12
(
)
12
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
b
c
bc
b
c
，且, ,
0
a b c
所以
2 3
a
b
c
，当且仅当b
c
时等号成立.
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【点睛】本题主要考查了转化的思想及等式的变形，属于中档题.
(3)．甲、乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半
路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若a
b
¹
，试判断哪辆车先到达B 地．
【答案】甲先到达B 地．
【分析】设
,
A B 两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为1
2
,
t t ，则1
2s
t
a
b
，2
2
2
s
s
t
a
b
．
然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论.
【详解】设
,
A B 两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为1
2
,
t t ，则1
2s
t
a
b
，2
2
2
s
s
t
a
b
．
方法一因为
2
2
1
2
4
(
)
2
(
)
0
2
2
2
(
)
2
(
)
s
ab
a
b
s
s
s
s a
b
t
t
a
b
a
b
ab a
b
ab a
b
，即1
2
t
t
，所以甲先到达B 地．
方法二
1
2
2
4
(
)
t
ab
t
a
b
，因为a
b
¹
，所以
2
(
)
4
a
b
ab
，从而
1
2
1
t
t
，即1
2
t
t
，所以甲先到达B 地．
【点睛】本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题.
（4）设实数a ，b ，c 满足
1
a
b
，
1
c ，则下列不等式中不成立的是（
）
A．b
a
bc
a
a
b
ac
B．1
a
bc
b
a
b
ac
C．1
a
bc
c
c
c
b
a
D．
1
a
bc
ab
b
ac
ab
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，对每个选项进行证明，对选项D，进行特值检验，即可.
【详解】选项A，要证b
a
bc
a
b
ac
，只需证
2
2
b
abc
a
abc
即可.
由题意可知
1
a
b
，则
2
2
a
b
成立，则b
a
bc
a
b
ac
成立.
要证a
bc
a
b
ac
，只需证
2
a
bc
ab
a c
由题意可知
1
a
b
，则ab
a
，
2
a
b
又因为
1
c ，所以
2
a c
bc
，则
2
a
bc
ab
a c
，即a
bc
a
b
ac
成立
故选项A 成立，不符合题意.
选项B，要证1
a
bc
a
b
ac
，只需证
2
b
ac
a
abc
即可.
由题意可知
1
a
b
，
1
c 则
2
a
b
，abc
ac
成立.
所以
2
b
ac
a
abc
成立，即1
a
bc
a
b
ac
.
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要证a
bc
b
b
ac
，只需证
2
a
bc
b
abc
，只需证
2
0
b
abc
a
bc
2
2
1
1
1
1
1
1
1
b
abc
a
bc
b
a bc
bc
bc
a
b
b
由题意可知
1
a
b
，
1
c 则
1
0
bc
，
1
0
a
，
1
0
b
，
1
0
b
.
所以
2
0
b
abc
a
bc
成立，即a
bc
b
b
ac
成立.
故选项B 成立，不符合题意.
选项C，要证1
a
b
ac
c
c
b
，只需证
2
b
ac
ac
bc
即可.
由题意可知
1
c 则
2
1
c .
又因为
1
b ，所以
2
bc
b
.
所以
2
b
ac
ac
bc
成立，即1
a
b
ac
c
c
b
.
要证a
bc
c
b
ac
，只需证
2
a
bc
bc
ac
即可
由题意可知
1
c 则
2
1
c .
又因为
1
a ，所以
2
ac
a
.
所以
2
a
bc
bc
ac
成立，即a
bc
c
b
ac
成立.
故选项C 成立，不符合题意.
选项D，令
4
a
，
1.21
b
，
1000
c
则
1
1
1
5
0.45
2.2
11
4 1.21
ab
4
1.21 1000
1214
121400
0.30
0.45
1.21
4 1000
4001.21
400121
a
bc
b
ac
即
1
a
bc
b
ac
ab
，所以
1
a
bc
ab
b
ac
ab
不成立，符合题意.
故选：D
【点睛】本题考查不等式与不等关系，属于较难题.
题型三创新提升能力题
1．集合
*
{
, ,
|
S
x y z
x
y
z
N
、、
，且x
y
z
、y
z
x
、z
x
y
恰有一个成立}，若
, ,
x y z
S
且
, ,
z w x
S
,则下列选项正确的是
A．
, ,
y z w
S
,
, ,
x y w
S
B．
, ,
y z w
S
,
, ,
x y w
S
C．
, ,
y z w
S
,
, ,
x y w
S
D．
, ,
y z w
S
,
, ,
x y w
S
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【答案】B
【详解】试题分析：从集合S的定义，
, ,
x y z
S
，
, ,
z w x
S
可知, , ,
x y z w 满足不等关系x
y
z
且x
z
w
，
或x
y
z
且w
x
y
，或y
z
x
且z
w
x
，或z
x
y
且z
w
x
，这样可能有x
y
z
w
或
w
x
y
z
或y
z
w
x
或z
w
x
y
，于是
, ,
y z w
S
，
, ,
x y w
S
，选B．
考点：不等关系．
2．已知实数a，b，c.
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
【答案】D
【详解】试题分析：采用排除法：A.令
10,
110
a
b
c
可排除此选项，
B.令
10
, 100,
0
a
b
c
，
可排除此选项，
C.令
100
100,
0
a
b
c
，
可排除此选项，故选D．
【考点】不等式的性质．
【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用
赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．
3．若实数x，y，m 满足|
| |
|
x
m
y
m
，则称x 比y 接近m，
（1）若
2
3
1
x 比3 接近1，求x 的取值范围；
（2）证明：“x 比y 接近m”是“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有
2
2
a b
ab
比
3
3
a
b 接近2ab ab .
【答案】（1）2 2
2 2
x
；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）根据定义可得
2
3
2
x
，从而可求x 的取值范围.
（2）通过反例可得“ x 比y 接近m ”是“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”不充分条件.利用不等式的性质可证明“ x 比y 接近m ”
是“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”的必要条件，故可得所证结论.
（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.
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【详解】（1）因为
2
3
1
x 比3 接近1，故
2
3
1 1
3 1
x
，
故
2
3
2
x
，故
2
8
x ，所以2 2
2 2
x
.
（2）取
1 ,
2,
0
2
x
y
m
，
则
1
|
|
2 |
|
2
x
m
y
m
，故x 比y 接近m .
但
2
3
1
2
0
2
1
5
9
2
2
x
y
m
x
y
，
故“ x 比y 接近m ”推不出“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”.
所以“ x 比y 接近m ”是“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”不充分条件.
若2
3
1
x
y
m
x
y
，则3
3
0
x
m
x
y
，故
0
x
m
x
y
，
所以
0
0
x
m
x
y
或
0
0
x
m
x
y
，
若
0
0
x
m
x
y
，则y
x
且x
m
，故
2
x
y
m
x
m
，
所以
2
0
x
y
m
x
y
，
故
2
2
2
0
x
m
y
m
x
y
m
x
y
，所以x
m
y
m
，
也就是“ x 比y 接近m ”.
若
0
0
x
m
x
y
，则x
y
且m
x
，故
2
x
y
m
x
m
，
所以
2
0
x
y
m
x
y
，
故
2
2
2
0
x
m
y
m
x
y
m
x
y
，所以x
m
y
m
，
故“ x 比y 接近m ”是“
3
1
x
y
m
x
y
”必要不充分条件.
（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证
2
2
a b
ab
比
3
3
a
b 接近2ab ab ，
即证：
2
2
3
3
2
2
a b
ab
ab ab
a
b
ab ab ，
即证：
3
3
2
2
ab
ab
a
b
ab ab
a
b
，
即证：
2
2
2
2
a
b
ab
ab
b
a
a
b
，
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因为
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
b
a
b
a
a
b
b
a
b
a
，因为a
b
¹
，
故
2
2
2
a
b
a
b
ab
b
a
，故
2
2
2
2
0
a
b
ab
a
b
ab
b
a
，
所以
2
2
2
2
a
b
ab
ab
b
a
a
b
成立，
故
2
2
a b
ab
比
3
3
a
b 接近2ab ab .
【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应
依据充分条件和必要条件的定义来展开.
4．已知函数
2
0
1
1
x
f x
x
x
，
，.
（1）设
1
2
0
1
x
x
，
，，证明:
1
2
1
2
0
x
x
f x
f x
≥；
（2）设
0
1
x
，，证明:
2
2
3
9
1
1
10
3
x
x
x
x
≥
；
（3）设
1
2
3
x
x
x
，
，都是正数，且
1
2
3
1
x
x
x
，求
2
2
2
3
3
1
1
2
2
2
2
2
1
2
3
3
3
3
1
1
1
x
x
x
x
x
x
u
x
x
x
的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）0
【分析】（1）计算得到
2
1
2
1 2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
x
x
x x
x
x
f x
f x
x
x
，得到证明.
（2）根据（1）得到
2
1
3
0
3
1
10
x
x
x
，化简得到答案.
（3）根据（2）
1
2
3
9
1
9
1
9
1
10
3
10
3
10
3
u
x
x
x
，得到答案.
【详解】（1）
2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
x
x
x x
x
x
x
x
f x
f x
x
x
x
x
x
x
，
1
2
,
0,1
x x
，故
2
2
1
2
1
2
2
1
2
0,1
0,1
0,1
0
x x
x
x
x
x
，
即
1
2
1
2
0
x
x
f x
f x
≥.
（2）根据（1）知，
2
1
3
0
3
1
10
x
x
x
，即
2
2
1
3
1
3
0
1
10
3
x
x
x
x
，
故
2
2
3
9
1
1
10
3
x
x
x
x
≥
.
（3）根据（2）知：
2
2
2
3
3
1
1
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
3
3
3
3
9
1
9
1
9
1
0
1
1
1
10
3
10
3
10
3
x
x
x
x
x
x
u
x
x
x
x
x
x
.
当
1
2
3
1
3
x
x
x
时等号成立，故最小值为0 .
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【点睛】本题考查了不等式的证明，求函数最值，意在考查学生的综合应用能力.
5．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板
的钉子长度后一次为前一次的1
n
*
n
N
｡已知一个铁钉受击3 次后全部进入木板，且第一次受击后进入木
板部分的铁钉长度是钉长的3
5 ，请从这个实事中提炼出一个不等式组是
.
【答案】
*
2
3
3
1,
5
5
3
3
3
+
1
5
5
5
n
N
n
n
n
【分析】先根据条件列三次进入木板部分的铁钉长度，再根据受击3 次后全部进入木板列不等式组.
【详解】不妨设钉长为1，则第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是3
5 ，
第二次受击后进入木板部分的铁钉长度是第一次受击后进入木板部分的铁钉长度的1
n，为3
1
5
n
，第三次受击
后进入木板部分的铁钉长度是第二次受击后进入木板部分的铁钉长度的1
3，为3
1
1
5
n
n
，
因为钉受击3 次后全部进入木板，所以
3
3
1
1
5
5
3
3
1
3
1
1
+
1
5
5
5
n
n
n
n
*
n
N
即
*
2
3
3
1,
5
5
3
3
3
+
1
5
5
5
n
N
n
n
n
故答案为：
*
2
3
3
1,
5
5
3
3
3
+
1
5
5
5
n
N
n
n
n
【点睛】本题考查利用不等式（组）表示数量间的不等关系，考查基本分析求解能力.
1．已知,
,
a b
R
则下列命题中真命题的个数是（
）
①若
2
2
ac
bc
，则a
b
；②若a
b
¹
，则
2
b
a
a
b
；
③若
1
a
b
，则
1
1
b
b
a
a
；④若
0
a
b
c
，则1
1
1
a
b
c
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】利用不等式的性质判断ACD，采用举例的方式判断B，由此得到最终结果.
【详解】A．因为
2
2
ac
bc
，且
2
0
c
，所以a
b
，故正确；
B．取
2,
2
a
b
，此时
2
2
b
a
a
b
，故错误；
C．因为
1
a
b
，所以a
b
，所以ab
a
ab
b
，所以
1
1
a b
b a
，
又
1
0,
1
0
a
b
，所以
1
1
b
b
a
a
，故错误；
D．因为
0
a
b
c
，正数越大其倒数越小，所以1
1
1
a
b
c
，故正确，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题中容易判断错误的是②，此处要考虑使用基本不等式的条件，“一正、二定、三
相等”是否满足.
2．下列说法正确的是（
）
A．
2
2
a
b
ac
bc
B．
2
2
a
b
a
b
C．
3
3
a
b
a
b
D．
2
2
a
b
a
b
【答案】C
【解析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．
【详解】选项A，当
0
c =
时，由a
b
，不能推出
2
2
ac
bc
，故错误；
选项B，当
1
a ，
2
b 时，显然有a
b
，但
2
2
a
b
，故错误；
选项C，当a
b
时，必有
3
3
a
b
，故正确；
选项D，当
2
a ，
1
b = - 时，显然有
2
2
a
b
，但却有a
b
，故错误.
故选：C.
【点睛】不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质
成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p
q
和q
p
是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方
法．
3．已知ABC
的三边长分别为a 、b 、c ，有以下4 个命题：
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（1）以
a 、b 、
c 为边长的三角形一定存在；
（2）以
2
a 、
2
b 、
2c 为边长的三角形一定存在；
（3）以
2
a
b
、
2
b
c
、
2
c
a
为边长的三角形一定存在；
（4）以ab 、bc 、ca 为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】ABC
的三边长分别为a 、b 、c ，不妨设a
b
c
，则b
c
a
，通过平方作差判断（1）正确，
直接作差判断（2）（3），举反例判断（4），进而可得正确答案.
【详解】ABC
的三边长分别为a 、b 、c ，不妨设a
b
c
，则b
c
a
，
对于（1）：
2
2
2
0
b
c
a
b
c
a
bc
，所以b
c
a
，所以以
a 、b 、
c 为边长的
三角形一定存在；故（1）正确；
对于（2）：
2
2
2
2
2
2
0
b
c
a
b
c
bc
a
不一定成立，因此以
2
a 、
2
b 、
2c 为边长的三角形不一定存在；
故（2）不正确；
对于（3）：
0
2
2
2
b
c
c
a
a
b
c
，因此以
2
a
b
、
2
b
c
、
2
c
a
为边长的三角形一定存在；故（3）正确；
对于（4）：取
5,
4,
2
a
b
c
，b
c
a
，因此a 、b 、c ，能构成一个三角形的三边，而ac
bc
ab
，因
此以ab 、bc 、ca 为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，
所以正确的命题有2 个，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是设不妨设a
b
c
，则b
c
a
，然后（1）中带根号，所以平方后作差
满足两边之和大于第三边，对于（2）（3）直接作差，利用两个小编之和大于第三边，即可求解.
4．（多选题）已知a，b，c，d R ，则下列命题为假命题的是（
)
A．若
,
a
b c
d
，则ac
bd
B．若a
b
，则
2
2
ac
bc
C．若
0
a
b
，则(
)
0
a
b c
D．若a
b
，则a
c
b
c
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【详解】对于A，取
2
1,
1
2
a
b
c
d
，此时ac
bd
，故A 错误；
对于B，由
2c 0 时，利用不等式的性质，不等式两边乘以同一个正数，不等号方向不变，可知
2
2
ac
bc
，
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故B 正确；
对于C，
0
a
b
，
0
a
b
，当
0
c
时，(
)
0
a
b c
，故错误；
对于D，由不等式的性质，两边同时减一个数，不等号方向不变，故D 正确；
故选：AC
【点睛】易错点睛：本题考查不等式的性质，不等式的性质中，不等式两边乘以同一个正数，不等式方向
不变，两边乘以同一个负数，不等号方向改变，这个性质容易出现错误：一是不区分所乘数的正负，二是
不区分是否为0．
5．若关于x 的不等式
1
2
2
2
a
a
x
只有一个整数解2，则实数a 的取值范围为
．
【答案】3
1
4
a
【分析】求出不等式的解后可得端点满足的不等式组，从而可求参数的取值范围.
【详解】
1
2
2
2
a
a
x
的解为
1
2
2
2
a
x
a
，
因为不等式的整数解只有2，故
1
1
2
2
2
2
2
3
a
a
，故3
1
4
a
，
故答案为：3
1
4
a
.
6．已知
2
2
1
1
1
0,
1
,
1
,
,
2
1
1
a
A
a
B
a C
D
a
a
，则
, ,
,
A B C D 的大小关系是
．(用“”连接)
【答案】C
A
B
D
【详解】由题意不妨取
1
4
a
，
这时
17
15
4
4
,
,
,
16
16
3
5
A
B
C
D
.
由此猜测：C
A
B
D
下面给出证明：
2
2
2
1
3
2
4
1
1
1
1
1
1
a
a
a a
a
C
A
a
a
a
a
，
又
2
1
3
1
0,
0,
0,
2
4
a
a
a
C
A
2
2
2
(1
)
(1
)
2
0
A
B
a
a
a
A
B
＋
－
，
,
2
2
2
1
5
1
2
4
1
1
1
1
1
a
a
a a
a
B
D
a
a
a
a
.
又∵
1
0
2
a
，
1
0
a
，
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又∵
2
2
1
5
1
1
5
0,
2
4
2
2
4
a
B
D
，
综上所述，C
A
B
D
.
故答案为：C
A
B
D
.
【点睛】比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作
差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商．
7．已知1
1
x
y
，1
2
x
y
，则3x
y
的取值范围是
【答案】
1,5
【分析】令3
(
)
(
)
x
y
s x
y
t x
y
，求得s ，t ，利用不等式的性质可求3x
y
的取值范围．
【详解】解：令3
(
)
(
)
(
)
(
)
x
y
s x
y
t x
y
s
t x
s
t y
则
3
1
s
t
s
t
，
1
2
s
t
，
又1
1
x
y
，①
1
2
x
y
，
2 2
4
x
y
②
①②得1 3
5
x
y
．
故答案为：
1,5
【点睛】本题考查简单线性规划问题，可以作图利用线性规划知识解决，也可以用待定系数法，利用不等
式的性质解决，属于中档题．
8．设x，y 为实数，满足
2
3
8
xy
，
2
4
9
x
y
，则
3
x
y 的最小值是
.
【答案】1
2
【解析】利用方程组形式，可得
2
2
3
n
m
x
x
xy
y
y
，求得
,
m n 后结合不等式性质即可求得
3
x
y 的最小值.
【详解】设
2
2
3
n
m
x
x
xy
y
y
即
3
2
2
m
n
m n
xy
x
y
所以
2
1
2
3
m
n
m
n
，解得
1
1
m
n
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所以
2
1
2
3
x
x
xy
y
y
因为
2
3
8
xy
，
2
4
9
x
y
，
所以
1
2
1
1
8
3
xy
由不等式性质可知
2
1
2
1
3
2
x
xy
y
即
3
1
3
2
x
y
，当且仅当
2
1
2
4
1
8
x
y
xy
时取等号，解得
7
4
5
5
2 ,
2
x
y
.
综上可知，
3
x
y 的最小值为1
2 .
故答案为：1
2 .
【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属
于中档题.
9．证明命题：“若在ABC
中a
b
c
、、分别为角、、
A
B
C 所对的边长，则1
1
1
c
a
b
c
a
b
”
【答案】证明见解析
【分析】由作差法证明
1
1
1
1
1
c
a
b
c
c
a
b
a
a
c
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
，再由
,
1
1
1
1
a
a
b
b
a
b
a
a
b
b
证明1
1
1
c
a
b
c
a
b
.
【详解】证明：取1
,
c
d a
b
c
m
，
c d
m
d c
m
m c
d
c
c
m
d
d
m
d d
m
d d
m
因为
0,
0
d
c
m
，所以
0
m c
d
d d
m
，即c
c
m
d
d
m
.
所以
1
1
1
1
1
c
a
b
c
c
a
b
a
a
c
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
又因为
,
1
1
1
1
a
a
b
b
a
b
a
a
b
b
，故1
1
1
1
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
，
所以1
1
1
c
a
b
c
a
b
.
10．（1）已知x≤1，比较3x3 与3x2－x＋1 的大小．
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（2）已知a，b，c 是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ca，试比较p 与q 的大小．
【答案】（1）3x3≤3x2－x＋1；（2）p>q.
【分析】（1）作差法可得3x3－(3x2－x＋1)＝(3x2＋1)(x－1)，结合x≤1，即得解；
（2）由题意可证明a2＋b2>2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac，三个不等式叠加，即得解
【详解】（1）3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0，
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
即3x3≤3x2－x＋1.
（2）因为a，b，c 互不相等，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，
即a2＋b2>2ab.
同理b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.
所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.
11．已知集合
1 1
100,
M
k
k
k
N
且
，
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
，其中n
N ，且
2
n
．若A
M
，且对集
合A 中的任意两个元素
,
,
i
j
a a i
j
，都有
1
30
i
j
a
a
，则称集合A 具有性质P．
(1)判断集合1 1 1 1 1
,
,
,
,
3 4 5 6 7
是否具有性质P；并另外写出一个具有性质P 且含5 个元素的集合A；
(2)若集合
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
具有性质P．
①求证：
i
j
a
a
的最大值不小于
1
30
n ；
②求n 的最大值．
【答案】(1) 1 1 1 1 1
,
, ,
,
3 4 5 6 7
不具有性质P ,
1 1 1 1
= 1 2 3 4 5
A
，，，，
(2)①证明见解析，②n 的最大值为10
【分析】（1）根据性质P 满足的条件可验证1
1
1
1
=
6
7
42
30
，不符合要求即可判断，根据性质P 满足的要求
即可写出集合A ;
（2）根据
1
30
i
j
a
a
，由累加法即可得最大项与最小项的关系；
【详解】（1）因为1
1
1
1
=
6
7
42
30
，故该集合不符合性质P ;
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符合性质P 的集合
1 1 1 1
= 1 2 3 4 5
A
，，，，
（2）①
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
，不放设
1
2
3
n
a
a
a
a
，则
1
30
i
j
a
a
i
j
，
故
1
1
1
2
2
1
1
=
30
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
n
，故
i
j
a
a
的最大值不小于
1
30
n ；
②要使n 最大，
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
，不妨设
1
2
3
n
a
a
a
a
，
则
,
1,2,3,4,...,
1
30
k
n
n
k
a
a
k
n
，
又A
M
,
1
1
1
1
2
3
n
,所以
1
ka
k
，
所以
1 ,
1,2,3,4,...,
1
30
k
n
n
k
a
a
k
n
k
，
所以
1
30
,
,
1,2,3,4,...,
1
30
n
k
n
k k
n
k
k
，
又30
2 30
k
k
，当且仅当
30
5,6
k
时等号成立，
当
5
n
或6 时，30
11
k
k
，所以
11
n
，
当
10
n
时，
1 1 1 1 1 1 1
1
1
= 1
,
,
2 3 4 5 6 8 11 18 45
A
, , , ,
, ,
,
符合题意，
所以n 最大值为10.
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