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第9 章：解三角形章末重点题型复习
【题型一：正弦定理解三角形】
例1．（23-24 高一下·宁夏石嘴山·月考）在
中，
，
，
，则角
的大小为
2
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【解析】由题意知
中，
，
，
，
故
，即
，
由于
，故
，又
，则
或
.故选：D
变式1-1．（23-24 高一下·广东深圳·月考）在△ABC 中，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据正弦定理可得
，
所以
，故选：B.
变式1-2．（2024·陕西铜川·一模）在
中，
，
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】在
中，由
及正弦定理得
，而
，
则
，显然
，
，解得
，所以
.故选：C
变式1-3．（23-24 高一下·海南海口·月考）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
，
，则
.
【答案】
3
【解析】由正弦定理
，得
，所以
.
变式1-4．（23-24 高一下·天津·月考）在
中，角
所对的边分别为
．已知
，则
．
【答案】
【解析】依题意，由正弦定理
，得
，所以
，
因为
，则
，所以
，所以
.
【题型二：余弦定理解三角形】
例2．（22-23 高一下·江西宜春·月考）在
中，
，
，
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】
，
，
，
由余弦定理可得：
，
解得
.故选：B
变式2-1．（22-23 高一下·四川达州·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
.故选：C
4
变式2-2．（23-24 高一下·湖南衡阳·月考）已知
的面积为
，则
（ ）
A．13
B．14
C．17
D．15
【答案】C
【解析】
的面积
，所以
，
由余弦定理得
，因此
.故选：C.
变式2-3．（23-24 高一下·湖南长沙·月考）在
中，角
的对边分别为
，若
，且
，则的值为 .
【答案】4 或8
【解析】由
，得
，
由余弦定理得，
，
化简得
，解得
或
.
变式2-4．（22-23 高一下·宁夏石嘴山·期中）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，且
，
，求
的值（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】
，
即
，解得
，负值舍去.故选：A
【题型三：三角形解的个数判断】
例3．（22-23 高一下·福建宁德·月考）在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，不解三角
5
形，确定下列判断正确的是（ ）
A．
，
，
，有两解
B．
，
，
，有一解
C．
，
，
，有一解
D．
，
，
，无解
【答案】D
【解析】因为
，
，如图
于
，
由直角
可得
.
当
或
时，有一解；
当
时，无解；
当
时，有两解.
结合四个选项，可知，选项A，B，C 三项错误.故选：D
变式3-1．（22-23 高一下·贵州·月考）（多选）在
中，角
的对边分别为
.根据下列条件，
判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．
，有唯一解 B．
，无解
C．
，有两解 D．
，有唯一解
【答案】AD
【解析】选项A，
，已知三边三角形确定，有唯一解，A 正确；
选项B，由正弦定理得：
，则
，
再由大边对大角可得
，故
可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B 错误；
选项C，由正弦定理得：
，则
，且
，
由大边对大角可得
，则
只能为锐角，故三角形有唯一解，C 错误；
选项D，由正弦定理得：
，
，
由于
，则
是锐角，有唯一解，D 正确.故选：AD.
变式3-2．（22-23 高一下·江苏淮安·期中）在
中，内角
所对的边分别为
，下列各组条件
中使得
有两个解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
6
C．
，
，
D．
，
，
【答案】CD
【解析】A 项：因为
，所以
.
由正弦定理
可得，
，
无解，A 错误；
B 项：因为
，所以
.
由正弦定理
可得，
，
只有一个解，B 错误；
C 项：因为
，由正弦定理
可得，
.
又
，所以
，此时
有两个解，即
有两个解，C 正确；
D 项：因为
，由正弦定理
可得，
.
又
，所以
，此时
有两个解，即
有两个解，D 正确.故选：CD.
变式3-3．（23-24 高一下·河南郑州·月考）在
中，若
，
，
，三角形有唯一解，
则整数
构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，由正弦定理
有唯一解
，
故整数
的值构成的集合为
.故选：C
变式3-4．（23-24 高一下·海南海口·月考）在
中，已知
，
，若
有两解，则
7
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如上图所示，要使
有两解，则以
为圆心，
为半径的圆与射线
有两个交点，
有两解的充要条件为
，代入题设得
.故选：C.
【题型四：正（余）弦定理边角互化】
例4．（23-24 高一下·湖南长沙·月考）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
因为
，
两式相减，得
，
由正弦定理，得
，即
，
因为
，所以
.故选：C.
变式4-1．（23-24 高一下·上海·月考）在
中，a、b、c 分别是
的内角A、B、C 所对的边，
，则
．
【答案】
【解析】因为
，
由正弦定理可得
，整理得
，
8
由余弦定理可得
，且
，可得
.
变式4-2．（22-23 高一下·甘肃庆阳·月考）在
中，角
所对的边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】根据条件，由正弦定理，得
，
所以
，所以
．
由余弦定理，得
，
因为
，所以
．
由
，得
，
所以
．
由正弦定理，得
，所以
．故选：C.
变式4-3．（22-23 高一下·福建·月考）（多选）若
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满
足
，则下列结论正确的是（ ）
A．角C 可以为锐角
B．
C．
的最小值为
D．
【答案】BD
【解析】∵
，
∴
，即
，∴
，
9
又
，∴C 一定为钝角，故选项A 错误；
由余弦定理知，
，化简得
，故选项B 正确；
∵
，
∴
，故选项D 正确；
∵
，
∴
，
∵C 为钝角，∴
，
，
∴
，当且仅当
，
即
时，等号成立，此时
取得最大值
，故选项C 错误.故选：BD.
变式4-4．（22-23 高一下·云南曲靖·期中）在
中，设角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，且三角形的外接圆半径为
．
（1）求
的大小；
（2）若
的面积为
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）在
中，
，
即
，
由余弦定理得
，
即
，
即
，即
，
在
中，
，则
，
又∵
，∴
；
10
（2）因为
，即
，所以
，
由正弦定理得
，∴
，
则
，
由余弦定理得
，
∴
.
【题型五：三角形的面积问题】
例5．（23-24 高一下·浙江·月考）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
，
，
，
，则
的面积是 ．
【答案】
【解析】由题意得，
，
即
，
，由
得，
，又
，
得
，即
，所以
；
由
，
，
得
，
由
，得
，从而
，
，
故
，
所以
的面积为
．
11
变式5-1．（22-23 高一下·黑龙江哈尔滨·月考）三角形面积的求法：
.根据此
公式，
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
，则
的面积为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】依题意
，由正弦定理得
，
，
，
所以
.故选：
变式5-2．（23-24 高一下·山东·月考）记
的内角
的对边分别为
，
，，已知
为锐角，且
.
（1）求角
的大小；
（2）若
，
，求
的面积.
【答案】（1）
；（2）
或
【解析】（1）由已知可得，
，解得
.
因为
为锐角，所以
，所以
，所以
.
（2）由题，
，
又由正弦定理
，得
.
因为
，所以
或
.
当
时，
，所以
；
12
当
时，
，所以
，
所以
的面积为
或
.
变式5-3．（23-24 高一下·甘肃泉州·月考）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
（1）
；
（2）若
，
，求
的面积．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，
由正弦定理得
，
又因为
，可得
，所以
，可得
，
因为
，可得
.
（2）由（1）知
，因为
，
设
的外接圆的半径为
，可得
，
所以
，
因为
，可得
，
所以
的面积为
.
变式5-4．（23-24 高一下·上海·月考）记
的内角
所对的边分别是
，且满足
.
（1）证明：
；
（2）若
的面积为
，求
；
【答案】（1）证明见解析；（2）
13
【解析】（1）由
得
，
则
，
得
， 若
，则
，
则
均为直角，与题设矛盾， 故
，故
，
故
，故
.
（2）
，
所以
，则
，
，
从而
，
又
，从而
，
，
所以
.
【题型六：三角形的形状判断】
例6．（22-23 高一下·山东济宁·月考）在△ABC 中，已知
，那么△ABC 一定是
（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【解析】因为
，
，所以
，
所以由正弦定理和余弦定理得
，
化简得
，所以
，所以△ABC 为等腰三角形.故选：B
变式6-1．（23-24 高一下·重庆·月考）在
中，若
，且
，那么
一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【解析】因为
，则
，
14
因为
，则
，所以
，则
，
又因为
，
，则
，
则
，即
，即
，
又因为
，则
，
所以
，即
.
即
一定是等边三角形，故D 正确.故选：D.
变式6-2．（22-23 高一下·山东滨州·月考）已知
分别为
三个内角
的对边，且满足
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为
，由正弦定理可得，
，
因为
，所以
，
则有
，
即
，
所以
，因为
，所以
，
整理可得，
，即
，因为
，
所以
或
，则
或
（舍去）.
又因为
，由正弦定理可得
，
因为
，所以
，
则
，化简整理可得，
，
所以
，又因为
，所以
为等边三角形，故选：C.
变式6-3．（23-24 高一下·天津武清·月考）在
中，角
所对的边分别是
，若角
满足
，且
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形C．等边三角形
D．钝角三角形
【答案】C
15
【解析】由题意可知，
，则
，
因为
，所以由正弦定理得
，
则由余弦定理得
，则
，
所以
，所以
，故
为等边三角形．故选：C．
变式6-4．（2024·四川成都·模拟预测）已知
的内角A，
，
所对的边分别为
，
，，面积为，
若
，
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．正三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
；
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，则
是直角三角形，故选：B
【题型七：多边形中的解三角形】
例7．（23-24 高一下·重庆·月考）如图，已知在平面四边形
中，
，
，
．
（1）若该四边形
存在外接圆，且
，求
；
16
（2）若
，求
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为四边形
存在外接圆，则
，
在
中，由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
解得
；
（2）设
，则
，
分别在
、
中用正弦定理可得
，则
，
，则
，
，则
或
（舍），
故
.
变式7-1．（23-24 高一·云南大理·月考）如图所示，在平行四边形
中，有：
.
（1）求
的大小；
（2）若
，求平行四边形
的面积.
【答案】（1）
；（2）
或
【解析】（1）由题意得
，
由正弦定理得，
，
17
又
，则
，
.
（2）在平行四边形
中，
，
在
中，由余弦定理得，
，
即
，解得：
或
，
当
时，平行四边形
的面积：
；
当
时，平行四边形
的面积：
.
变式7-2．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形
中，
的面积为
．
（1）求
；
（2）证明：
．
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】（1）设
，
因为
的面积为
，
所以
，解得
，
所以
．
在
中，由余弦定理得
，
所以
．
18
在
中，
，所以
，
所以
；
（2）由（1）可得
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，且
．
由（1）可得
，
又
，所以
．
变式7-3．（22-23 高一下·河北衡水·期末）如图所示，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
．
（1）求BD 的长；
（2）若AC 与BD 交于点O，求
的面积．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意，在
中，
，
，
，
由余弦定理得，
，
所以
，
在
中，
，所以
，
所以
，
在
中，由余弦定理可知
19
，
所以
．
（2）由（1）可知
，又因为
，所以
为等边三角形，
所以
，
，
在
中，
，所以
，
在
中，
，故
，
所以
，所以
，
在
中，由正弦定理可知
，即
，解得
，
所以
．
变式7-4．（22-23 高一下·江苏宿迁·期末）在圆
的内接四边形
中，
，
，
，示
意如图．
（1）若
是圆
的直径，求
的长；
（2）若圆
的直径为
，求四边形
的面积．
【答案】（1）
；（2）
或
．
【解析】（1）连接
，设
，则
，因为
是圆O 的直径，
则
与
为直角三角形，有
，
20
又
，
，即
，整理得
，
所以
.
（2）连接
，因为圆O 的直径为
，
则在
中，由正弦定理得
，
，
在
中，由余弦定理得
，
设
，则
，
即
，解得
，
设
，同理在
中有
，
，解得
，
因此四边形
的面积
，
所以四边形
的面积为
或
.
【题型八：解三角形的最值与范围问题】
例8．（23-24 高一下·山东·月考）在锐角
中，角
的对边分别为
的面积为，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意
，而
，
所以
，由余弦定理得
，故
，
又由正弦定理得
，整理得
，
故
或
（舍去），得
，
因为
是锐角三角形，
21
故
，解得
，故
，
.故选：C.
变式8-1．（22-23 高一下·湖北武汉·月考）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
由正弦定理可得：
，
注意到
，
即
，
整理得
，
且
，则
，则
，即
，
又因为
，则
，可得
，所以
，
由余弦定理可得
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
且
，可得
，所以
的最大值为2.故选：A.
变式8-2．（22-23 高一下·河南郑州·月考）已知
的内角
的对边分别为
，其面积为，且
.
（1）求角
；
22
（2）若
，求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题知
，
由余弦定理得
，所以
，
又
，所以
；
（2）由正弦定理知
，即
，
由（1）知
，
因此
，
其中
，故
，
当且仅当
，即
时取等号，
故
的最大值为
．
变式8-3．（23-24 高一下·广西南宁·月考）已知三角形ABC 中，内角A，B，C 所对边分别为a，b，c，且
．
（1）求角B；
（2）若b＝2，求
的取值范围．
（3）若b＝2，求三角形ABC 面积的最大值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）
，由正弦定理得
，
则有
，
又
，得
，
则有
，
由
，有
，得
，
又
，所以
；
23
（2）由
，由余弦定理，
可得：
，
又
，
∴
，即
，当且仅当
时等号成立，
又
，∴
的取值范围为
．
（3）由（2）可知
，
即
，当且仅当
时等号成立，
则有
，当
时三角形ABC 面积的最大值为
.
变式8-4．（22-23 高一下·江苏无锡·月考）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
.
（1）求角
；
（2）若
为锐角三角形，且
的面积为，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）方法一：因为
，
所以
，
所以由正弦定理得，
.
又
，所以
.
因为
，所以
.
方法二：因为
，
可化为
即
即
24
即
，因为
，所以
.
又因为
，所以
.
（2）由（1）可知，
，
则
.
因为
为锐角三角形，所以
，整理得
.
因为
，所以
.
令
，则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
.
故
的取值范围为
.
【题型九：三角形的中线、角平分线、垂线】
例9．（22-23 高一下·陕西·期中）在
中，角
所对的边分别为
，且
.
（1）求
；
（2）若
边上的高为
，求
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由正弦定理得
，
即
，
又由
，得
，
25
所以
，
由
，得
，所以
，
则
，所以
，
由
，得
，则
，即
.
（2）因为
边上的高为
，所以
，则
，
由余弦定理得
，则
，
又因为
，所以
，解得
.
变式9-1．（23-24 高一下·广西·开学考试）在
中，角
的对边分别是
，且
.
（1）求角
的大小；
（2）若
是边
的中点，求
的长.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）在
中，由正弦定理及
，得
，
而
，即
，则
，
又
，因此
，所以
.
（2）由
是边
的中点，得
，又
，
所以
.
变式9-2．（23-24 高一下·广东广州·月考）如图．在锐角
中，
边上的中线
长为，且
，
．
26
（1）求
边的长；
（2）求
的面积．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，
所以
，所以在锐角
中，
，
由正弦定理得，
，即
，解得
.
（2）由（1）知，
，
因为
，
为锐角三角形，所以
，
由余弦定理得，
，解得
或
，
又
，所以
，
，
所以
的面积为
.
变式9-3．（2022·湖北·一模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
（1）求角
的大小；
（2）设
分别为
的中点，
与
交于点
，若
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由
得：
，即
，
由正弦定理得：
，
27
，
，
，即
，
又
，
.
（2）连接
，
在
中，由余弦定理得：
，
，
，则
；
分别为
中点，
，
，
且
，
，
，
，
在
中，
，
又
，
.
变式9-4．（23-24 高一下·广西百色·月考）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
（1）求角
；
（2）若
的角平分线交
于
，求
的长.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）解法一：由
及正弦定理，可得
.
又
，所以
.
28
又在
中，
，故
，
,所以
.
解法二：由
及余弦定理，
可得
.即
，
所以
.
,所以
.
（2）由（1）知
.
又
，
所以
，所以
.
【题型十：解三角形在实际中的应用】
例10．（22-23 高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知飞机的飞行航线AB 和地面目标C 在同一铅直平面内，
在A 处测得目标C 的俯角为30°，飞行26
到达B 处，测得目标C 的俯角为75°，此时B 处与地面目标C
的距离为（ ）
A．
B．
C．5
D．
【答案】D
【解析】由题知，在
中，
，
所以
，
由正弦定理可知：
(km).故选：D.
29
变式10-1．（22-23 高一下·河北邯郸·期中）老虎甲在A 地发现野鹿乙在北偏东
方向上的B 地，立刻以
的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以
的速度往北偏东
方向逃窜，假设甲、乙都是匀
速直线运动，且
，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（ ）
A．60s
B．80s
C．100s
D．120s
【答案】C
【解析】如图，设甲最快捕获乙的地点是点C，时间为t（单位：s），
则
，
.
由题意得
，
由余弦定理
，
得
，
解方程得
或
（舍去）.故选：C
变式10-2．（22-23 高一下·河北邯郸·期末）武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是
邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度
，在地面上共线的三点
，
，
处分别测得点
的仰角为
，
，
，且
，则武灵丛台的高度
约为（ ）
（参考数据：
）
A．22m
B．27m
C．30m
D．33m
【答案】B
【解析】由题知，设
，
则
，
，
，
30
又
，所以在
中，
，①
在
中，
，②
联立①②，解得
.故选：B
变式10-3．（23-24 高一下·河南商丘·月考）（多选）如图，为测量海岛的高度
以及其最高处瞭望塔的
塔高
，测量船沿航线
航行，且
与
在同一铅直平面内，测量船在
处测得
，
，然后沿航线
向海岛的方向航行
千米到达
处，测得
，
（
，测量船的高度忽略不计），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】在
中，
，
，
，
由正弦定理得，
，即
，所
，所以
，A 正确；
，B 错误；
在
中，
，由正弦定理得，
，
所以
，C 正确；
在
中，
，
31
代入
，所以
，
所以
，D 正确.故选:ACD.
变式10-4．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，
直径AB 的长为
，C，D 两点在半圆弧上，且
，设
．
（1）当
时，求四边形ABCD 的面积；
（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD 和DA 组成的观光道路，则当
为何值时，观光道路的总
长l 最长，并求出l 的最大值．
【答案】（1）
；（2）
，
【解析】（1）连结
，则
四边形
的面积为
（2）由题意，在
中，
，
由正弦定理
同理在
中，
，
由正弦定理
32
令
时，即
，的最大值为5
