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1
旋转【章节复习】压轴题 最值 题集C2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在平面直角坐标系中，点
，
，
，点
，点
分别是
，
的中点，将
绕点
逆时针旋转得到
，及旋转角为，连接
，
．
如图，若
，当
时，求的大小．
如图，若
，当点
落在线段
上时，求
的值．
若直线
与直线
相交于点
，求点
的横坐标
的取值范围．（直接写出结果即可）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
如图，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图中，作
于
，
∵
，
∴
，
2
图
（3 ）
【标注】
∵
是等腰直角三角形，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图中，以
为圆心
为半径作⊙
，当
与⊙
相切时
最长，则四边形
是正方形，作
于
，
∵
，
∵
，
∴
，
∴点
横坐标的最大值为
．
如图中，当
与⊙
相切时
最短，则四边形
是正方形，作
于
，
图
根据对称性可知
，
∴点
横坐标的最小值为
，
∴点
横坐标的取值范围为
．
【知识点】等腰直角三角形的性质
【知识点】解直角三角形
【知识点】切线的判定定理
【知识点】切线的性质定理
【能力】分析和解决问题能力
2. 如图，
和
是有公共顶点的等腰直角三角形，
，点
为射线
、
的交点．
3
（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
求证：
．
若
，
，把
绕点
旋转，
当
时，求
的长．
求出旋转过程中线段
长的最小值与最大值．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
或
．
长的最小值是
，最大值是
．
∵
和
是等腰直角三角形，
，
∴
，
，
．
∴
≌
．
∴
．
当点
在
上时，
．
∵
，
∴
．
同（1）可证
≌
．
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，∴
．
∴
．
当点
在
延长线上时，
．
4
2
∵
，
∴
，
同（1）可证
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，∴
，
∴
．
综上，
或
．
情况一，如图中，以
为圆心
为半径画圆，
当
在⊙
下方与⊙
相切时，
的值最小
理由：此时
最小，因此
最小，
（
是直角三角形，斜边
为定值，
最小，因此
最小），
∵
，
∴
，
由（）可证
≌
∴
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴
．
情况二，如图中，以
为圆心
为半径画圆，
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【标注】
当
在⊙
上方与⊙
相切时，
的值最大，
理由：此时
最小，因此
最大，
（
是直角三角形，斜边
为定值，
最大，因此
最大），
∵
，
∴
，
由（）可证
≌
∴
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
综上所述，
长的最小值是
，最大值是
．
【知识点】相似模型的构造和应用
（1 ）
（2 ）
3. 在平面直角坐标系中，
为原点，点
，点
，将
绕点
顺时针旋转，得
，记旋转角为，直线
与直线
相交于点
．
如图，当
时，求证：
．
图
如图，当
时，求证：
．
6
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
求点
的纵坐标的最大值与最小值（直接写出结果即可）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
最大值为
，最小值为
．
如图，∵点
，点
，
图
∴
，
∵
绕点
顺时针旋转，得
，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在四边形
中，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
设
与轴的交点为点
，
7
T
图
（3 ）
【标注】
图
由（）得
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴点
在以
为直径的圆上，
取
的中点
，过点
作直径
轴交轴于
点，如图，此时
点的纵坐标最大，
点
的纵坐标最小，
∵
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
点的纵坐标为
，点
的纵坐标为
，
即点
的纵坐标的最大值为
，最小值为
．
【知识点】点与圆的位置关系；圆中最值
4. 在平面直角坐标系中，
为原点，点
，点
，点
，点
分别为
，
的中点．
若正方形
绕点
顺时针旋转，得正方形
，记旋转角为．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
如图①，当
，求
，
的长．
图
如图②，当
，求证
，且
．
图
若直线
与直线
相交于点
，求点
的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
的长都等于
．
证明见解析．
点
的纵坐标的最大值为
．
当
时，点
与点
重合，如图①．
∵点
点
，
∴
．
∵点
，点
分别为
，
的中点，
∴
，
∵正方形
是正方形
绕点
顺时针旋转
得到的，
∴
，
．
在
中，
．
在
中，
．
∴
，
的长都等于
．
9
（2 ）
方法一：
方法二：
（3 ）
当
时，如图②．
∵正方形
是由正方形
绕点
顺时针旋转
所得，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，且
．
∵
，
，
∴
，
∴
．
在第一象限内，当点
与点
重合时，点
的纵坐标最大．
过点
作
轴，垂足为
，如图③所示．
∵
，
，
，
∴
，
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴点
的纵坐标的最大值为
．
，点
、
、
、
四点共圆，
当点
在劣弧
上运动时，点
的纵坐标随着
的增大而增大．
，点
在以点
为圆心，为半径的圆
上运动，
当
与
相切时，
（即
）最大，
此时
，点
与点
重合，点
的纵坐标达到最大．
过点
作
轴，垂足为
．
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【标注】
，
，
，
，
．
．
，
，
．
点
的纵坐标的最大值为
．
【知识点】正方形与全等综合
