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1
旋转【章节复习】压轴题 最值 题集C3
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知，在
中，
．
如图，将边
、
同时绕着点
分别按逆时针、顺时针方向旋转
，得
、
，连接
、
，求证：
．
图
如图，若
，
，将边
绕着点
逆时针旋转
，得
，连接
，
求
的长．
如图，
为
上一点，
，以
为圆心，
的长为半径作
，点
是
上动
点，连接
，以
为腰作等腰
，使
，其中
、
、
三点为逆
时针顺序，连接
，则
的取值范围是 ．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
，
，
∴
，
∴
≌
，
∴
．
将
绕
逆时针旋转
至
，
2
图
图
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
，
，
∴
，
而
，
∴
，
∴
．
提示：作
，
，截取
，
则
在以
为圆心，为半径的圆上．
【知识点】旋转性质综合应用
（1 ）
（2 ）
2. 如图，四边形
、
均为正方形．
如图，连接
、
，判断
和
的数量关系和位置关系并证明．
图
将正方形
绕点
顺时针旋转角
，如图，连接
、
相交于点
，连接
，求出
的度数．
图
3
（3 ）
方法一：
方法二：
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
若
，
，连接
，将正方形
绕点
顺时针旋转角
，
则在这个旋转过程中线段
长度的取值范围 （直接填空，不写过程）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
且
，证明见解析．
（等腰直角对直角）．
，
，证明如下：
∵四边形
、
均为正方形，
∴
，
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
延长
交
于
，∵正方形
、
，
∴
，
，
，
在
和
中：
，
∴
≌
，∴
，
又∵
，
∴
，∴
．
如图，过
作
，
，垂足分别为
、
，
4
方法二：
方法一：
（3 ）
可知四边形
为矩形，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，且
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
．
过
作
交
于
，
交
于
，
由⑴易证：
≌
，得：
，∵
，
，
∴
，又∵
，∴
≌
，∴
，
又∵
，∴
，又∵
，
，
∴
，∴
．
当在初始位置时，
最大，此时
，
，由勾股定理可求
得
，
当
点在线段
上时，
最小，此时
，
，所以
，而
旋转角取不到
，
所以
的范围为：
，
5
方法二：
【标注】
故答案为：
．
连接
，∵
，
，∵
，当
、
、
三点共线时，且
在
之间时，
，当
在
延
长线时，
（取不到），
∴
．
【知识点】正方形的性质
（1 ）
1
2
（2 ）
3. 在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
，点
，正方形
的两条对角线的交点为
，延长
至点
，使
，延长
至点
，使
，以
，
为邻边做正方形
．
如图①，求
的长及
的值．
如图②，正方形
固定，将正方形
绕点
逆时针旋转，得正方形
，记
旋转角为
，连接
．
在旋转过程中，当
时，求的大小．
在旋转过程中，求
的长取最大值时，点
的坐标及此时的大小（直接写出结果即
可）．
【答案】（1 ）
1
（2 ）
．
．
或
．
6
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
2
，
．
如图中，
图
∵
，
∴
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
如图中，
图
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴旋转角
．
7
2
【标注】
根据对称性可知，
当
时，
，也满足条件，
此时旋转角
，
综上所述，旋转角
或
时，
．
如图中，连接
，
图
∵四边形
是正方形的边长为
，
∴
．
∴当
时，
、
、
在一条直线上时，
的长最大，最大值为
．
此时
，
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
（1 ）
（2 ）
4. 将一个等边三角形纸片
放置在平面直角坐标系中，点
，点
，点
，
分别在
，
边上，
，
．
如图，将
沿射线
方向平移，得到
．当点
平移到
的中点时，求点
的坐标．
y
x
如图，若边
与
的交点为
，边
与
的角平分线交于点
，当
多大
时，四边形
为菱形？说明理由．
8
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
y
x
若将
绕点
顺时针旋转，得到
，连接
，边
的中点为
，连接
，
当
最大时，求点
的坐标及
的值（直接写出结果即可）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
坐标为
．
当
时，四边形
为菱形．
，
．
过
作
轴于
，
y
x
∵等边
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
由平移可知:
也是等边三角形，
是
的中点，
∴
，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
∴
,
在
中，
，
∴
坐标为
．
当
时，四边形
为菱形，
理由：由平移可知
，
，
∴四边形
为平行四边形，
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（3 ）
【标注】
又∵
为
的角平分线，
∴
，
∴可得
和
的内角都是
，
∴
和
都是等边三角形，
故
，
，
而
，
∴当
时，
，
∴
，四边形
为菱形．
如图，
在以
为圆心，
为半径的圆上，
y
x
当
，
，
三点共线时，
最长，
此时
，
作
轴于
，
在
中，
，
，
∴
，
，
此时
轴，
，
．
【知识点】定长线段运动问题
