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【全等模型之角含半角】题集【A】
1. 半角在倍角内
1.
【解析】
【标注】
如图，正方形
的边长为，点
、
分别在边
、
上，且
，求
的周
长．
【答案】
的周长为
．
∵四边形
为正方形，
∴
，
，
∴把
绕点
顺时针旋转
可得到
，如图，
∴
，
，
，
，
∴
∴点
在
的延长线上，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
而
，
∴
，
∴
的周长
．
【知识点】旋转型全等
2
2.
【解析】
【标注】
如图，
是正方形
中
边上的任意一点，以点
为中心，把
绕点
顺时针旋转
得
到
，
的平分线交
边于点
，求证：
的周长等于正方形
的周长的
一半．
【答案】证明见解析．
∵把
绕点
顺时针旋转
得到
，
的平分线交
边于点
，
∴
，
∴
≌
，
∴
的周长
正方形
的周长的一半．
【知识点】旋转型全等
A
B
C
D
E
F
3.
【解析】
如图，在四边形
中，
，
，
、
分别是边
、
上的点，且
．求证：
．
【答案】证明见解析．
延长
到
，使
，连结
．
3
【标注】
A
B
C
D
E
F
∵
，
，
∴
≌
（
）．
∴
，
．
∴
．
∴
．
又
，
∴
≌
（
）．
∴
．
∵
．
∴
．
【知识点】构造旋转全等
4.
【解析】
已知
、
分别是正方形
的边
、
上的点，且
，
，
为垂足，
求证：
．
【答案】证明见解析．
延长
至
，使
，连结
，
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【标注】
易证
≌
，
，
．
再证
≌
，
全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有
．
【知识点】正方形
（1 ）
（2 ）
5.
方法一：
（1 ）
【解析】
设
、
分别在正方形
的边
、
上滑动且保持
，
于点
．
求证：
．
若
，直接写出
的周长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
将
绕点
按逆时针方向旋转
，得
，
∵
即
、
、
在一条直线上，
∵
，
，
，
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方法二：
（2 ）
【标注】
∴
≌
，
∵
，
∴
，即
．
延长
至点
，使
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∴
≌
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
∴
≌
．
∴
．
．
【知识点】旋转型全等
，
，
2. 半角在倍角外
图
（1 ）
（2 ）
1. 已知四边形
中，
，
，
，
，
，
绕
点旋转，它的两边分别交
，
（或它们的延长线）于
，
．
图
图
当
绕
点旋转到
时（如图），求证：
≌
．
当
绕
点旋转到
时（如图），猜想线段
，
，
有怎样的数量关
系，并证明你的猜想．
6
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
当
绕
点旋转到图这种情况下，猜想线段
，
，
有怎样的数量关系，并证
明你的猜想．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
∵
，
，
∴
，
∵在
和
中，
，
，
，
∴
≌
（
）．
猜想
，
如图，将
顺时针旋转
，
∵
，
，
∴
点与
点重合，
∴
，
，
∵
，
，
，
∴
，
在
和
中，
，
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
猜想
，
如图，将
绕点
顺时针旋转
，
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【标注】
∵
，
，
∴
点与
点重合，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
【知识点】旋转型全等
图
（1 ）
（2 ）
2. 问题：
如图，在四边形
中，
，
，
，点
，
分别在
，
上，若
，试探究线段
，
，
有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想，不用证明．
如图，在四边形
中，
，
，点
，
分别在
，
的延长线上，若
仍然成立，请你进一步探究线段
，
，
又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
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图
（1 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
猜想的结论：
．
猜想的结论：
．
如图，
∵
，
，
∴梯形
是等腰梯形，
∴
，
把
绕点
顺时针旋转
度数到
（或延长线段
，并在延长上截取
，连接
），
则
≌
，
∴
，
，
，
，
∴
，
∴点
、
、
三点共线，
∵
，
∴
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（2 ）
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
（
），
∴
，
又∵
，
∴
．
猜想的结论：
．
在
截取
，连结
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
，
∴
≌
．
∴
，
．
∴
，即
．
∵
，
∴
，即
．
又∵
，
，
∴
≌
．
∴
．
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【标注】
∵
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
