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1
【全等模型之角含半角】题集【B】
1. 半角在倍角内
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
方法一：
方法二：
（1 ）
【解析】
为等边
外一点，且
，
，点
，
分别在
，
上，若
．
度．
作出
的高
，并证明
．
在第（）的基础上，求证：
平分
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
如图，将
顺时针旋转
得到
，
则
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
延长
至点
，使
，
∵
是等边三角形，
∴
，
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
又∵
，
，
∴
．
∴
．
∴
≌
．
∴
，
．
∴
．
又∵
，
∴
≌
．
∴
．
的高
如图，
∵
，
，
∴
，
在等边
中，
，
∴
，
∴
，
，
，
，
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
，
∴
≌
∴
平分
．
【知识点】旋转型全等
2. 问题：如图（），点
、
分别在正方形
的边
、
上，
，试判断
、
、
之间的数量关系．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
【发现证明】小聪把
绕点
逆时针旋转
至
，从而发现
，
请你利用图（）证明上述结论．
【类比引申】如图（），四边形
中，
，
，
，点
、
分别在边
、
上，则当
与
满足 关系
时，仍有
．
【探究应用】如图（），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形
．已知
米，
，
，
，道路
、
上分别
有景点
、
，且
，
米，现要在
、
之间修一条笔直道路．求
这条道路
的长（结果取整数，参考数据，
，
）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
的长约为
米．
如图（），∵
≌
，
∴
，
，
，
，
4
（2 ）
（3 ）
又∵四边形
为正方形，
∴
，
∴
、
、
三点共线，
又∵
，即
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
）．
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
．
．
理由如下：如图（），延长
至
，使
，连接
，
∵
，
，
∴
，
在
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
即
．
如图，把
绕点
逆时针旋转
至
，连接
，过
作
，垂足为
．
∵
，
，
5
【标注】
∴
，
又∵
，
∴
是等边三角形，
∴
米．
根据旋转的性质得到：
，
又∵
，
∴
，即点
在
的延长线上．
易得，
≌
，
∴
，
，
，
又∵
，
．
故
，
∴
．
从而
．
又∵
，
∴根据上述推论有：
（米），即这条道路
的长约为
米．
【思想】类比思想
【知识点】全等三角形的性质
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】旋转型全等
【知识点】SAS
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】旋转的性质
【知识点】正方形的性质
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
（1 ）
3. 已知，正方形
中，
，
绕点
顺时针旋转，它的两边分别交
、
（或它们的延长线）于点
、
，
于点
．
如图①，当
绕点
旋转到
时，请你直接写出
与
的数量关
系： ．
6
（2 ）
（3 ）
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
A
B
C
D
M
N
H
图
如图②，当
绕点
旋转到
时，（）中发现的
与
的数量关系还成
立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明．
B
C
D
M
H
图
如图③，已知
，
于点
，且
，
，求
的长．
（可利用（）得到的结论）．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
成立，证明见解析．
的长为．
成立，理由如下：
如图，将
绕点
旋转
，由于
,
∴旋转后
点与
点对应，
点与
点对应．
由旋转可知
≌
，
∴
，
，
又
，
∴
7
方法二：
（3 ）
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
又
，
，
∴
，∴
．
延长
至点
，使
，连接
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∴
≌
．
∴
，
，
又
，
∴
．
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
又
，
，
∴
，∴
．
作
关于直线
的对称
，
作
关于直线
的对称
，
∵
是
的高，
∴
，
∴
．
又∵
，
∴
．
延长
、
交于点
，
则四边形
是矩形，
又∵
，
8
【标注】
∴四边形
是正方形，
由（）、（）知：
，
，
设
，则
，
∴
，
，
，
在
中，
，
解得
，
，
故
的长为．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
4. 如图：在四边形
中，
，
，
．
，
分别是
，
上的点．且
．探究图中线段
，
，
之间的数量关系．
图
小王同学探究此问题的方法是延长
到点
．使
．连接
，先证明
≌
，再证明
≌
，可得出结论，他的结论应是 ．探索延伸：如图
，若在四边形
中，
，
．
，
分别是
，
上的点，
且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
9
图
x
y
O
图
（2 ）
（1 ）
【解析】
实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（
处）北偏西
的
处，舰艇乙
在指挥中心南偏东
的
处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲
向正东方向以
海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东
的方向以
海里/时的速度前进．
小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达
，
处，且两舰艇之间的夹角为
，试
求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1 ）
（2 ）
仍然成立，证明见解析．
海里．
延长
至点
，使得
，连接
，
∵
，
，
∴
．
又
，
，
∴
≌
，
∴
，
．
∴
，
∴
，
10
方法一：
方法二：
（2 ）
又∵
，
∴
，
又
，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
绕点
旋转
至
，使
与
重合，连接
．
∴
，
在
中，
，
∴
，
，
∵
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
又∵
（海里），
（海里），
∴
（海里）．
由已知，
，
，
，
，
，
记
与轴交点为
，则
，
延长
至点
，使
，连接
、
，
11
【标注】
则
，
∴
≌
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
∴
≌
．
∴
（海里）．
【知识点】截长补短
2. 半角在倍角外
（1 ）
（2 ）
1. 已知四边形
中，
，
，
，
，
，
的两边分别交
、
（或它们的延长线）于
、
．
当
绕
点旋转到
时，如图，证明：
．
图
当
绕
点旋转到
时，如图，上述结论是否成立？（不需证明）
12
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
当
绕
点旋转到
时，如图，第⑴问结论是否成立？若成立，请给予证
明；若不成立，线段
，
，
又有怎样的数量关系，请写出，不需证明．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
成立，理由同上．
不成立，
．
如图，延长
至点
，使得
，连接
，
可证
≌
，
≌
，
可得
．
图
成立，理由同上．
13
（3 ）
【标注】
图
不成立，
；
在
上截取
，连接
，同理可证
≌
，
≌
．
图
【能力】推理论证能力
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】对应边
【知识点】截长补短
（1 ）
2. 已知，在四边形
中，
，
，
，
，
分别交射线
、射线
于点
、
．
如图，求证：
.
、
14
（2 ）
（1 ）
【解析】
如图，求证：
.
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
如图
延长
到
点，使
，连接
，
，
，
，
15
（2 ）
，
，
，
，
∴在
和
中，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
∴
，即
在
和
中，
，
≌
，
，
，
．
如图：
在边
上截取
，
，
，
，
，
在
和
中，
16
【标注】
≌
，
，
，
，
≌
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
B
C
D
A
E
F
图
B
C
A
D
E
F
图
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在正方形
中，
、
分别是
、
上的点，且
，易证
．
如图，在四边形
中，
，
，且
，
，请直接写出
、
与
三条线段之间的数量关系 ．
如图，若点
在
延长线上，点
在
延长线上，（）中其它条件不变，请你直接写出
、
与
三条线段之间的数量关系 ．
17
E
C
A
F
D
B
图
B
C
A
D
E
F
图
（3 ）
B
E
A
F
C
D
图
（4 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，在四边形
中，
，
，
，请直
接写出
、
与
三条线段之间的数量关系 ．
如图，在（）的条件下，若点
在
延长线上，点
在
延长线上，其它条件不变，请
你判断
、
与
三条线段之间的数量关系并证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
，证明见解析．
略．
略．
略．
18
（4 ）
【标注】
，
在
上截取
，可证
≌
，
于是
，
，
∴
，
∴
，可得
≌
，
∴
．
B
E
A
F
C
D
G
图
【知识点】截长补短
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 如图，在
中，
，
，
，把
绕点
旋转，在整个
旋转过程中，过点
作
，垂足为
，直线
交
于
．
如图①，当
在
内部时，求证：
．
图
如图②，当
在
外部时，则线段
、
与
的关系为 ．
图
在（）的条件下，若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）证明见解析．
19
（1 ）
（2 ）
【解析】
（2 ）
（3 ）
．
如图①，延长
到
，使
，
图
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
．
，
∴
，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
即
．
如图②，在
上截取
，
图
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
20
（3 ）
【标注】
又∵
，
∴
，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
即
，
故答案为：
．
∵
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】中点类辅助线
