文档文本内容
1
抛物线与直线：面积最值【题集B】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知直线
与轴交于点
，与轴交于点
，抛物线
经过点
和点
．
求此抛物线的解析式．
在直线
上方的抛物线上是否存在点
，使得
的面积最大？若存在，求出点
的坐
标．若不存在，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
存在，
点坐标为
．
把
代入
得
，则
点坐标为
，
把
代入
得
，
解得
，则
点坐标为
，
把
，
代入
，
得
，
解得
，
所以二次函数解析式为
．
存在．
过
点作直线
的平行线
，当直线
与抛物线只有一个公共点时，
点
到
的距离最大，此时
的面积最大，
∵直线
的解析式为
，
∴
，即
，
由直线
和抛物线
组成方程组，
2
【标注】
得
，
消去得到
，
∴
，解得
，
∴
，解得
，
把
，
代入
得
，
∴
点坐标为
．
【知识点】二次函数与面积
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
交轴于点
，交轴于点
和点
，过点
作
轴交抛物线于点
．
求此抛物线的表达式．
点
是抛物线上一点，且点
关于轴的对称点在直线
上，求
的面积．
若点
是直线
下方的抛物线上一动点，当点
运动到某一位置时，
的面积最大，求
出此时点
的坐标和
的最大面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
，
．
∵抛物线
交轴于点
，交轴于点
和点
，
∴
，得
，
∴此抛物线的表达式是
．
∵抛物线
交轴于点
，
∴点
的坐标为
，
3
（3 ）
【标注】
∵
轴，点
是抛物线上一点，且点
关于轴的对称点在直线
上，
∴点
的纵坐标是，点
到
的距离是
，
当
时，
，得
或
，
∴点
的坐标为
，
∴
，
∴
的面积是：
．
设点
的坐标为
，如右图所示，
设过点
，点
的直线
的函数解析式为
，
，得
，
即直线
的函数解析式为
，
当
时，
，
∵
，
∴
的面积是：
，
∵点
是直线
下方的抛物线上一动点，
∴
，
∴当
时，取得最大值，此时
，点的坐标是
，
即点的坐标是
时，
的面积最大，此时
的面积是
．
【知识点】二次函数与几何最值问题
3. 抛物线
与轴交于点
、B(点
在点
右侧)，与轴交于点
，若点
为第二象限
抛物线上一动点，连接
、
．求
面积的最大值．
【答案】
．
4
【解析】
【标注】
过
作
轴交
于点
，
设
坐标为
，则
，
∴
，
由
，
∴
，
当
时，
取到最大值，此时，
．
而
，
∴
．
【知识点】二次函数与面积
四边形
四边形
四边形
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图所示，抛物线
的顶点为
，与轴交于
、
两点，且
，与
轴交于点
．
求抛物线的函数解析式．
求
的面积．
能否在抛物线第三象限的图象上找到一点
，使
的面积最大．若能，请求出点
的坐
标．若不能，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
设此函数的解析式为
，
∵函数图象顶点为
，
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，
又∵函数图象经过点
，
∴
解得
，
∴此函数的解析式为
，即
．
∵点
是函数
的图象与轴的交点，
∴点
的坐标是
，
又当
时，有
，
解得
，
，
∴点
的坐标是
，
则
．
假设存在这样的点，过点
作
轴于点
，交
于点
．
设
，则
，
设直线
的解析式为
，
∵直线
过点
，
，
∴
，
解得
，
∴直线
的解析式为
，
∴点
的坐标为
，
则
，
∴
，
，
，
∴当
时，
有最大值
，
此时点
的坐标是
．
【知识点】二次函数与面积
5. 已知直线
与抛物线
相交于
、
两点，点
是抛物线与轴的交
点．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求
、
、
三点的坐标．
求
的面积．
在
段的抛物线上是否存在一点
，使得
的面积最大？若存在，请求出点
的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
，
．
．
存在，
点坐标为
．
如图，
由题意，得
，
解得
，
，
即
，
，
，当
时，
，
点
是抛物线与轴的交点
．
如图，
设
的解析式为
，将
，
代入函数解析式，得
，
解得
，
7
（3 ）
【标注】
的解析式为
，当
时，
，即
，
的长是
，
．
在
段的抛物线上存在一点
，使得
的面积最大，
如图，作
垂直于轴交
于
点，
设
点坐标为
，
点坐标为
，
的长为
，
，
当
时，
，
时，
，
即
点坐标为
．
【知识点】二次函数与几何最值问题
最大
6. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象的顶点为
，与轴交于点
，与轴交于
、
两点，点
在原点的左侧，点
的坐标为
，
．
8
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
x
y
O
求这个二次函数的解析式．
如图，若点
是该抛物线上一点，
是直线
下方抛物线上的一动点，当点
运动到
什么位置时，
的面积最大？求此时点
的坐标和
的最大面积．
x
y
O
【答案】（1 ）
（2 ）
．
最大值是
，
．
当
时，
，即
设
的解析式为
，将
、
代入函数解析式，得
，解得
，
直线
的解析式为
．
过
作
轴交
于
，如下图，
在抛物线上，
在直线
上，
设
点坐标为
，
，
当
时，最大值是
，
，
9
【标注】
即
．
x
y
O
【知识点】二次函数与面积
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，抛物线
与轴交于
，
两点，与轴交于点
，点
与点
关于轴对
称．
求点
、
、
的坐标．
求直线
的解析式．
在直线
下方的抛物线上是否存在一点
，使
的面积最大？若存在，求出点
的坐
标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
点坐标为
，
点坐标为
，
点坐标为
．
直线
的解析式为
．
存在，
．
解方程
，得
，
，
∴
点坐标为
，
点坐标为
，
当
时，
，
∴
点坐标为
．
∵点
与点
关于轴对称，
10
（3 ）
【标注】
∴
点坐标为
，
设直线
的解析式为
，则
，
解得
，
∴直线
的解析式为
．
如图，作
轴交
于
，设
，则
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
时，
的面积最大，面积的最大值为，
∴
．
【知识点】二次函数与面积
（1 ）
（2 ）
8. 如图，已知抛物线
与轴交于
、
两点（点
在点
的左边），与轴交于点
，
连接
．
求
、
、
三点的坐标；
11
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若点
为线段
上的一点（不与
、
重合），
轴，且
交抛物线于点
，交轴
于点
，当
的面积最大时，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，
（）抛物线
与轴交于
、
两点，与轴交于点
，
．
令
，
，
，
，
．
∵点
在点
的左边，
∴
，
，
．
，
，
直线
的解析式为
．
，
设
，
，
当且仅当，
是，
有最大值为
．
即
．
【知识点】二次函数与面积
（1 ）
9. 如图，在直角坐标系中，抛物线经过点
，
，
，其对称轴与轴相交于点
．
求抛物线的解析式和对称轴．
12
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
连接
，在直线
的下方的抛物线上，是否存在一点
，使
的面积最大？ 若存
在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
;
．
存在；
．
根据已知条件可设抛物线的解析式为
，
把点
代入上式得：
，
∴
，
∴抛物线的对称轴是：
．
在直线
的下方的抛物线上存在点
使
面积最大．设
点的横坐标为，
此时点
，
如图，过点
作
轴交
于
；作
于
，
由点
，和点
可求出直线
的解析式为：
，把
代入得：
，则
，
此时：
，∵
，
∴
∴当
时，
面积的最大值为
，由
，得：
，
∴
．
13
【标注】【知识点】二次函数与面积
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，抛物线
与轴交于点
，与 轴交于点
、
．
点
是抛物线上的一个动点，且在直线
上方，试求出
面积的最大值及此时点
的坐标
点
是抛物线上的一个动点，且在直线
上方，过点
作
交 轴于点
，交
于点
，试求出
面积的最大值及此时点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
，
．
过
作
轴交
于
点，
，
设
，
，
，
当
时，此时
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
当
时，
，此时
．
【知识点】二次函数与面积
11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于
、
两点（点
在点
的左
侧），与轴交于点
，抛物线的顶点为
，
，
14
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求抛物线解析式及
点坐标．
为线段
上（不与
、
重合）一动点，过点
作轴的平行线交线段
于点
，交抛物
线于点
，过点
作
交
于点
，当
与
的面积相等时，求点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
；
点坐标
．
点坐标为
．
把
，
的坐标代入
，
得到
，解得
．
函数的解析式为
，
顶点
的坐标为
．
如图中，
图
设
则
，
∵
，
，
∴直线
的解析式为
，
用
的交点
，
15
【标注】
∵
，
，
∴
，
∵
与
的面积相等，
∴
≌
，
∴
，
在
中，
，
∴
，∴
，
∴
解得
或
（舍弃），
∴
．
【知识点】二次函数与面积
（1 ）
（2 ）
（3 ）
12.
（1 ）
【解析】
如图，顶点为
的抛物线
分别与轴相交于点
，
（点
在点
的右侧），与
轴相交于点
．
求抛物线的函数表达式．
判断
是否为直角三角形，并说明理由．
抛物线上是否存在点
（点
与点
不重合），使得以点
，
，
，
为顶点的四边形的面
积与四边形
的面积相等？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
是直角三角形．
存在，
或
或
．
∵抛物线
与轴相交于点
．
16
（2 ）
（3 ）
∴
，
∴
，
∴抛物线解析式为
．
是直角三角形．
理由：由（）有，抛物线解析式为
，
∵顶点为
的抛物线
，
∴
，
由（）抛物线解析式为
，
令
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
是直角三角形．
存在，
或
或
．
①当点
在轴上方的抛物线上，
如图，由（）有
是直角三角形，
，
，
∴
，
，
∴
．
设
，
∵以点
，
，
，
为顶点的四边形的面积与四边形
的
面积相等，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
在抛物线解析式为
的图象上，
∴
，
∴
，
，
17
【标注】
∴
或
．
②如图，当点
在轴下方的抛物线上，
∵点
在对称轴的右侧，
∴点
在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点
作
，交抛物线于点
，
∵
，
，
∴直线
解析式为
．
设
的解析式为
，
∵抛物线解析式为
①，
∴
，
∴直线
解析式为
②，
联立①②得
（舍，
，
∴
，
即：
或
或
．
【知识点】二次函数与面积
（1 ）
（2 ）
（3 ）
13. 如图，抛物线
与轴相交于点
、
（点
在点
的左侧）与轴相交于
点
，顶点
在第一象限．
求顶点
的坐标（用
的代数式表示）．
当
时，求
的变化范围．
当
的面积与
的面积相等时，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
18
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（3 ）．
．
作
于
，令
，
，即
，
，
，
，∴
，
．
，
．
由抛物线的对称性知
，
．
当
时，∴
，
．
∵
，∴
，解得
．
，
，
∴
，
∴
，
，
（舍去），
（舍去），
．
【知识点】二次函数与面积
14. 抛物线
与轴交于点
、
（点
在点
右侧），与轴交于点
，若点
为第二
象限抛物线上一动点，连接
、
，求四边形
面积的最大值，并求此时
点的坐标．
x
y
O
【答案】
19
【解析】
【标注】
最大值为
．点
坐标为
．
解法一：过点
作
轴于点
，
设
∴
，
，
∴
，
∴当
时，
最大，且最大值为
．
此时，点
坐标为
．
解法二：过
作
轴交
于点
，
设
坐标为
，则
，
∴
，
由
∴
，
当
时，
取到最大值，此时，
．
过抛物线上一点作
平行线，
当直线与抛物线有且只有一个公共点时，
取到最大值，此点即为点
，
设直线解析式为
，
则方程
，有两个相等实根，即
，
可求
，由此可求得方程的根，即可求出
点坐标．
【知识点】二次函数与面积
，
，
，
，
，
15.
20
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在直角坐标系中有一直角三角形
，
为坐标原点，
，
，将此三
角形绕原点
逆时针旋转
，得到
，抛物线
经过点
、
、
．
x
y
O
x
y
O
备用图
求抛物线的解析式．
若点
是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为，是否存在一点
，使
得面积最
大？若存在，求出
的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
存在．最大值为
．
在
中，
∵
，∴
，
由题意得，
，
，
，
∴
、
、
的坐标分别为
，
，
．
设抛物线解析式为
，
∴
，解得
，
∴抛物线解析式为
，
即
．
故答案为：
．
设直线
的解析式为
，
由题意得
，解得
，∴直线
的解析式为
，过点
作P
M//y轴交
于
，如图，则
，
，
∴
，∵
，
∴
，∵
，
21
【标注】
且
，∴当
时，
有最大值，最大值为
．
故答案为：存在．最大值为
．
x
y
O
【知识点】二次函数与面积
（1 ）
（2 ）
（3 ）
16.
（1 ）
【解析】
如图，在直角坐标平面内，点
、
在轴上（
点在
点左侧），点
在轴正半轴上，若
，
，且
．
y
O
x
求点
、
的坐标．
求经过点
、
、
三点的抛物线的解析式．
是
中所求抛物线的顶点，设
是此抛物线上一点，若
与
的面积相等，求
点的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
．
或
．
据题意
，
中，
，
∴
，
∴
，
，
22
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
．
故答案为：
，
．
设
，
将
代入得
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
设
，
∵
，
∴
，
∵
，∴
，
∵
，
∴
．
当
时，
，解得
，
∴
，
当
时，
，解得
，
∴
．
综上所述，
的坐标为
或
．
故答案为：
或
．
【知识点】二次函数与面积
，
