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6.4 空间几何体的空间角与空间距离（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（23-24 安徽芜湖·期末）在三棱锥
中，
，
，E，F 分别是
，
的中点，
，则直线
与
所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】取
的中点
，连接
，
因为E，F 分别是
，
的中点，
所以
，故
或其补角为直线
与
所成的角，
，
又
，
故
，
故直线
与
所成的角的余弦值为
.
故选：A
2.（2024·广西来宾·一模）棱长为3 的正方体
中，点E，F 满足
，
，则点
E 到直线
的距离为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得
，
，
，
，
，设向量
与
的夹角为
，
，
所以点
到直线
的距离为
.
故选：A.
3．（2025·青海）在直三棱柱
中，
，
，
为线段
的中点，点
在线
段
上，且
，则直线
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，以点
为原点建立空间直角坐标系，
不妨设
，则
，
2
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则
，故
，
因为
轴
平面
，则可取平面
的法向量为
，
则
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
故选：B.
4．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，
彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅
因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知
和
是圆
的两条互相垂直的直径，将平面
沿
翻折至平面
，使得平面
平面
（如图2）此时直线
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，而平面
平面
，平面
平面
，
又
平面
平面
，则
平面
，
，
因此直线
两两垂直，以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
3
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令圆半径
，则
，
，设平面
的一个法向量
，
则
，令
，得
，设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
故选：B
5（2025 广西）如图，在圆锥
中，
为圆锥的底面直径，
为等腰直角三角形，B 为底面圆周
上一点，且
，M 为
上一动点，设直线
与平面
所成的角为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，过点
作
于点
，连
，∵
平面
，
平面
，∴
，又
，
，
平面
，∴
平面
，又∵
平面
，∴
，故
4
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为直线
与平面
所成的角，在
中，
越小，
越大，
越大，当
时，
最小，此时
最大，∵
为等腰直角三角形，又
，在
中，
,在
中，
，则
,在等腰直角三角形
中，
，在
中，
,
,则
，
故选：C.
6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为
的正方体
中，
，
分别为棱
，
的中
点，
为棱
上的一点，且
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
5
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【解析】以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系
．
则
，
，
，
，所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
令
，则
，
，所以平面
的一个法向量为
．
所以点
到平面
的距离为
，
故选：A
7．（2025·甘肃白银·三模）已知平行六面体
的各棱长均为1，且
，
则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．线段
的长度为
C．直线
与平面
所成角的正切值为
6
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D．三棱锥
的体积是平行六面体
的体积的
【答案】D
【解析】以
为空间向量的基底来表示空间向量：
，
因为
所以
，故B 正确；
又由
，
则
，故A 正确；
由底面
是菱形，则
，
又因为
，
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，平面
平面
，
所以直线
与平面
所成的角就是
，
利用
的菱形
可得：
，
再由余弦定理得：
，
7
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则
，故C 正确；
设平行六面体的高为，则三棱锥
的体积为
，
而平行六面体
的体积为
，
所以三棱锥
的体积是平行六面体
的体积的
，故D 错误；
故选：D.
8．（2025·江苏盐城·模拟预测）在等腰梯形
中，
为
中点，点
为
的中点，将
沿
折起到
的位置，使得平面
平面
，下列说法中不正确的有
（ ）
A．
平面
B．点
到平面
的距离为
C．
与平面
所成角的正弦值为
D．三棱锥
外接球表面积为
【答案】B
【解析】在等腰梯形
中，
为
中点，
，且
，
四边形
为平行四边形，
，且
，又
，所以
为等边三角形，
即
，所以四边形
和四边形
均为菱形，
，
，
，
8
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，翻折后，
，
，
又
平面
，
，所以
平面
，故A 正确；
对于B，
平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
平面
，
，
，
，
，
则
，即
，
，
设点
到平面
的距离为，
，解得
，故B 错误；
对于C，
与平面
所成角的正弦值为
，故C 正确；
对于D，根据题意
为等边三角形，且平面
平面
，
设
外接圆圆心
，过
分别作平面
与平面
的垂线，交点
即为球心，连接
，
9
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，
，
所以三棱锥
外接球表面积为
，故D 正确；
故选：B
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在棱长为1 的正方体
中，O 为上底面
的中心，则
（ ）
A．
平面
B．
C．直线
与
的距离为
D．直线
与平面
所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】如图，建立空间直角坐标系，
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则
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，可得
，
所以
，即
，
又因为
平面
，所以
平面
，故A 正确；
，平面
的法向量
，
设直线BC 与平面
所成角为
，
则
，
所以直线BC 与平面
所成角的正弦值为
，故D 正确；
，
，
则
，
所以
不成立，故B 错误；
因为
，设
，
，
则
，令
，则
，
又因为
，所以直线
与
的距离为
，故C 正确.
故选：ACD
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10．（2025·辽宁盘锦·三模）在正三棱柱
中，点E 为棱
的中点，点F 为棱
的中点，则下列
说法正确的是（ ）
A．
平面
B．若
，则
C．若
，则直线
与
所成角的余弦值为
D．若
，则平面
与平面
的夹角为
【答案】ABD
【解析】对于A：依题意，
，则四边形
为平行四边形,
所以
，又
平面
，
平面
，故
平面
，故A 正确；
对于B：因为
，又
，
，
所以
，
则
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
（或其补角）即为直线
与
所成的角，
不妨设
，
，则
，
，
故直线
与
所成角的余弦值为
，故C 错误；
对于D，取
的中点
，连接
，则
是正三棱柱
的中截面，
平面
平面
，平面
与平面
的夹角等于平面
与平面
的夹角，
取
的中点
，连接
，由
，
得
，又
，则
是平面
与平面
的夹角，
12
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在
中，
，则
，
所以平面
与平面
的夹角为
，故D 正确．
故选：ABD
11．（2025·浙江嘉兴·二模）已知四棱锥
，底面是边长为
的正方形，
底面
，
，点
满足
，
，下列说法正确的是（ ）
A．存在点
，使得
B．当
时，点
到平面
的距离为
C．当平面
平面
时，
D．当二面角
为
时，
【答案】AC
【解析】因为
底面
，
，底面
是边长为
的正方形，
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
13
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则
、
、
、
、
，
，其中
，
故点
，
对于A 选项，
，
，
若存在点
，使得
，则
，解得
，合乎题意，
所以，存在点
，使得
，A 对；
对于B 选项，当
时，点
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，可得
，且
，
所以，点
到平面
的距离为
，B 错；
对于C 选项，设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，可得
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
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则
，取
，则
，
若平面
平面
，则
，解得
，C 对；
对于D 选项，平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，可得
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，则
，
若二面角
为
，则
，解得
，D 错.
故选：AC.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱台
中，
平面
，四边形
为正方形，
，则直线
与平面
所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】连接
与
交于点
，因为
平面
，
平面
，所以
，
因为四边形
为正方形，所以
平面
，
15
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又
，则
平面
，
故
即 为
在平面
上的射影，
即为所求的线面角，
又
，
，故
.
故答案为：
.
13．（2025·上海·模拟预测）已知P 是一个圆锥的顶点，
是母线，
，该圆锥的底面半径是1．B、C 分
别在圆锥的底面上，则异面直线
与
所成角的最小值为 ．
【答案】
【解析】
如图，过
作
交底面圆锥于
点，连接
，
因为
，则
为异面直线
与
所成角，
所以
，
又
，所以
，即
，
因为
，函数
在
上单调递减，所以
，
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故异面直线
与
所成角的最小值为
.
故答案为：
.
14．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
为侧面
内（包含边界）的动点，且
，则动点
的轨迹长度为 ；当线段
取最小值时，三棱
锥
的外接球的半径
．
【答案】
【解析】如图①，建立空间直角坐标系，则
．
设
，则
，
由题意得
，则
．
又因为
，
，所以
．
设
分别为
的中点，则线段
为动点
的轨迹，轨迹长度为
．
，则当
时，线段
取得最小值，此时
，
则点
在平面
内的投影为点
的中点
．
如图②，设三棱锥
的外接球的球心为
．
由题意，
为
的外接圆圆心，
，
则
，即
，
解得
，所以
．
17
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故答案为：
，
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
底面
是
的中点，点
是棱
上靠近
的四等分点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到直线
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）法一：如图，连接
交
于
，连接
，
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因为底面
为矩形，所以
为
的中点，
因为
为
的中点，所以
是
的中位线，
得到
，而
平面
，
平面
，故
平面
.
法二：根据题意，以点
为坐标原点，
分别以
为
轴，建立空间直角坐标系，
由题意得
，
则
，
设
为平面
的法向量，
则
，即
，
令
，则
，故
，
平面
，
平面
.
（2）
，
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，
直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）由已知得
，
由点到直线的距离公式得
，
故点
到直线
的距离为
.
16．（2025·江西赣州·二模）如图，三棱锥
中，
是等边三角形，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)若
，
，
，求E 到平面ACD 的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）设
的中点为
，连接
，
由
是等边三角形，则
，
由中位线定理知
且
，则
，
20
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又
平面
，故
平面
，
由
平面
，所以
.
（2）由
，则
，
由题设
，则
，
，
由余弦定理
，
又
，
，则
，
由
，则
，
由
平面
，
平面
，可得平面
平面
，
在平面
内作
，则
平面
，
综上，
两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系
，
所以
，而
，则
，
所以
，
，
，
设
为平面
的一个法向量，则
，
取
，则
，
所以
到平面
的距离为
.
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17．（2025·全国·模拟预测）在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
为
的中点，如图所示．
(1)证明：
平面
；
(2)若
为等边三角形，平面
平面
，
，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图所示，取
的中点
，连接
．
由
分别为
的中点，则
，
而
，得
，
即四边形
为平行四边形，故
，
而
平面
平面
，故
平面
．
（2）取
的中点
的中点
，连接
，
由
为等边三角形，则
．
由平面
平面
，平面
平面
平面
，
故
平面
．
由
，
以
为坐标原点，
分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系．
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则
，
，
则
．
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，取
，得
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，取
，得
．
则
．
由图形知，二面角
为锐二面角，
故二面角
的余弦值为
．
18．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在直三棱柱
中，
分别为
的中点，
且
.
23
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(1)证明：
平面
.
(2)若
，在线段
上是否存在点
，使平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，确定
点
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，理由见解析.
【解析】（1）证明：因为
，
所以由题在
和
中，
，故
，
所以
，
所以可得
，又
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
又由直三棱柱性质可得
，
平面
，
所以
平面
.
（2）由题意和（1）可以C 为原点，
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
若
，则可设
，
则
,设
，
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则
，
设平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，
则
，
，
则
，
，
取
，则
，
所以
，
解得
（舍去）或
，
所以若
，在线段
上存在点
，使平面
与平面
夹角的余弦值为
，此时
为线段
的中点.
19．（23-24 广东广州·期末）如图1，在平行四边形
中，
，E 为
的中点．
将
沿
折起，连接
与
，如图2．
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(1)当
为何值时，平面
平面
?
(2)设
，当
时，是否存在实数
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
(3)当三棱锥
的体积最大时，求三棱锥
的内切球的半径．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【解析】（1）连接
，由题意得，
，
则
为等边三角形，
，
在
中，
，
由余弦定理得
，
所以
，由
，
则
，故
.
若平面
平面
，
由平面
平面
，
平面
，
，
则
平面
，
平面
，则
，
所以
.
下面证明当
时，平面
平面
.
26
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证明：由
，则
，
所以
，又
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
故当
时，平面
平面
；
（2）由（1）知，
，则平面
平面
.
在平面
内过
作
，
由平面
平面
，
平面
，
则
平面
，
平面
，则
.
如图，以点
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，过
垂直于平面
的直线为
轴，建立
如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
故
，
由
，
，
因为
轴垂直平面
，故可取平面
的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成角为
，
所以
，
化简得
，解得
或
（舍去），
故当
时，存在
，使直线
与平面
所成角的正弦值为
；
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（3）设点
到平面
的距离为，
由
，其中
为定值，
则要使三棱锥
的体积最大时，则点
到平面
的距离取最大，
取
中点
，连接
，则
，
当
平面
时，点
到平面
的距离最大，
此时，由
平面
，则平面
平面
，
由（1）知，
，
为直角三角形，
.
则
，
，
，
在
中，
，取
中点
，
则
，且
，
所以
，
设内切球球心为
，内切球半径为，由等体积法知，
其中，
，
故
，
故当三棱锥
的体积最大时，三棱锥
的内切球的半径为
.
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