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1
和切线性质有关的几何证明题二
（1 ）
（2 ）
1. 如图，⊙
为
的外接圆，直线与⊙
相切与点
，且
．
请仅用无刻度的直尺，在⊙
中画出一条弦，使这条弦将
分成面积相等的两部分（保
留作图痕迹，不写作法）．
请写出证明
被所作弦分成的两部分面积相等的思路．
（1 ）
（2 ）
2. 如图，已知
为⊙
的直径，
，
是⊙
的切线，
，
为切点，
．
求
的度数．
若
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在
中，
，以
为直径的⊙
分别交
，
于点
，
，过点
作⊙
的
切线，交
的延长线于点
．
求证：
．
连接
，
交于点
，若
，
，求
的长．
2
（1 ）
（2 ）
4. 如图，
为⊙
的直径，直线与⊙
相切于点
，过点
作
于点
，交⊙
于点
．
求证：
若
，
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
5. 如图，
是⊙
的直径，
是弦，直线
与⊙
相切于点
，
，
与
的延长线交
于点
，过点
作
于点
，交
于点
．
求证：
．
若
，
，写出求四边形
周长的思路．
（1 ）
（2 ）
6. 如图，
是⊙
的直径，
是⊙
上一点，经过点
的切线与
的延长线交于点
，连接
，
，
．
是⊙
上一点，连接
并延长与
的延长线交于点
．
求证：
；
若
，求
的值．
7. 如图，在
中，
，以
为直径的⊙
分别交
，
于点
，
，
的延长线与
⊙
的切线
交于点
．
3
（1 ）
（2 ）
求证：
．
若
，
，求
、
的长．
（1 ）
（2 ）
8. 如图，在
，
，以
为直径⊙
的分别交
、
与点
、
，且
是⊙
的切
线，
交
的延长线于
．
求证：
．
若
，
，求
和
的长．
（1 ）
（2 ）
9. 如图，
为⊙
的直径，以
为直角边作
，
，斜边
与⊙
交于点
，
过点
作⊙
的切线
交
于点
，
于点
，交⊙
于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
10. 已知：如图，
中，
，以
为半径作⊙
，
切⊙
于点
，连接
交
于点
．
4
（1 ）
（2 ）
求证：
．
若
，且
，求⊙
的半径．
（1 ）
（2 ）
11. 如图，在
，
，以
为直径的⊙
分别交
、
于点
、
，且
是⊙
的切
线，
交
的延长线于
．
求证：
．
若
，
，求
和
的长．
（1 ）
（2 ）
12. 如图，在
中，
，以
为直径的⊙
与边
、
分别交于点
、
．
是⊙
的切线，交
于点
．
求证：
．
若
，
，求
．
13. 如图，已知
是⊙
的直径，点
在
的延长线上，
切⊙
于点
，过点
作
，交
的延长线于点
，连接
并延长，交
于点
．
5
（1 ）
（2 ）
求证：
．
连接
，如果
，
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
14. 如图，点
在
的边
上，⊙
过点
且分别与边
、
相交于点
、
，
于
，直线
是⊙
的切线．
求证：
为等腰三角形．
若
，
，
，求线段
的长．
（1 ）
（2 ）
15. 已知：如图，在
中，
，以
为直径的⊙
交
于点
，过点
作⊙
的切线交
于点
．
求证：
．
若⊙
的半径为，
，求
的长．
16. 如图，已知
是⊙
的直径，点
在
的延长线上，
切⊙
于点
，过点
作
于
点
，连接
并延长，交
于点
．
6
（1 ）
（2 ）
求证：
．
若⊙
半径的长为，
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
17. 如图，在
中，
，以
为直径作半圆⊙
，交
于点
，连接
，过点
作⊙
的切线，交
延长线于点
，交
于点
．
求证：
．
当
，
时，求
和
的长．
（1 ）
（2 ）
18. 如图，在
中，
是
上一点，以
为直径的⊙
切
于点
，交
于点
，
，
与
交于点
．
求证：
．
如果
，
，请你写出求四边形
面积的思路．
19. 如图，以
的
边为直径作⊙
，交
于点
，过点
作⊙
的切线
，交
于点
，
且
，连接
．
7
（1 ）
（2 ）
求证：
．
若
，
，求
的值．
（1 ）
（2 ）
20. 如图，在
中，
，以
为直径的⊙
分别交
，
于点
，
，
的延长线
与⊙
的切线
交于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
21. 如图，
中，以
为直径的⊙
与
相交于点
，与
的延长线相交于点
，过点
作⊙
的切线交
于点
，且
．
求证：
．
若
，半径
，求
的长．
22. 已知，如图，点
在⊙
外，
、
是⊙
的切线，
、
为切点，
是直径，连接
．求
证：
．
8
（1 ）
（2 ）
23. 如图，在
中，
，以
为直径的⊙
交
于点
，⊙
的切线
交
于点
．
求证：
是
的中点．
若
，
，连接
、
，交点为
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
24. 如图，
是⊙
的直径，
，
分别与⊙
相切于点
、
，
交
的延长线于点
，
交
的延长线于点
．
求证：
．
如果
，
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
25. 如图，在
中，
，点
是
边上一点，以
为直径的⊙
与边
相切于
点
，连接
并延长
交
的延长线于点
．
求证：
．
若
，
，求⊙
的半径．
9
（1 ）
（2 ）
26. 如图，
是⊙
的直径，点
在⊙
上，过点
作⊙
的切线
，
于点
，交⊙
于
点
．
求证：
平分
．
若
，求线段
的长．
（1 ）
（2 ）
27. 如图，已知⊙
是以
为直径的
的外接圆，过点
作⊙
的切线交
的延长线于点
，交
的延长线于点
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
28. 阅读下面材料：
已知：⊙
和⊙
外一点
．
求作：射线
，使得
与⊙
相切．
（1）连接
．
（2）作线段
的中点
，以点
为圆心，以
的长为
（3）作射线
．
所以射线
即为所求．
10
老师说：小亮的作法正确．
请回答：小亮的作图依据是 ．
29. 请利用直尺和圆规，过定点
作⊙
的切线，不写作法，保留尺规作图的痕迹．
（1 ）
（2 ）
30. 如图，
是⊙
的直径，
切⊙
于点
，
交⊙
于点
，连接
．
用等式表示
与
的数量关系，并证明．
若
，连接
，⊙
的半径为，求
的面积．
