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1
旋转【章节复习】压轴题费马、角含半角 题集C5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
阅读下列材料
对于任意的
，若三角形内或三角形上有一点
，若
有最小值，则取到最小
值时，点
为该三角形的费马点．
①若三角形内有一个内角大于或等于
，这个内角的顶点就是费马点；
②若三角形内角均小于
，则满足条件
时，点
既为费马
点．
解决问题：
如图，
中，三个内角均小于
，分别以
、
为边向外作等边
、
，连
接
、
交于点
．
证明：点
为
的费马点（即证明
），且
．
如图，点
为三角形内部异于点
的一点，证明：
．
若
，
，
，直接写出
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
最小值为．
详细证明过程略：
在线段
上取点
，使得
．
第一阶段：如图一，先证明
≌
，可得
，
，
因此
，∴
得证明．
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
第二阶段：如图二，因为
，
，可证
为等边三角形，则
，
第三阶段：如图三，证明
≌
，则
，
，
∴
，且
．
图一
图二
图三
如图四，以
为边构造等边
，连接
，证明
≌
，
则
，根据两点之间线段最短，
，则
．
图四
最小值为．
【知识点】旋转的性质
【知识点】SAS
【知识点】三角形的三边关系
【能力】推理论证能力
【能力】分析和解决问题能力
2. 阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图，
中，
，
，
，在
内部
有一点
，连接
、
、
，求
的最小值．
3
（1 ）
图
（2 ）
（1 ）
【解析】
图
图
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再
将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以
求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这
个问题．他的做法是，如图，将
绕点
顺时针旋转
，得到
，连接
、
，则
的长即为所求．
请你写出图中，
的最小值为 ．
参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图，菱形
中，
，在菱形
内部有一点
，请在图中画出并
指明长度等于
最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；
②若①中菱形
的边长为，请直接写出当
值最小时
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）①
，画图见解析．
②
．
如图．∵将
绕点
顺时针旋转
，得到
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
在
中，∵
，
，
，
∴
，
4
（2 ）
【标注】
即
的最小值为
．
①如图，
；
②如图，当
、
、
、
四点共线时，
值最
小，最小值为
．
∵将
绕点
顺时针旋转
，得到
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
．
∵菱形
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理，
，
∴
．
连接
，交
于点
，则
．
在
中，∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
即当
值最小时
的长为
．
故答案为：
．
．
【知识点】菱形的性质
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】勾股定理
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】解直角三角形的综合应用
【知识点】旋转性质综合应用
【知识点】旋转的性质
【能力】推理论证能力
5
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，
、
为等腰直角三角形，
，
，
，
连接
、
，
为
的中点．
当
、
、
共线时，求证：
．
如图，当
、
、
不共线时，求证：
．
设
，请直接写出
的最小值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
延长
、
交于点
，连接
，如图，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
、
分别为
和
中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
6
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
．
延长
到
，使
，连接
、
，如图，
∵
为等腰直角三角形，
，
∴
，
，
∴
垂直平分
f，
，
∴
为等腰直角三角形，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
为
中点，
，
∴
是
中位线，
∴
，
∴
．
如图，将
绕点
逆时针旋转
得到
，
连接
，
，
可得
、
为等边三角形，
即
，
，
∴
，
则当
取最小值时，点
、
、
、
四点共线，
即
，
∵
，
∴
，
，
，
∴
取最小值为
．
【知识点】等腰直角三角形与全等
4.
7
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
方法一：
（2 ）
【解析】
已知，正方形
中，
，
绕点
顺时针旋转，它的两边分别交
、
（或它们的延长线）于点
、
，
于点
．
如图①，当
绕点
旋转到
时，请你直接写出
与
的数量关
系： ．
A
B
C
D
M
N
H
图
如图②，当
绕点
旋转到
时，（）中发现的
与
的数量关系还成
立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明．
B
C
D
M
H
图
如图③，已知
，
于点
，且
，
，求
的长．
（可利用（）得到的结论）．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
成立，证明见解析．
的长为．
成立，理由如下：
如图，将
绕点
旋转
，由于
,
∴旋转后
点与
点对应，
点与
点对应．
由旋转可知
≌
，
8
方法二：
（3 ）
∴
，
，
又
，
∴
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
又
，
，
∴
，∴
．
延长
至点
，使
，连接
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
．
∴
≌
．
∴
，
，
又
，
∴
．
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
又
，
，
∴
，∴
．
作
关于直线
的对称
，
作
关于直线
的对称
，
∵
是
的高，
∴
，
∴
．
又∵
，
9
【标注】
∴
．
延长
、
交于点
，
则四边形
是矩形，
又∵
，
∴四边形
是正方形，
由（）、（）知：
，
，
设
，则
，
∴
，
，
，
在
中，
，
解得
，
，
故
的长为．
【知识点】正方形与全等综合
（1 ）
5. 我们可以通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，
请补充完整．
原题：如图，点
、
分别在正方形
的边
、
上，
，连接
，则
，试说明理由．
图
思路梳理
∵
，
∴把
绕点
逆时针旋转
至
，可使
与
重合．
∵
，
10
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
∴
，点
、
、
共线．
根据 ，易证
≌ ，得
．
类比引申
如图，四边形
中，
，
点
、
分别在边
、
上，
．若
、
都不是直角，则当
与
满足等量关系 时，仍有
．
图
联想拓展
如图，在
中，
，
，点
、
均在边
上，且
．猜想
、
、
应满足的等量关系，并写出推理过程．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
，证明见解析．
∵
，
∴把
绕点
逆时针旋转
至
，可使
与
重合．
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，点
、
、
共线，
在
和
中
11
（2 ）
（3 ）
，
∴
≌
（
），
∴
，
即：
．
时，
．
∵
，
∴把
绕点
逆时针旋转
至
，可使
与
重合，
∴
，
图
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，即点
、
、
三点共线，
在
和
中
，
∴
≌
（
），
∴
，
即：
．
猜想：
，
证明：将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
，
图
12
【标注】
∴
≌
，
∴
，
，
，
，
在
中，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
即
，
在
和
中，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
．
【知识点】正方形与全等综合
