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【旋转费马点的应用】题集【A】
图
（1 ）
图
A.
B.
C.
（2 ）
图
（3 ）
1. 回答下列问题：
如图，
和
都是等边三角形，且
、
、
三点共线，连结
、
相交于点
，求证：
．
如图，在
中，
，分别以
、
和
为边在
外部作等边三
角形
、等边三角形
和等边三角形
，连结
、
和
交于点
，下列结论
中正确的是 ．（只填序号即可）
如图，在（）的条件下，求证：
．
2. 如图，
中，
，求证：点
为
的费马点．
2
3. 如图（），
为
所在平面上一点，且
，则点
叫做
的费马点．如图（），在锐角
外侧作等边
连接
．
求证：
过
的费马点
，且
．
图
图
（1 ）
（2 ）
4. 【背景资料】
在已知
所在平面上求一点
，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数
学家费马
年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图，等边
内有一点
，若点
到顶点
、
、
的距离分别为，，，求
的
度数．为了解决本题，我们可以将
绕顶点
旋转到
处，此时
≌
，这样就可以利用旋转变换，将三条线段
，
，
转化到一个三角形中，从而
求出
．
【基本运用】
请你利用第（）题的解答思想方法，解答下面问题：如图，
中，
，
，
，
为
上的点，且
，判断
，
，
之间的数量关系并
证明．
3
（3 ）【能力提升】
如图，在
中，
，
，
，点
为
的费马
点，连接
，
，
，求
的值．
1
2
（1 ）
（2 ）
5. 小明遇到这样一个问题：如图，正方形
是正方形，点
对角线
上任意一点，连接
、
．当
的最小值为
时，求正方形的边长．
小明是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点
为旋转中心将
逆时针旋转
得到
，连接
，此题可解，如图．
请你回答：
当点
在何处时，
的值最小，并说明理由．
当
的最小值为
时，求正方形的边长．
参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图，在
中，
，
．点
为
内一点，连接
，
，
，求
的最小值．
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