文档文本内容
1
相似三角形与翻折问题 题集【B】平行相似
1.
【解析】
【标注】
在
中，
，
为
内一动点，
，
（其中，为常数，且
）．将
沿
翻折，得到
．连接
．若
，
，求
的
度数．
【答案】
．
结论：
．
理由：如图，设
与
交于点
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
2. 如图，
是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，
为原点，点
在轴的正半轴上，点
在轴的正半轴上，
，
．在
边上取一点
，将纸片沿
翻折，使点
落在
边
上的点
处，边
上有一动点
（不与
，
重合）自
点沿
方向向
点匀速运动，运动的速度
为每秒个单位长度，设运动的时间为秒
，过
点作
的平行线交
于点
，过点
作
的平行线交
于点
．
2
x
y
图
（1 ）
（2 ）
x
y
图
（3 ）
（1 ）
【解析】
直接写出
，
两点的坐标，
（ ），
（ ），直接判断四边形
的形
状为 ．
当为何值时，四边形
是正方形．
当为何值时，以
，
，
为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
; 矩形
当
时，四边形
是正方形．
当
或
时，以
，
，
为顶点的三角形为等腰三角形，相应
点的
坐标为
或
．
依题意可知，折痕
是四边形
的对称轴，
∵在
中，
，
，
，
∴
，
∴
点坐标为
，
在
中，
，
又∵
，
∴
，
解得：
．
∴
点坐标为
．
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形．
又∵
，
∴四边形
为矩形；
3
（2 ）
x
y
图
（3 ）
故答案为：
，
，矩形．
∵
，
∴
．
∴
，
∴
．
又∵
，
，
，
∴
，
当
时，四边形
是正方形，
即
，
解得：
，
当
时，四边形
是正方形．
（Ⅰ）若以
为等腰三角形的底，则
（如图①）
在
中，
，
∵
，
∴
为
的中点，
∴
，
又∵
，
∴
为
的中点，
过点
作
，垂足为
，则
是
的中位线，
∴
，
，
∴当
时，
，
为等腰三角形，
此时
点坐标为
；
（Ⅱ）若以
为等腰三角形的腰，则
（如图②）
在
中，
，
过点
作
，垂足为
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
4
x
y
图
【标注】
∴
，
∴
，
，
∴当
时，
，此时
点坐标为
；
（Ⅲ）根据图形可知
的情况不成立，
综合综上所述，当
或
时，以
，
，
为顶点的三角形为等腰三角形，相
应
点的坐标为
或
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，把矩形
沿对角线
所在直线折叠，轴上的点
落在平面上的
点
处，
与
轴相交于点
．矩形
的边
，
的长是关于的一元二次方程
的两个根，且
．
y
O
x
直接写出线段
，
，
的长．
求点
的坐标．
若
是直线
上一个动点，在坐标平面内是否存在点
，使以点
，
，
，
为顶点的四边
形是菱形？若存在，请直接写出
点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
，
．
．
，
，
，
．
∵
、
的长是
的两根，且
．
∴
，
．
由折叠可知
，矩形
中，
，
∴
，
∴
，
5
（2 ）
（3 ）
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，∴
，
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
作
轴于点
，
y
O
x
由（）可知
，
，
∴
，
∵
轴，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
，
∴
．
①以
为圆心，
长为半径作圆，交
于
，
∴
，
∵
，
，
∴
，作
于点
，
易证
，
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【标注】
∴
．
∴
，
，∴
设
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，易得
，同理可得
，
②以
为圆心，
长为半径作圆，交
于点
，此时与点
重合，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
③作
垂直平分线交
于点
，交
于点，交
于点
，
∴
，
，
∵直线
与
垂直，
∴
，
∵过点
，∴
，
∴
，
∴
；
，
解得
，
，
∴
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
4. 如图，在矩形
中，
是
边的中点，沿
对折矩形
，使
点落在
处，折痕为
，连接
并延长
交
于
点．
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：四边形
为平行四边形．
若矩形
的边
，
，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
由折叠得到
，
，
∵
为
的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴四边形
为平行四边形．
过
作
，交
于点
，
在
中，
，
，
根据勾股定理得：
，
∵
，
∴
，
由折叠得：
，
在
中，
，
，
根据勾股定理得：
，
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【标注】
∵四边形
为平行四边形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
解得：
，
则
．
【知识点】平行四边形性质综合应用
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
如图，在直角坐标系中，四边形
为矩形，点
，
在轴和轴上，点
．
是边
上
的一动点，将
沿直线
折叠，点
的落点为
，过点
作
的平分线交
于点
，设
，
．
求
的度数．
求
与的函数关系式．
当
时．
求
的值．
求点
的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
．
．
．
．
∵
是沿
由
翻折过来的，
∴
≌
且
，
9
（2 ）
1
（3 ）
又∵
是
的角平分线，
∴
，
∴
，
∴
．
连接
，
∵
点坐标为
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
，
∵由（）知
，
且
，
，
∴在
中，由勾股定理：
，
在
中，由勾股定理：
，
在
中，由勾股定理：
，
在
中，由勾股定理：
，
∴
，
整理得
．
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴点
，
，
三点共线．
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴在
中，由勾股定理知：
，
∴
，解得
．
由（）知
．
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2
【标注】
过
作
，垂足为点
，并设
,
∴
轴且
，
∵由①知
，
，
，
，
，
∴
．
∴
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
