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1
相似三角形与翻折问题 题集【C】K字相似
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知：正方形
的边长为，点
为
的中点，点
为
上一动点，沿
翻折
得到
，直线
交
边于点
，交直线
于点
，连接
．
备用图
如图，当
时，求
的长．
如图，当点
在直线
上时，
，
，求关于的函数关系式，并写出的取
值范围．
延长
交直线
于点
，若
与
相似，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
或
．
由翻折性质，可知
为
的角平分线，且
．
∵点
为
中点，
∴
，
∴
为
的角平分线．
∵
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，即
．
易证
，
∴
，即
，
解得：
．
由（）知
，
∴
，即
，
∴
，
2
（3 ）
∴
．
∵
，
∴
，
又
，
，
∴
，
∴
．
由题意知：
．
①当点
在线段
的延长线上时，如答图所示．
答图
由题意知：
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
②当点
在线段
的延长线上时，如答图所示．
答图
由题意知：
．
同理可得：
，
∴
，
∴
，
∴
．
3
【标注】
综上所述，
的长为
或
．
【知识点】动点与特殊平行四边形问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，在矩形
中，
为
上的一点，将
延直线
翻折，使点
落在
边上点
处．
如图，求证
．
如图，
为
上一点，且
，
与
相交于点
，试探究
与
的位置关
系，并说明理由．
设
与
相交于点
，在（）的条件下，若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析.
，理由见解析．
．
∵
，
∴
，
∴
．
，
则
，
又∵
，
∴
，
∴
．
设
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
4
【标注】
∴
，
∴
，
又∵
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，在边长为 的正方形
中，
是
边上一动点（不与
、
两点重合），将
沿
直线
翻折，点
落在点
处；在
上取一点
，使得将
沿直线
翻折后，点
落在直
线
上的点
处，直线
交
于点
，连接
、
．
若
为
的中点，则
．
求证：
的度数不变．
当
在
边上运动时，
的面积是否存在最小值，若存在，请求出
的长；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
存在，当
时，
最小为．
∵分别沿
，
翻折，
∴
≌
，
≌
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
5
（2 ）
（3 ）
∴
，
∴
，
∵
是
中点，
∴
，
，
∴
．
∵
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
设
，∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
，
，
6
【标注】
，
，
当
时，
，
∴当
时，
最小为．
【知识点】探究一般角的三角函数的值
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
如图，在边长为的正方形
中，
是
边上一动点（不含
、
两点）将
沿直线
翻折，点
落在点
处，在
上有一点
，使得将
沿直线
翻折后，点
落在直线
上
的点
处，直线
交
于点
，连结
，
．则以下结论①
．②四边形
的面积最大值为
．③当
为
中点时，
为线段
的中垂线．④线段
的最小值为
．⑤当
≌
时，
．其中正确结论的个数是是（ ）．
【答案】C
①∵
，
，
而
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
又∵
，
且
，
∴
，
故①正确，
②设
，则
，
∵
，
7
【标注】
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
时，取最大值
，
故②正确，
③当
时，设
，
在
中，
，
解得
，
∴
，
故③错误，
④作
于
，
∵
，
∴
最小时，
最小，
∵
，
∴
时，
取最小值
，
∴
的最小值
，
故④错误，
⑤∵
≌
，
，
在
上取一点
，使得
，设
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
．
∴
，
∴
，
∴
，
故⑤正确．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
5. 如图，边长为的正方形
中，
是
边上一动点（不含
、
点）．将
沿直线
翻
折，点
落在点
处；在
上有一点
，使得将
沿直线
翻折后，点
落在直线
上的
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【解析】
点
处，直线
交
于点
，连接
，
．则以下结论中正确的有 （写出所有正确结
论的序号）．
①
；
②当
为
中点时，
为线段
的中垂线；
③四边形
的面积最大值为
；
④线段
的最小值为
；
⑤当
≌
时，
．
【答案】①③⑤
根据翻折，可得
，
，
∴
≌
．
∴
，
∴
，即
，
故①正确．
当
时，由折叠得，
．
设
，
在
中，
，得，
．
∴
，故②错误．
设
，则
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
时，四边形
面积最大值为
，故③正确．
四边形
9
【标注】
作
于
，
∵
．
∴
最小时
最小，
∵
．
时，
，
∴
，故④错误．
∵
≌
时，
∴
，在
上取一点
使
．
∴
，
∵
，
∴
．
∴
，
，
∴
，
，故⑤正确．
【知识点】正方形的性质
（1 ）
（2 ）
6. 已知一个矩形纸片
，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点
，点
，点
为
边上的动点（点
不与点
、
重合），经过点
、
折叠该纸片，得点
和折痕
．设
．
如图，当
时，求点
的坐标．
如图，经过点
再次折叠纸片，使点
落在直线
上，得点
和折痕
，若
，试
用含有的式子表示
．
10
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
在（）的条件下，当点
恰好落在边
上时，求点
的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
或
．
根据题意，
，
，
在
中，由
，
，得
．
∵
，
即
，
解得：
，
（舍去）．
∴点
的坐标为
．
∵
、
分别是由
、
折叠得到的，
∴
≌
，
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
，
由题意设
，
，
，
，则
，
．
∴
．
∴
．
过点
作
于
，
11
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
，
，
点
的坐标为
或
．
法二：∵
，
∴
，
过点
作
于点
，
则
，
，
∴
，
在
中，
，
即
，
解得：
，
．
12
【标注】
点
的坐标为
或
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，将矩形
放在平面直角坐标系中，
为原点，点
在轴的正半轴上，
，点
是射
线
上的一点，把
沿直线
折叠，点
的对应点为
．
若点
落在矩形的对角线
上时，
的长
．
若点
落在边
的垂直平分线上时，求点
的坐标．
若点
落在边
的垂直平分线上时，求点
的坐标．（直接写出结果即可）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
或
．
如图∵
，
，
共线，
∴
，
又∵在
中，
，
∴
．
∵
在
边的垂直平分线上，
∴
，
由折叠可知
，
13
（3 ）
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
．
①当
落在矩形
内部时，
由题意可知
，
设
，
，
在
中，
，
，
∴
，
易证
，
，
，
，
∴
．
14
【标注】
②当
落在矩形
外部时，
同理设
，
，
，
，
，
∴
，
∴
或
．
【知识点】翻折问题与勾股定理
（1 ）
（2 ）
8. 如图，已知正方形
的边长是，点
沿
运动，到达点
停止．
如图，连接
，设点
运动的距离为，请用表示
的面积 （直接写出结果）．
如图，作
于点
．
15
1
2
（1 ）
【解析】
如图，点
在线段
上，将
沿
翻折得到
，连接
，求
的度数．
如图，连接
，若
是等腰三角形，则
（直接写出结果）．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
①
，
，
②
，
，
③
，
．
．
或
或
分三种情况：①当点
在边
上时，如图，
图
，
16
1
（2 ）
．
②当点
在边
上时，如图，
图
，
．
③当点
在边
上时，如图，
图
，
∴
．
如图，过
作
于
，交
于
，
由折叠得：
，
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
∴
17
图
2
，
即
，
∴
，
∴
．
当
在边
上时，如图，此时
与
重合，
图
∴
．
当
在边
上时，如图，当
时，
过
作
于
，交
于
，
图
则
，
，
∵
，
∴
，
易得
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，此时
与
重合．
当点
在边
上，如图，
时，
过
作
于
，
18
【标注】
图
则
，
设
，则
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
由勾股定理得：
，
∴
，
∴
，
；
综上所述，
的长是或
或
．
【知识点】动点与特殊平行四边形问题
